V -y que les distances nrcuelles Mm, M'/n’ sont

M Jf' égales de part et d’autre.

Désignons par et par -jr- les courbures géodésiques qui correspondent respectivement l’une au point m de l are S, l’autre au point m de l’arc S'. Si nous posons, en général ,

eos s'

cos 0

il est visible ipie la quantité u reste toujours positive et supérieure à zéro.

Assujettissons l’arc S' à se déplacer sur la surface A, ses extrémités restant fixes et chacun des points qu’elles comprennent entre elles glissant vers l’ intérieur de l’aire circonscrite sans qu’il y ait solution de continuité.

Soit o/ la vitesse de circulation communiquée au point quelconque ni dans le déplacement dont il s'agit pour l’arc S'.

Opé rons de même en cc qui concerne l’arc S, à cela près que le point ni conjugué avec le point ni’ glisse vers l'extérieur de l’aire circonscrite, et que sa vitesse de circulation soit égale au produit

(1 -+- fi ) .

Considérons, en premier lieu, la somme algébrique des aires engendrées par les arcs S, S', dans leur déplacement simultané sur la surface A. En vertu du théorème 2, elle a pour différentielle

S.M(f -♦-;*)(?> — S'.M'fi,

et, eu égard à l’égalité des longueurs totales S, S',

Celte différentielle étant positive, on voit qu’elle implique, comme première déduction , l’énoncé suivant :

L'aire circonscrite commence par augmenter.

Considérons, en second lieu, In somme algébrique des différentielles, exprimées simultanément pour les points quelconques conjugués mi , m', l'une par <$.ds, l'autre par i.ds. On a , d'après ce qui précède, et coul'ormément à la formule (2) du n" 227, page o5i,

. . , eos 6

<a . ils =» (1 « ) è ) .ils . »

rj.lls' = 'J J .ils’

— (I 2 «) ’ii.tls'

eos 6

De là résulte, eu égard à l’égalité constante des quantités ils et ils’