PAC A

(3) fi (ils + ds')=—ft.'h.ds.—--

La somme exprimée par l’équation (ô) est constamment négative pour toute l'étendue des ares conjugués S, S'. On n donc, en vertu du théorème I , relie autre déduction :

Le contour de l uire circonscrite commence pur décroître.

Les résultats auxquels nous venons de parvenir et que nous avons formulés en italiques, sont absolument généraux. Ils prouvent, pour toute, ligne dont la courbure géodésique n’est point uniforme, qu'on peut en diminuer la longueur et augmenter en même temps l’aire qu'elle circonscrit. On en déduit , comme conséquence directe et évidente, le théorème suixnnt qui résout la question proposée *.

Lu ligne de longueur donnée, gui circonscrit une uire maximum sur une surface, n même courbure géodésique en chacun de ses points.

’ O théorème, démontré depuis longtemps dans le journal de M. Crelle. a été donné plus récemment par MM. Drlaunoyet Ossiau-l>nnnel.

On peut dire, plus généralement,

Les lignes dont lu longueur est un minimum, par rapport aux aires qu'elles limitent sur une surface, oui leur courbure géodésique constante et uniforme dans chacune des parties dont on peut disposer séparément.

252. Appliquons la marche que nous venons de suivre au cas d’un segment unique S dont la courbure géodésiquc tournerait sa convexité vers l’intérieur de l'aire circonscrite. On a, en même temps, pour la différentielle de l'aire engendrée,

et, pour la vitesse f.ds,

. , . eos 0

(5) à . tis = — <?l ,ds »

le déplarement ayant lien de l’intérieur vers l’extérieur.

On voit, par là, (pie l’hypothèse d’un segment convexe implique la possibilité d’un changement qui diminue le eontour en même temps qu’il augmente l’aire circonscrite. Celle hypothèse est donc inadmissible, ainsi que nous l'avons établi tout d'abord.

Prise à part et considérée isolément , l’équation (5) fait voir que la ligne tracée entre deux points sur une surface ne peut être la plus courte qu'mitant qu’elle satisfait partout à la condition générale

vos 0

Ce résultat nous ramène à la propriété connue des lignes géodésiques.

S’agit-il île la plus courte distance comprise sur une surface entre un point w et une ligne S? Soit n le point de la ligne S on vient aboutir la plus courte distance cherchée : ou sait déjà que la ligne mn est une des lignes geodésiques passant par le point m. On voit, d'ailleurs, aisément qu elle doit tomber à angle droit sur

la ligue 8 : cela résulte impliciteroent des considérations precedentes. On peut aussi le reconnaître en se représentant, d’une part, toutes les lignes géodésiques issues du point ni, d’autre part, celle de leurs trajectoires orthogonales qui passe par le point n. Les differents points de cette trajectoire étant tous équidistants du point m, il est visible que si elle coupait obliquement la ligne 8, la distance ni» augmenterait ou diminuerait selon qu’on déplacerait le point « dans un sens ou dans l’autre.

Déterminée par la condition d’étre géodésique et de tomber à angle droit sur la ligne S, la ligne mn peut être un minimum ou un maximum. En général, elle sera l’un ou l'autre, suivant que la courbure géodésique affectée en « par la ligne S sera moindre ou plus grande que celle qui correspond à ce même point dans la trajectoire orthogonale mentionnée ci-dessus *.

S’agit-il enfin de deux lignes S, S' tracées sur une même surface et dont on demande la plus courte distance? 11 n’est pas besoin de nouveaux détails pour reconnaître que cette plus courte distance doit tomber à angle droit sur les lignes S, S'. La ligne géodésique déterminée par cette condition peut donner, suivant les cas, un maximum ou un minimum. Cela dépend , comme tout à l’heure, des courbures géodésiques à considérer de part et d’autre, à chacune des deux extrémités de la plus courte distance. Si- les différences que ces courbures présentent, en général, étaient de signe contraire, la solution tomberaiten défaut et cesserait ainsi de correspondre, soit a un minimum, soit à un maximum proprement dit.

Résumant en quelques mots les détails qui précèdent et les déductions du n° 251 , nous dirons :

Les lignes (le longueur minimum tracées sur une surface ont même courbure géodésique en tous les points de chacune de leurs parties distinctes. Cette courbure est toujours nulle pour le cas

* On ne perdra pas de vue que la courbure géodésique affectée en n par la ligne S est considérée comme |*osili vc ou comme négative selon qu’elle tourne sa concavité ou sa convexité du cOlédu [point ni.

du minimum absolu. Elle n'est pas nulle, en général, pour le ras du minimum relatif.

233. Les considérations développées dans le n° 231 peuvent aisément s’étendre au cas des surfaces et des volumes qu’elles circonscrivent. Commençons, à cet effet, par établir les théorèmes dont nous avons besoin.

Soit A une surface quelconque, pouvant se déplacer comme on veut, avec ou sans déformation.

Plaçons-nous à l'instant précis où la surface A s'écarte d'une position quelconque déterminée. Ses différents points peuvent être considérés comme sortant des lieux qu'ils occupent avec des vitesses normales à la surface A. Représentons par?; ees vitesses, dites de circulation, et cherchons d’abord comment elles déterminent les vitesses correspondantes avec lesquelles la différentielle d.d\ croit ou décroît sur la surface A, à l’origine du déplacement que l’on considère.

Soient S une ligne tracée sur la surface A ; ni un point quelconque de eette ligne; B le lieu des droites menées suivant la ligne S normalement à la surface A. En même temps que la surface A sort du lieu qu’elle occupe, le point tu glisse sur la surface B avec sa vitesse de circulation »? A et l’on a, conformément à la formule (2) du n" 227, page 55i ,

eos 0

(1) I.ds = — ?).(/*.— •

.Soit P le plan oscillateur et R, le rayon de courbure qui correspondent respectivement pour le point ni, l’un à la ligne S, l’autre à la section normale de même direction. L'angle 6 est^ l'angle du plan P avec le plan qui touche eu m le lieu B, autrement dit l’angle que la normale en m à la surface A fait avec le rayon de courbure a. De là résulte , conformément au théorème de Meunier,

et, par suite,

p = R, eos h.

v. ils—- —

Ji.ds

Soi) a une deuxième ligne tracée sur la surfucc A el passant par le point m. On a, routine ei-dessus,

o. (la

à) .da

Its riant le rav on de courbure de la section normale qui correspond pour le point m à la direction fournie pur la ligne a.

Supposons que les lignes S et a se croisent au point m sous un angle quelconque ». On déduit aisément de lu formule upplieuble aux quadratures et démontrée plus loin, n° 231 ,

d.dA — du. du. siu ».

De là résulte, en général,

à. (d.dA) = [ds.'ï.da da . à. dis j silt» (Is.da.à a.eos »,

et, pour le cas particulier où les lignes S el » sont orthogonales,

(4) f(d.dA) — ds.i.da -«• do. 8. dis.

La combinaison des équations (2), (3) et (4) conduit au résultat cherche

(3). . . . j(d.dA) =— ^-] ds.da. Si.

Soient H et H' les rayons de courbure principaux qui correspondent au point iii de lu surface A. On a, généralement,

la quantité VV étant, comme on l a vu au n" 177, page 441, le module de la courbure moyenne affectée en ni par la surface A. Ecrivons, d’après ce qui précède,

(l>). . i(d.dA) = — j^-- -r- —1 dts.da . à> — — Vk’.dis .da.it.

L’équation (ti) est, par rapport aux surfaces, ce qu’est, par rapport aux ligues, l’équation (*2) du n" 227, page 334.

354. Ucportons-nous à la dernière équation. Elle implique la déduction suivante :

Théorème I. — Etant donné sur la surface A un segment quelconque, limité par une suite continue de points déterminés , ce segment commence par croître ou pur décroître selon que les vitesses exprimées pour chacun de ses points par la quantité o ( d . dA ) sont toutes positives ou tontes négatives.

Il est un second théorème applicable au cas qui nous occupe. Démontré plus loin, au a" 2(53, il s’énonce comme il suit :

Théorème 2. — Le volume engendré par une aire qui se meut avec, ou sans changement de forme a pour différentielle le produit de celte aire pur su vitesse moyenne de circulation.

Partons de là, cl proposons-nous le problème suivant:

Trouver lu surface d'aire donnée qui circonscrit un volume maximum, ou, ce qui revient au même, lu surface d'aire minimum pour un volume circonscrit de grandeur donnée.

Comparons ce problème à celui du n° 231 , page 3G(i : comparons, en même temps, les équations et les théorèmes qui se correspondent de part et d’autre. Si d'un côté, pour les lignes, c'est leur courbure géodésique qui intervient comme principe et base de solution, de l’autre, pour les surfaces, c'est leur courbure moyenne qui remplit identiquement le même rèle. Celle simple observation permet d étendre immédiatement aux surfaces les résultats obtenus pour les lignes et de les résumer, comme il suit :

Les surfacesdont l’aire est un minimum ont même courbure moyenne en tous les points de chacune de leurs parties distinctes. Celte courbure est toujours nulle pour le cas du minimum absolu ; elle n'est pas nulle, en général, pour le cas du minimum relatif

Ajoutons quelques détails pour juslilicr, s’il en est besoin, l’énoncé précédent.

S'ngil-ii d'abord du minimum absolu? Quelle que soit In surface cherchée, si sa courbure moyenne u est pas nulle eu cha<iuc point, on peut toujours trouver sur cette surface un segment A, supposé tel que la courbure moyenne n’y change pas île signe.

Prenons à part le segment A. Fixons-en le conlour et, sans le déchirer communiquons a ses points intérieurs des vitesses de circulation qui les portent tous à la fois d’un seul et même cété de leur lieu actuel. Selon que ce déplacement s’effectue dans l’un ou l’autre des deux sens qu’il comporte, les vitesses correspondantes

<?.(d.rfA)=- W ds.da.4x

sont toutes positives ou toutes négatives. Il suit de là et du théorème I que le segment A commence par croître ou par décroître suivant le sens qu’on attribue à son déplacement. Cette première déduction implique évidemment la conclusion suivante :

Les surfaces dont l’aire est un minimum absolu pour un conlour quelconque déterminé ont leur courbure moyenne constamment nulle.

S’agil-il ensuite du minimum relatif? On voit tout d’abord qu’il ne peut y avoir sur la surface cherchée aucun segment A dont la courbure moyenne tourne sa convexité v ers Vintèrieur du volume circonscrit. Autrement, en effet, si l’on déformait ce segment, sans le déchirer, les points du contour restant fixes, et chacun des autres glissant vers ('extérieur, suivant la normale qui lui correspond, les vitesses <? ( H.tlX ) seraient toutes négatives. Il y aurait donc à la fois augmentation du volume circonscrit et diminution de l'enveloppe, ce qui, par hypothèse, est contradictoire.

Cela posé, il sullit d’opérer, comme au n" 251, pour parvenir, en ce qui touche les surfaces, aux résultats obtenus concernant les lignes.

Il suflil J h tu r eela qu'il n’y ail aucun changement brusque dans les vitesses de circulation communiquées simultanément aux différents points du segment A.

Lit courbure moyenne devant être partout de meme signe, elle ne peut varier, d’ailleurs, sans être constamment croissante sur une certaine étendue. On peut, dès lors, substituer aux aresS, S' deux segments A, A', donner à chacun de ecs segments même grandeur totale et les conjuguer entre' eux, points par points, de tell» façon que la courbure moyenne l'emporte en chaque lieu du segment A’ sur celle qui lui correspond au lieu conjugué du segment A. Le reste s’achève sans difficulté, la marche restant absolument la ifiême et conduisant à la conclusion suivante :

Les surfaces, dont tuire est un minimum par rapport aux volumes (/u elles limitent, ont leur courbure moyenne concave vers l'intérieur, et la même en tous les points de chacune de leurs parties distinctes.

Indiquons comme corollaires deux conséquences faciles à établir d’après les données précédentes.

Soient A une série de surfaces a courbure moyenne nulle et sc succédant d’une manière continue. Traçons sur l’une d’elles un contour quelconque fermé, cl, par ce contour, concevons une surface B assujettie à couper orthogoualemcnt toutes les autres. Les aires interceptées par la surface B, sur les surfaces A, ont toutes même étendue totale.

Soit encore A une surface assujettie à être un minimum sous la seule condition d’aboutir librement à une surface donnée B. Déterminée par lu condition d’avoir en chaque point une courbure moyenne nulle , lu surface A doit , en outre, tomber à angle droit sur la surface B.

Voir, pour dernière application, la note finale, placée à la suite du chapitre XIV. On y fixe, par rapport au tracé des lignes considérées, le sens géométrique de l’équation

, cos fl cos fl’

ds il