P* HH J

d .')/ ds

ds

et, en outre,

cos s

(2) i}.ds = .ds.èy.

Appliquons l’équation (2) à celle des trajectoires orlhogonules de la ligne S qui passe par le point m. il faut pour cela substituer l’une à l’autre et réciproquement , d’une part, les quantités S et A,

‘ Voir le mémoire déjà cité ( page .‘>2).

( ùüs )

d’autre pari, les caractéristiques d et i. Il faut, de plus, remplacer les quantités 8 et p par celles qui leur correspondent sur la trajectoire dont il s’agit. De là résulte, en désignant par »' et p' les valeurs nouvelles des quantités « et 0,

cos 6'

Différencions l équalion (3) par rapport à la caractéristique d. Il vient

d.il

cos «’ cos 6' .

— — (Uk— ik.d. »

et, par suite, eu égard à l’équatiou (3),

cos 8 cos 6 ■ dx

— d» — a* àk

Cette dernière équation n’est autre chose qu’une forme particulière de la réciproque de l’équation (I). Sou premier membre exprime la vitesse avec laquelle la courbure géodésique varie dans le système des trajectoires orthogonales considérées, lorsqu’on passe d’une courbe à une autre suivant la direction fournie par la ligne S à partir du point m. Le second membre est la valeur développée de cette même vitesse.

Ajoutons, membre a membre, les équations (I) et (4), après avoir divisé la première par <#a, la seconde par ils. On trouve ainsi

cos 8 COS 8

p • p eos* 6

0* dx p1

eos* 8’

1TF

’ L'orllmgonalité qui persiste de part et d’autre permet d’appliquer ici la remarque finale du n° 22 1 , page 34‘i. Il en résulte qu’on peut différencier i équation (i) par rapport à la caractéristique i et , par conséquent aussi , l'équation (3) par rapport à la caractéristique d.

( 5bO )

les détails qui précèdent impliquant la conclusion suivante : *

L'équation (!>) peut être considérée comme exprimant d’une manière générale la condition nécessaire et suffisante pour que deux systèmes de lignes tracées sur une surface soient orthogonaux.

Reprenons l'cquation (4). En opérant sur elle, comme nous l’avons fait sur l’équation (2), par voie d’inversion ou de réciprocité, on en déduit immédiatement

t.ds

cos’ 0 4x

p* ds

On peut, d’ailleurs, parvenir à ce même résultat en observant que, du moment où l’orthogonalité persiste, l’équation (2) subsiste d’une manière générale, et peut, en conséquence, être différenciée par rapport à la caractéristique 4. Il n’est pas besoin de faire ici ce calcul. On reconnaît ri priori qu’il conduirait nécessairement à l’équation (fi).

Lu combinaison des équations (I ) et (6) fournit la relation

rf

d.4x ^ é.ds ds 4X

ds.4x

rTr7

On voit, d’ailleurs, d’après ce qui précède, que cette relation subsiste, en général, pour deux systèmes quelconques de lignes tracées sur une surface, sous la seule condition que les lignes de l’un de ces systèmes soient les trajectoires orthogonales des autres.

Supposons que, disposant des deux variables s et X, on assujettisse l'une et l’autre à croître ou décroître uniformément. Dans cette hypothèse, les vitesses ds cl 4 A deviennent constantes; et

* L'équation (5) et la conclusion qu’elle implique se trouvent dans le mémoire déjà cité de M. Ossian Donne! (pages ’v* et 34).

l'on peut, tn conséquence, écrire l'équation (7), sous celte nuire forme ,

ds1. à i*

(8). . . . <&..(**.*- 4- ds. (#*(/«=