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et de là résulte, immédiatement,

Eu égard aux égalités c = &, y, =/, il est visible que les équations (3) et (ti) sont identiques. Ducs à M.Lamé, comme les précédentes, elles expriment la condition à remplir pour que deux systèmes de lignes tracées sur un plan soient orthogonaux.

On observera que l'équation (3) ou (fi) peut s’obtenir dans «les

( ’>oo )

conditions |>liiâ simples, en traitant la question d’une manière directe, d’après la marche tracée au n° 183“*, ou selon les procédés des numéros 224 et suivants.

229. Considérons deux systèmes conjugués de trajectoires orthogonales appartenant a une même surface A et proposonsnous de^ccherchcr les conditions à remplir pour qu’en prenant dans chacun de ces systèmes deux lignes quelconques déterminées , les scgmqnts interceptés sur ces lignes par celles de l'autre système conservent entre eux un rapport constant.

Soient MM', NN' deux lignes déterminées du premier système et uni une ligne quelconque du second. Si l’on considère la surface A comme engendrée par le déplu* cernent continu de lu ligne mit, il faut, par hypothèse, qn'il existe un rapport constant entre la vitesse r du point ni sur la ligne MM' et la vitesse simultanée du point n sur la ligue NN'. Représentons pur u celle dernière vitesse et assujettissons le point m de la ligne uni à glisser unifornivinenl sur la ligne MM'. On a

v étant une constante absolue et C une quantité Indépendante de la position du point in sur la ligne MM’.

L’équation (I) subsiste eu général. On peut l’appliquer, eu conséquence, au cas où la ligne NN' sort du lieu qu’elle occupe en glissant Sur la surface A. De là résulte, en différenciant, comme au n" 224, par rapport à la caractéristique 4,

la quantité C' dérivant de lu quantité C et restant, comme elle, indépendante de la position du point m sur la ligne MM'.

Sans rien changer à ce qui précède, appliquons l’équation (2) au cas où la ligne NN’, devenue mobile , sort du lieu MM'. On peut remplacer u par v, et r par ds. Il vient ainsi

(3) 4 . da = C' . ds .

Fig. SS.

On h, d'ailleurs ,, conformément à I équation (2) du n° 2:27, page 554,

. eos o

(4) â. ( ls — o/ .ds.

La simultanéité des équations (ô) et (4) conduit à l’identité

co s fl

(5) C' — .<fi,

cl, puisque la quantité C' ne dépend (tas de la position du point m sur la ligne MM', la meme condition subsiste nécessairement en ce qui concerne le produit —p—jA.

Cela posé, si l’on différencie l’équation (5) par rapport à la caractéristique d, ou a évidemment

COS 6 cos 9

U.'j't + oA.lt. =0.

Désignons par — y pour la ligne mit, la courbure géudésiquc exprimée par^-L? (tour la ligne MM'. L’équation (4) a sa corrcspondanle

cos s' ,

d . 0/ — ; — ds.â).

De là résulte, en substituant cette valeur dans l'équation (<i),