APPLICATION A QUELQUES CAS PARTICULIERS

1“ Surfaces et courbes orthogonales.

228. Donnons-nous, comme nu n* ISo*1, page 451, trois courbes S, S,, S, issues d’un même point O et résultant des intersections, deux à deux , de trois surfaces SOS| , S,OS„ S, OS. On suppose que ces surfaces font partie d’un système triple * de surfaces orthogonales. Il s’ensuit, d’après le théorème de M. Dupin, que les courbes S, S,, S, sont, relativement aux surfaces SOS,, S, OS,, S,OS, et pour le point O, leurs lignes de courbure respectives, c’est-àdire les lignes de courbure qui se croisent en ce point et qui sont, en général, au nombre de deux pour chacune de ces surfaces.

Soient yct r, , pour la surface SOS,; y, et c, pour la surface S,OS,; y, et e pour la surface SOS, les rayons de courbure principaux qui correspondent au point O. On observera que les indices sbnt les mêmes pour chacun de ces rayons que pour celle des courbes S, S, , S, qui touche en O la section principale correspondante.

En appliquant aux courbes S, S, la formule (5) du u° 227 , page 555, on a d’abord

cos 8

ds,

ds

cos1 «'

les quantités (8, p), (8', p'J se rapportant aux courbes S, S, cl au

• Voir n" 183, page -MO.

plan qui les touche en O. Il est visible, en effet, que le sens attaché aux s) mboles

eos 9 cos 9

i il.

$> dx,

peruicl de mnplaeer indifféremment l’un jwr 1 autre.

Considérons la courbe S comme appartenant à la surface S, OS. L'angle 8 est celui que lu section oblique oscu la triée en O à la ligne S fait avec In section principale dirigée suivant lu même tangente. De là résulte, en vertu du théorème de Meunier,

eos 6 1

On trouverait de même, en considérant la courbe S, comme appartenant à la surface S,OS,,

eos 6' 4

P Yi

Ces valeurs substituées dans l’équation (I) donnent

ri

ils, ds e*

ri ru

Il suffit, d’ailleurs, d’une simple permutation tournante pour déduire de l’équation (2)

r, yt ils*

ds,

cf ? \

ri fi

et de l'équation (û)

Les équations (2), (3), (4), ainsi obtenues, sont les trois dernières des neuf formules que l'on doit à M. Laine, sur les surfaees orthogonales et que nous avons établies dirceteinent nu n* 183"*, page 438.

Supposons que les trois systèmes dont les surfaces SOS,, S, OS. , S,OS, font partie se réduisent respectivement, le premier à un plan unique, chacun des deux autres à une-s ni le de surfaces cylindriques avant toutes leurs génératrices perpendiculaires à ee plan. Il s'ensuit que I on n'a plus a considérer, en réalité, que deux systèmes de lignes orthogonales S, S, situées dans un seul et meme plan. On voit, d'ailleurs, aisément que pour passer du eus général traité ci-dessus à ce eas particulier, il sullil d’annuler eu même temps chacune des quantités - , - - , - , Ou trouve ainsi

deux identités et, en outre.

ils, ils

rï

Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, on peut appliquer directement au cas dont il s'agit l’équation (3) du n" 227, page 333. On a , par hypothèse,

cos 0=1, cos o' — I , -—7 — O,