COS (I

. eos fl

ds

* Ou parvient directement à ce résultat eu partant île l'équation (4) et ett observant , comme il est aisé de le voir à priori, que dans riivpolhèsc ob Ion raisonne, la vitesse (/«étant supposée constante, ou doit avoir

d.S.ds — u.

■ ( Mi )

et telle est l'équation (le condition qui doit être satisfaite, pour qu'en prenant à volonté deux lignes du système MM', les segments interceptés sur ces lignes par deux quelconques de leurs Ira' jcctoircs orthogonales conservent entre eux un rapport constant.

Supposons que les lignes du système MM' soient toutes des lignes geodésiques. L'équation (7) est satisfaite identiquement par l’annulation simultanée de ses deux membres. Ce résultat s’accorde avec le théorème de M. (lauss, démontré au n® 209, page SI I.

Supposons que chacune des ligues du système MM' soit d’égale courbure géodésique. L’équation (7) ne peut subsister, en général, que si les trajectoires de ces lignes sont clles-inêmcs tics lignes géodesiques.

Revenons à la question proposée. Toutes choses égales (le part et (l'autre, la réciprocité, qui subsiste, par hypothèse, entre les deux systèmes considérés, permet d’écrire immédiatement, comme conséquence de l’équation (7),

eos 6 cos 8' *

il a — - —

ds

Cette dernière équation résout la question proposée. Ou vérifie aisément qu’elle subsiste pour le cas des surfaces de révolution en prenant, pour double système de trajectoires orthogonales, les méridiens et les parallèles.

Si l’on voulait que la surface A pût se subdiviser en uue suite quelconque de quadrilatères, tous rectangles cl équilatéraux, il faudrait que I on eût à la fois

â.ds — o, d . 4 A — o ,

cos 6 cos 8'

’ Oa prendra garde aux signes dont les quantités qui figurent dans cette équation doivent être affectées : ils dépendent du sens îles déplacements que l'on considère et de la convention généralement adoptée |«>ur tenir compte du seus des rotations.

et, par suite , (»)

cos 6 cos 8'

Di

( :jüô )

Eu égard à l'équation (12) du n* 22.'), page 349, les «;i|iia lions (9) exigent que l’on ait

Hit

Ce n’est doue que dans le cas des surfaces développables que la condition dont il s'agit peut se réaliser, et , dès lors, il est évidemment une iulinilé de façons d'y satisfaire, en prenant pour trajectoires orthogonales conjuguées deux systèmes quelconques de ligues géodésiques.

2“ Sur/ace s gauches.

230. Soient A. une surface gauche quelconque; 1) sa génératrice rectiligne; ni un point de cette génératrice; Sla trajectoire orthogonale qui correspond au point m et aux positions successives de la droite D sur la surface A.

Lorsque le point m sort du lieu qu'il occupe en glissant sur la

Fig. 89. ligne S, il entraîne avec lui la droite D cl lui fait

m ( prendre un état de mouvement déterminé comme

, i • . / il suit :

! / ’ Soient ml la tangente en «i à la ligne S; mu la po-

o silion actuelle de la droite O; o le centre qui cor-

respond à la courbure géodésique affectée en m par la ligne S.

Lu droite I) eut animée de deux rotations simultanées u et W, respectivement établies, la première autour de lu tangente ml, l'autre autour de lu normule en o au plan tangent omt.

Opérons comme si la vitesse w était égale à l’unité. Ce procédé plus simple exige que nous substituions à la vitesse NV la vitesse — . Si, d’ailleurs, nous voulons plus tard restituer leurs «

vraies valeurs aux vitesses considérées, il suflira de les multiplier par le facteur o.

Représentons par ml la vitesse du point m. Elle est due tout

entière à la rotation établie autour du point » dans le plan tau gcnl oint, et l'on a, par hypothèse,

(I) ml — — ,mo.

Tirons la droite ot et eonsidérons un point quelconque n de la droite D. La vitesse du point n a pour composantes rectangulaires deux vitesses représentées en grandeur, l’une par nin, l'autre par np, le segment np étant parallèle à ml et se terminant à la droite ol ; il s'ensuit qu’elle est représentée en grandeur par I hypoténuse mp, et qu'en conséquence elle atteint son minimum lorsque le point n est choisi de manière à ce que la droite mp tombe à angle droit sur la droite ot.

J)e là résulte immédiatement la déduction suivante :

Selon que le point ni est ou n'est pas le point rentrai île lu droite 1), la courbure yéodésique affectée en ni par lu liyne S est nulle ou n’est pas nulle.

Il est clair, en eirct, que le point m ne peut se conl'ondrc avec le point n, supposé central, qu'autanl que la droite ol devient parallèle à la droite I), ce qui correspond à l’annulation de la vitesse W.

Considérons le lieu des points centraux, autrement dit lu liyne de striction de la surface A, et reportons-nous à l'équation (2) du n° 216, page 526,

Si nous appliquons celte équation à la ligue de striction, eu prenant pour axes coordonnés, d’une part, les génératrices rectilignes, d’autre part, leurs trajectoires orthogonales, on a d'abord et généralement, en ce qui concerne les génératrices rectilignes,

( ses )

On a ensuite, d’n près ce qui précède,

cette dernière équation subsistant pour le lieu des points centraux et rien que pour ce lieu.

De In résulte

l'équation (ô) s'appliquant à In ligne de striction et déterminant celte ligne à l'exclusion de toute uulre. On voit, d’ailleurs, aisément, «pie l'équation (3) implique les déductions suivantes :

1° I.a ligne i le striction des surfaces gauches est ou n'est pas une de leurs lignes géodésiques selon qu’elle coupe ou qu'elle ne coupe pas sous un même angle toutes les génératrices rectilignes ;

2 • Parmi les lignes tracées sur une surface gauche, la ligne de slrictio)i est la seule qui puisse satisfaire en même temps à la condition d’être le chemin le plus court entre ses différents points et de couper sous un angle constant toutes les génératrices rectilignes.

Revenons aux données premières et proposons-nous de déterminer, comme nu n" 224, page '14 '2, la différentielle de In vitesse mp dans le passage d’un point à un autre sur la droite ma. Si nous partons du point ni et que nous représentions par to la vitesse du point t sur la droite fixe ot, il est visible que le segment ml représente en même temps la vitesse du point m et sa différentielle. On voit aussi , sans la moindre diflieulté, que la quantité (ft du n" 224,

* Celte équation se trouve avec ses conséquences dans le mémoire déjà cité* de M. Ossian Itonnel, (pnfîe 71).

( Sfifi )

n’est autre chose que le segment mo. Il suit, de là, qu’on peut écrire lYnmédinlcnicnl

(4) . . . oint — — mt — mo = o).

Soit » la vraie valeur de la vitesse représentée ci-dessus par mt. Il suffit d’introduire le facteur constant a dans les deux termes de l’équation (i) pour en déduire , comme conséquence directe,

eos 9

la vitesse W étant évidemment égale au produit de la vitesse r par le module ^-^dc la courbure géodésique.

Un retrouve ainsi l'équation (3) du n“ 224, page 342.

3° Lignes et surfaces minima.

231. Soit S une ligne assujettie à rester sur une surfaee A et pouvant s’y déplacer comme on veut, avec ou sans déformation.

Plaçons-nous à l’instant précis où la ligne S s'écarte d’une position quelconque déterminée. Scs différents points peuvent être considérés comme sortant des lieux qu'ils occupent avec des vitesses normales à la ligne S et tangentes à la surfaee A. Ces vitesses, dites de circulation , sont précisément celles qui figurent sous le signe il dans tout ce qui précède. On doit observer, sans doute, qu’elles sont continûment variables d’un point à un autre; quoi qu’il en soit, il est visible que la quantité <?r = i.ds des numéros 224, 227 et 230 ne cesse pas d'exprimer la vitesse avec laquelle la différentielle ds croit ou décroît sur la ligne S à l'origine du déplacement que l'on considère. On peut, en conséquence, formuler dès à présent la déduction suivante :

* Théohéie 4. — Étant donné sur la ligne S un segment guelcongve, limité par deux points déterminés, ce segment commence

par croître ou par décroître selon que les rilesses exprimées, pour chacun île ses points, par <?. <ls sont toutes positives on toutes négatives.

Il est un second théorème applicable au cas qui nous occupe. Démontré plus loin, n° â.'iO, il S'énonce comme il suit :

TiiéoRF.MK H. — L'aire engendrée par une ligne S qui se meut dans l'espace arec ou sans changement de forme a pour di/Jérentielle le produit de cette ligne par sa vitesse moyenne de circulation.

Partons de ces prémisses et proposons-nous le problème suivant :

Trouver la ligne de longueur donnée qui circonscrit une aire maximum sur lu surface A, ou , ce qui revient au même, la ligne de longueur minimum pour une aire circonscrite de grandeur donnée.

On voit à priori que la ligne cherchée ne peut avoir aucun segment dont la courbure géodésique tourne sa convexité vers l’intérieur de l uire circonscrite. Autrement, en effet, on pourrait augmenter cette aire et diminuer son contour. Il suflirait pour cela de prendre deux points quelconques du segment convexe et de substituer à l’arc qu'ils comprennent entre eux la ligne géodésique qui leur correspond.

Ce premier point résolu, imaginons, d’ailleurs, que la ligne cherchée soit quelconque. Il s’ensuit que la courbure géodésique varie généralement d'un point à un autre et que, tournant partout sa concavité vers 1 intérieur de l'aire circonscrite, elle ne. cesse pas d’étre constamment croissante sur une certaine étendue M.Y.

Prenons sur .MA' deux arcs S, S' île même longueur cl repré*sentes respectivement, l’un par MA, l'autre par M’A'.

Soit m un point quelconque <le l’npc S cl »«' son conjugué sur Fig. Do. l'nrc S'. Ces points sont dits conjugués parce