DU DÉPLACEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE

Détermination de la vitesse.

3. Considérons un point sortant de la position qu*il occupe : ce point est animé d'une certaine vitesse. Ainsi que toutes les gran-

< On reconnatt aisément que les résultats du n^ 2 s'appliquent à tout mouvement simultané d'un point sur une droite et de la projection de ce point sur une autre droite, les lignes projetantes étant toutes parallèles à un même plan. Soit m le point mobile, A6 la droite qu'il décrit, P un plan de direction constante passant par le point m, D une droite fixe, p le point oU le plan P coupe la droite D.

Prenons sur la droite AB un point quelconque A , et par ce point, menons la droite AG parallèle à la droite D. n étant le point où le plan P coupe la droite AG, il est aisé de voir que la droite mn est de direction constante et que le point n se meut sur AC , comme le point p se meut sur la droite D. On peut ^ donc substituer le point n au point p : le mouvement j^ de Tun sera le mouvement de Tautre.

La droite mn étant de direction constante, rien n'empêche qu'où n'assujet* tisse, en outre, le point n à conserver sur cette droite une seule et même position. Dès lors le mouvement de la droite mn est complètement déterminé par celui du point m. 11 en résulte :

lo Que le mouvement du point n sur AC est complètement déterminé par le mouvement du point m sur AB ;

2o Qu'à un seul et même état de mouvement du point m sur AB correspond un seul et même état de mouvement du point n sur AC.

Cela posé, v étant la vitesse actuelle du point m sur AB, il n'importe ^i\ rien que cette vitesse soit constante ou bien incessamment variable. Dans un cas comme dans l'autre , il ne peut jamais y avoir, pour la vitesse actuelle et simultanée du point n sur AC, qu'une seule et même détermination, celle qui correspond à la vitesse t^ supposée constante.

(23) deurs inalhëmatiques, cette vitesse peut être constante ou bien incessamment variable. Dans tous les cas j elle est à chaque instant complètement déterminée. Lorsqu'elle varie et qu'on veut ex* primer ce qu'elle est pour une position donnée du point mobile , on considère exclusivement la détermination particulière qui correspond à la position donnée. On suppose qu'à partir de cette position y la vitesse demeure invariable y et Von procède comme si elle Vêtait effectivement. Par ce simple artifice, le cas des vitesses variables se ramène au cas des vitesses constantes, et les règles établies pour celui-ci s'appliquent à celui-là. Soit abc une courbe plane et AP , AQ deux droites quelconques

situées dans le plan de cette courbe. Imaginons que le point A de la droite AQ se déplace uniformément le long de la droite AP, la droite AQ se mouvant tout entière avec le point A, et conservant toujours une seule et même direction. Soit . Q a le point où la droite AQ rencontre d'abord la courbe abc. Ck)ncevons un point m mobile sur la droite AQ et s'y déplaçant à partir du point a de manière à occuper sans cesse la po«sition précise où la droite AQ coupe la courbe ahc. Cela revient & dire que le point m décrit tout à la fois la droite mobile AQ et la courbe fixe abc.

Soit u la' vitesse du point A sur la droite fixe AP et u* celle du point m sur la droite mobile AQ. Par hypothèse, la vitesse u est constante : si la vitesse u' l'était, en même temps, pour une portion quelconque de la droite AQ, il s'ensuivrait que la ligne, décrite par le point m dans le plan PAQ, serait droite sur toute l'étendue correspondante à cette portion. Or la ligne décrite est la ligne abcy supposée courbe dans toutes ses parties, la vitesse u' est donc incessamment variable ^

* Toute yariation incessante est nécessairement continue. Gela ne veut point dire que la vitesse u' ne peut subir aucun changement brusque sur toute

Considéroos la droite AQ dans une position quelconque A'Q'. Le point m est alors en 6 et les vitesses qui raniment simultanément sont Tune u^ Fautre u\ Ck)nstruisons d'après la règle du parallëiogramme , la résultante v des vitesses actuelles u , u\ La composante u est constante en grandeur ainsi qu'en direction; la composante u' est aussi constante en direction, mais sa grandeur varie sans cesse à partir du point b, au delà comme en deçii. La conséquence est qu'à partir du point b, au delà comme en deçà , la vitesse v a une direction incessamment variable.

Soit n un point pris sur la courbe abCf à proximité du point 6. Projetons ce point sur A'Q' par une droite no parallèle à PA. Les longueurs^ bn, bo se correspondent, étant toutes deux décrites simultanément par le point m. Tune sur la courbe fixe abc, l'autre sur la droite mobile AQ. Supposons la longueur bn suffisamment petite : dès lors nous pouvons admettre que la grandeur u' varie continûment de 6 en o, et qu'en outre, elle est constamment croissante ou constamment décroissante dans toute l'étendue de cet intervalle. Admettons que de 6 en o , la grandeur t«' soit constamment croissante : il en résulte que de 6 en n Tangle de la droite A'Q' avec la vitesse v décroit continûment. Soient bi, bfy les directions de la vitesse v, l'une en 6^ Fautre en n : si la grandeur

rétendue de la courbe aJbc, Gela veut dire que , s'il y a des changements brusques, ils se succèdent à certains intervalles, pendant chacun desquels la continuité subsiste sans interruption.

Cette observation ne s'applique pas seulement à la grandeur de la vitesse u'. Elle s'applique en même temps à la direction de la vitesse du point m sur la courbe abc. On voit d'ailleurs que cette grandeur et celte direction dépendent l'une de l'autre, et qu'à cet égard, elles varient toutes deux dans les mêmes conditions.

En résumé , l'on peut et Ton doit poser comme axiome le principe suivant , qui, s'il n'est pas toujours exprimé, est au moins toujours sous-entendu :

Toute variation, supposée incessante et ayant une origine quelconque déterminée, est nécessairement continue sur une étendue plus ou moins grande , comptée à partir de cette origine.

Ce principe ne saurait être contesté, par cela seul que toute hypothèse contraire est un non-sens impliquant absurdité et contradiction.

u* demeurait constante sur la longueur 60 /selon qu'elle affecterait la valeur qui correspond au point b, ou celle qui correspond au point 0, le point m décrirait la droite 61 ou la droite 6/*. En réalité la grandeur u' croit continûment de 6 en 0, et , en même tcmpis Tangle de la vitesse 1; avec la droite A'Q' décroît continûment depuis la valeur 061 jusqu'à la valeur 06/*. La ligne décrite par le point m de 6 en n est donc nécessairement comprise entre les droites hi^ bf(*). Cela posé, imaginons que le point n et sa projection se rapprochent indéfiniment du point 6. Dans cette hypothèse, la droite 6/* tourne autour du point 6 et se rapproche indéfiniment de la droite 61 ; rien ne change d'ailleurs ; il y a donc

(*) Pour ne laisser aucun doute sur celte déduction, nous allons la démontrer avec une entière rigueur.

Par le point b menons une droite be parallèle à PA et considérons lé mouvement du point m , à partir du F'to 4^' ^* point b y sur Tare bn' égal à bn ou

plus petit.

Soient e', t', n', /* les points de rencontre des lignes be, bi, bn,* bf avec une même droite A"Q" parallèle à AQ. Soient en même temps u'h y et u'o les valeurs de la vitesse u' aux points b et o.

Tandis que la droite AQ se transporte de A'Q' en A"Q", le point m décrit sur cette droite la longueur e^n'. La vitesse qui anime le point m pendant cette description et suivant celte droite, commence par être égale à u'h : elle est d'ailleurs constamment croissante et toujours inférieure à u'o\ si cette vitesse, au lieu de varier comme elle le fait, demeurait constante, selon qu'elle serait égale à u'» ou à u'oy la longueur décrite par le point m sur la droite AQ serait moindre ou plus grande qu'elle Test effectivement. Or, dans le premier cas, cette longueur serait eY, et dans le second e'f. On a donc nécessairement, d'une part ,

et, d'autre part.

e'iV > e'i' <fn' < e'r

La conséquence évidente est que l'arc 6n' est tout entier compris entre les deux droites 61, bf. G. Q. F. D.

U)ujour8,à partir du point 6, une portion de Tare 6e comprise entre la droite ûxe b% et la droite mobile bf.

Nous venons de voir que la droite 6/* peut se rapprocher indéfiniment de la droite hi, sans que ces deux droites cessent de comprendre entre elles une portion de l'arc 6c, Cela revient à dire qu'aucune portion de droite ne peut, à partir du point 6, rester comprise entre la droite bi et Tare 6». Il s'ensuit que la droite 6t est, de toutes les droites passant par le point by celle qui se rap* proche le plus de l'arc buy dans le voisinage de ce point. La droite biy ainsi déterminée y est nécessairement unique : on la distingue de toutes les droites passant par le point 6 en la désignant sous le nom de tangente ou sous le nom de directrice , selon qu'on la considère par rapport à la courbe décrite, ou par rapport au point décrivant.

Nous avons supposé la vitesse u' continûment croissante de 6 en 0. La démonstration se ferait de la même manière, si, de 6 en Oy la vitesse u' était constamment décroissante. La seule difiPércnce consisterait en ce qu'au lieu de s'abaisser au-dessous de la droite biy l'arc bn et la droite 6/" s'élèveraient au-dessus.

Concluons que , dam la description d'une courbe par un point y la vitesse de ce point a une direction incessamment variable. Concluons, en outre, que cette direction est, pour chaque position du point décrivant, celle de la tangente à la courbe décrite *.

4, La vitesse u peut être quelconque, constante ou variable. Dans tous les cas, la démonstration du n"" 3 se fait de la même manière, et l'on voit aisément que la résultante des vitesses u, u' est .

^ Les considérations qui précèdent* sufiBsent pour établir la méthode des tangentes créée par Roberval » et exposée, comme il suit, dans les Mémoires de r Académie royale des sciences, année 1690.

Principe. '<- « La direction du mouvement d^un point qui décrit une ligne » courbe, est la touchante de la ligne-courbe en chaque position de ce point. »

Règle générale. — « Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe (qui » vous seront données ) , examinez les divers mouvements qu'a le point qui la » décrit , à Tendroit oti vous voulez mener la touchante. De tous ces mouve- » ments, composez-en un seul : tirez la ligne de direction du mouvement » composé ; vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

Ce principe et cette règle donnent, dans la plupart des cas, le mo^en de

toujours dirigée suivant une même droite, la droite la plus rapprochée de la courbe au point que Von considère. De là résulte le principe suivant :

On peut attribuer indifféremment une valeur quelconque soit à la vitesse v, soit à l'une ou l'autre des deux composantes u , u' : les rapports que ces vitesses ont entre elles restent toujours les mêmes en un même point.

Détachons de la courbe abc Tare bn, et considérons-le séparé- «. „ ment;m étant un point quelconque de cet arc,

soit smt la tangente en ce point. Eu égard aux conditions qui subsistent sur toute l'étendue de l'arc bn, la démonstration du n" 3 implique les conséquences suivantes :

i^ L'arc bn est tout entier d'un seul et même côté de la tangente smt, en deçà comme i^ au delà du point m.

â*" De toutes les droites passant par le point m y la tangente smt est la seule qui ne coupe pas l'arc bn en ce point.

^^ Les distances des différents points des arcs mb, mn d la tangente smt vont en croissant à mesure que ces points s'éloignent du point m.

4" Lorsque le point m se déplace en glissant de h en n sur l'arc bn, la tangente smt tourne continûment dans un seul et même sefis.

réduire à une simple opération graphique la détermination de la tangente en un point quelconque d'une courbe définie géométriquement. Pour aller au delà : pour pénétrer plus avant dans la nature intime de la ligne courbe : pour apprécier, définir et mesurer la courbure proprement dite , il faut d'abord introduire un principe nouveau; il faut ensuite considérer avec quelques détails les conditions relatives à la rotation d'une droite dans un plan. Les dévelop- Iiements qui suivent fournissent , à cet égard, tous les éclaircissements néces^ saires. Non moins simples que renoncé de Roberval, ils comportent une extension beaucoup plus grande. C'est ainsi , par exemple , qu'ils permettent d'établir» comme nous l'avons fait ailleurs, une théorie purement géométrique de la courbure des lignes et des surfaces.

Concevons une droite D, assujettie à s'appuyer en un point de l'arc bn et à tourner, sans glisser, autour de ce point, jusqu*à ce que venant à s'appuyer sur un autre point du même arc, elle prenne cet autre point pour centre de rotation, et ainsi de suite indéfiniment.

Supposons la droite D dirigée suivant la tangente smt et tournant de gauche à droite. Je dis que le centre de rotation, situe d'abord en m, glisse continûment le long de Tare mn.

La rotation commencée autour du point m, à partir de la position smt y ne peut pas continuer autour de ce même point. Gela résulte évidemment de ce qu'aucune droite, menée par le point m, ne peut rester comprise entre l'arc ntn et la tangente smt D'un autre côté, on ne saurait admettre que le centre de rotation se transporte brusquement du point m en un point m' séparé du point ?n par un intervalle quelconque déterminé. Pour qu'il en fût ainsi, il faudrait qu'il n'y eût aucun écart entre le point m' et la tangente smt. Le contraire ayant lieu pour tout point m' séparé du point m ^ on voit que le déplacement du centre de rotation sur l'arc mn et sur la droite D est nécessairement continu.

Nous venons d'établir qu'au sortir de la position smt , la droite mobile ne peut s'appuyer sur aucun point m' séparé du point m par un intervalle quelconque déterminé. Il en résulte que le centre de rotation qui succède au point m y se rattache continûment à ce point, et qu'au delà de ce centre, comme en deçà ^ l'arc bn reste tout entier d'un seul et même côté de la droite D. On voit ainsi que la droite D réalise constamment la double condition de passer par un point de l'arc bn et de ne point couper cet arc en ce point. On déduit de là les conclusions suivantes :

i" Za divite D ne cesse pas d'être tangente à Varc bn.

â^ Varc bn peut être considéré comme la trace d'un point qui glisse sur la droite D , e» ^tnême temps que cette droite tourne autour de ce point.

5° La vitesse du point qui décrit ainsi l'arc bn s'emprunte

* Il est visible qu*en tournant de gauche à droite autour du point m , la droite D laisse entre elle et Tare mb la tangente smt.

tout entière, d'une part et comme grandeur au glissement de ce point sur la droite D, d'autre part et comme direction à la position de cette même droite,

5. Résumons les résultats obtenus, dans les numéros qui précèdent, concernant le mouvement d'un point dans un plan.

Au lieu de procéder comme ci-dessus , on peut donner à priori cette définition de la ligne courbe :

La courbe est la trace d'un point qui se meut suivant une direction incessamment variable.

On peut aussi, développant davantage, présenter la même définition sous cette autre forme :

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite mobile f dite directrice, le point glissant sur la directrice et la directrice tournant autour du point, tous deux simultanément et incessamment.

Partant de la, on voit d'abord que la vitesse du point décrivant s'emprunte tout entière au glissement de ce point sur I9 directrice, la rotation de celle-ci n'ayant d'autre effet que de modifier incessamment la direction. Il est ensuite très-aisé d'établir que, pour chaque position du point décrivant , la directrice est tangente à la courbe décrite, c'est-à-dire qu entre elle et la courbe, on ne peut mener aucune droite.

Cela posé, ce sont, de part et d'autre, les mêmes résultats, en ce qui concerne la courbe, la directrice, la vitesse du point décrivant.

La définition donnée (n<* \) pour la vitesse, dans le cas d*un point supposé mobile sur une droite, s'étend d'elle-même au cas du mouvement d'un point sur une courbe. La seule différence consiste en ce que, au lieu d'être fixe, la droite sur laquelle le point est censé se mouvoir tourne incessamment autour de ce même point. Voici d'ailleurs les conséquences.

La vitesse d'un point qui décrit une courbe comporte à chaque instant deux modes distincts de détermination. On peut se la représenter directement ou indirectement.

Dans le premier cas, elle est dëterminée, en direction, parla tangente à la ligne décrite, en grandeur, par le degré de rapidité imprimé sur cette ligne au point qui la décrit.

Dans le second cas , elle est la résultante des vitesses communiquées au point décrivant dans chacun des mouvements partiels et simultanés dont se compose le mouvement total. A ce point de vue , on peut dire aussi qu'elle est la résultante des vitesses qui animent les projections du point décrivant sur deux droites quelconques situées daiis le plan de la courbe *.