CHAPITRE XIII

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES SURFACES (Ju’üK l'EUT AI’l'LIQUEll L’UNE SUR L’AUTRE SANS DÉCHIRURE NI DUFLICATURE.

• 235. Nous avons vu au n* 207, page 50(>, quelles sont, parmi les

surfaces réglées, relies qu’on désigne sous le nom de surfaces développables. Elles se distinguent des autres en ce qu’elles n’ont qu’un seul et même plan tangent pour tous les points d’une même génératrice rectiligne. De là résulte la propriété fondamentale qui les caractérise et que leur nom rappelle : elles peuvent se développer sur un plan et s'y appliquer , point pur point, sans déchirure ni duplicuture. Celte propriété comprend implicitement les suivantes :

I" Les surfaces développables peuvent toutes s'appliquer l'une sur l’autre, sans extension ni contraction d'aucun de leurs éléments linéaires ou superficiels ;

2" Étant données deux surfaces développables, un peut toujours pour chaque point de l'une, trouver sur l’autre un point correspondant , les points ainsi conjugués ayant pour lieux respectifs des arcs de même longueur.

Arrêtons-nous au dernier de ces deux énoncés, bien qu’il soit, en apparence, plus restreint que le premier, on reconnaît aisément qu’il l’implique. On conçoit, dès lors, que, procédant par voie d'extension et considérant, non plus seulement deux surfaces développables, mais bien deux surfaces quelconques cboisics.de manière à remplir, l’une par rapport à l’autre, la condition du dernier énoncé, on ait été conduit à dire de ces surfaces qu’elles sont applicables l'une sur l’autre sans déchirure ni duplicalure.

Dans tous les cas, rien ne fait obstacle à ce que l'on admette, comme vérité de définition, 1 énoncé général ainsi formule:

Etant données deux surfaces , si pour chaque point de l'une on peut trouver sur l'autre un point correspondant , les points ainsi CONJUGUÉS AYANT POUR LIEUX RESPECTIFS DES ARCS DK MÊME LONGUEUR, on dit de ces surfaces quelles sont applicables l’une sur l'autre sans déchirure ni duplicature. ,

Avant d’aller plus loin, cherchons s’il n’est pas, pour d’autres surfaces que les surfaces développables proprement dites, quelquç procédé simple qui permette de les appliquer ou de les transporter l’une sur l’autre, sans déchirure ni duplicature, autrement dit, sans extension ni contraction d'aucun de leurs éléments linéaires *. Les exemples qui suivent résolvent, en partie, cette question délicate.

23<i. Considérons, en premier lieu, les hélicoïdes gauches et proposons-nous la question suivante :

Étant donné un liélicoïde gauche, déterminer la série des hélicoïdes qui comprennent l’hélicoïde donné et qui peuvent se développer l'un sur l'autre, sans déchirure ni duplicature.

Soient II l’hélicoïde donné; A son axe; D sa génératrice rectiligne. On sait comment s'engendre l’hélicoïde 11, la droite D étant animée à lu fois de deux mouvements uniformes qui consistent respectivement, l’un en une translation parallèle à l’axe A, l’autre en une rotation autour de ce même axe.

Prenons la droite D dans une position quelconque déterminée. Nous pouvons la faire tourner sur elle-même, sans modifier, pour aucun de scs points, ni la vitesse actuelle de ce point, ni le plan tangent qui lui correspond sur l’hélicoïde. Quelle que soit la

* Dès qu'il y a transport sans déchirure ai duplicature, il s'ensuit également qu’il n'y a ni extension ni contiactinn d'aucun élément superficiel. Celle conséquence peut être considérée comme évidente à priori. Elle résulte, d'ailleurs, des principes exposés dans le chapitre suivant, en ce qui concerne la quadrature des surfaces.

rotation introduit? additionnclleinent autour de la droite I), des qu'on la compose avec In translation et la rotation déjà mentionnées, clic se résout en une translation parallèle à un certain axe A' et en une rotation établie simultanément autour de ce même axe.

Fixons l’nxe A' et assujettissons la droite I) a sortir du lieu qu’elle occupe, en persistant par rapport h eet axe dans 1er double mouvement qui résulte de la composition précédente, li en résulte que la droite D engendre un héiicoïde H', avant avec l’hélicoïdcll une génératrice commune et touchant ce même héiicoïde en tous les points de cette génératrice.

Celn posé, imaginons qu'on communique à chacun des hélicoïdes H, II' le double mouvement déterminé d'abord pour leur génératrice respective. Il est évident qu’ils ne sortent ni l’un ni l'autre des lieux qu’ils occupent cl qu’ils se développent l’un sur l’autre, point par point, sans déchirure ni duplicaturc. On voit, d’ailleurs, aisément, qu’ils réalisent , l’un pur rapport « l'autre, toutes les conditions établies au n° 207, comme conséquences du développement des surfaces développables proprement dites.

Les détails qui précèdent indiquent suffisamment la marche à suivre pour résoudre la question proposée. Tout se réduit à quelques constructions très-simples, fondées sur les notions élémentaires de cinématique et de géométrie. Bornons-nous à présenter le résultat final et laissons au lecteur le soin d’en vérifier l’exactitude, ce qui ne présente aucune difficulté.

II étant donné, par hypothèse, on en connaît les divers éléments : soient , en conséquence,

1° DD la génératrice rectiligne;

2" o son point central *;

5“ oui la vitesse de translation parallèle à l’axe A ; 4" on la rotation établie autour de ce même axe; 5° p la plus courte distance des droites A et D. Le plan de la figure étant celui que déterminent les droites oD, on i, désignons-lc parQ. (On soit qnc distance p se projette en o sur le plan Q).

le point central est situé sur la plus courte distance des

L héiicoïde Fig. 91.

la plus courte

‘ On sait que droites D et A.

Par le point n, menons la droite indéfinie BB, parallèle à DU, et du point o, abaissons sur cette droite la perpendiculaire oit.

Elevons en tn sur otn une perpendiculaire et déterminons-en l'extrémité a par la condition que la projection du segment mu stjr la droite DD soit égale au produit connu p . ob.

Tirons oa, et sur cette droite prise pour diamètre, construisons la circonférence de cercle omar.

Cela fait, voici la solution.

« On peut, toutes choses éyules d’ailleurs, substituer à la » corde ont une corde quelconque otn'. L’hélicoidc désigné par » Il et correspondant à la corde ont est déterminé comme il

> suit:

• Son axe A' est parallèle ù oui'; il coupe la plus courte dis- » tance p h une distance du point o représentée par le rapport du » segment ne' au segment ob , ae étant la projection de la cordc » m'a sur la droite DD ou sa parallèle ca.

• Dans 1a génération de l’hélicoïde II', la droite D glisse paral-

> (élément à l’axe A' avec la vitesse om’ ; elle tourne eu même » temps autour de cet axe avec la vitesse on' • \

Les hélicoïdcs. il' ainsi déterminés sont tous conjugués u\cc riiélicoïdc 11. Ils peuvent se développer l'un sur l’autre, sans dccnirurc ni duplicalure. Parmi ces hélicoïdcs, il eu est trois, eu général, qu'il convient de distinguer.

L’un est l’hélicoïde dont l’axe dirigé suivant ou coupe la génératrice 1) au point o.

Le second est riiélicoïdc gauche à pian directeur, dont l’axe est dirigé parallèlement à la droite oc.

Le troisième sc résout en un hypcrholoïde de révolution dont J'axe a pour direction celle de la droite qui touche eu o la circonférence omac.

Dans le eus particulier, où la vitesse oa du point central est dirigée perpendiculairement à la génératrice I), les deux premiers

* On observera que l’axe A' est situé en avant ou en arrière du plan y, selon que le point ai' est au-dessus ou au-dessous de la |terpcndiculaire ai a baissée du point a sur la droite OU

( Ml )

de ecs trois liélieoïdes se confondent en un seul. Le dernier se réduit à son axe et s évanouit en s'identifiant avee la généra triée. On voit, aisément, qu'en ec cas, le produit des vitesses de translation et de rotation est constant pour tous les liélieoïdes *.

Rien ne changerait dans les déductions précédentes, si, au lieu de demeurer fixe, comme on l’a supposé pour la génération de l'hélieoïde II', l'axe A' passait continûment par toutes les déterminations qu’il comporte, et qu’en même temps, la génératrice D prit, pour chacune de ces déterminations , les vitesses de translation et de rotation qui lui correspondent. De là résulte une infinité de surfaces gauches, comprenant les liélieoïdes II', conjuguées comme eux avec l’hélieoïde II et susceptibles de se développer les unes sur les autres, sans déchirure ni duplicaturc.

Nous avons fait observer que parmi les liélieoïdes H', il en est un dont l’axe est coupé par la génératrice D. On voit, d'ailleurs, aisément, que cette génératrice coupe sous un angle constant le lieu des points centraux, autrement dit, la ligne de striction. Il suit de là, que les lignes de striction des hélieoïdes IL et des surfaces susceptibles de s’appliquer sur eux, sans déchirure ni duplicaturc, sont les chemins les plus courts entre les différents points de ces lignes , et quelles sont coupées sous un angle eonstant par les génératrices rectilignes qui leur correspondent respectivement. Ces résultats s'accordent avec les déductions du n" 2ô0, page ;>(m.

2ô7. Considérons, en second lieu, une surface gauche quelconque et proposons-nous lu question suivante :

Etant donnée une surface gauche quelconque , déterminer la série des surfaces de même genre qui comprennent lu surface donnée et peuvent se développer l’une sur l’autre, sans déchirure ni duplicalure , par application mutuelle et réciproque de leurs génératrices rectilignes.

Soit A la surface donnée et D sa génératrice rectiligne. Imngi-

* Voir au besoin pour plus de détails, les Ihdlctivs (te !' Académie roi/alr de IleUjique, ( 2""' série , Ionie XI , n" 4).

non* que la droite D se meuve en restant sur In surface A. On peut, à mesure qu’elles s’engendrent continûment, distinguer les parties déjà engendrées par In droite D de celles qui ne le sont pas encore, et assujettir les premières à tourner autour de cette droite d’un mouvement commun. Quelle que soit la rotation établie, comme on vient de le dire, autour de la droite mobile I), elle ne modifie en aucune façon les vitesses actuelles des différents points de cette droite. Il suit évidemment de là, qu’elle a pour unique effet de transformer la surface donnée A en une surface A', susceptible d'une infinité de déterminations différentes, exprimant pour chacune un des développements que comporte la surface A et résolvant ainsi la question proposée.

Sans rien changer à ce qui précède, imaginons qu’à partir d’une position quelconque de la droite D, on continue la surface A' en lui assignant d’avance sa forme définitive. La rotation établie autour de la droite D aura maintenant pour effet d’appliquer continûment et successivement toutes les génératrices rectilignes de la surface A' sur les génératrices correspondantes de la 'surface A, de telle façon que ia droite D pourra être considérée comme décrivant à la fois les deux surfaces A , A', la première étant fixe et la seconde tournant tout entière autour de la droite D.

Lorsque la droite D se meut sur la surface A', il est indifférent que cette surface demeure fixe ou qu’elle tourne autour de la droite D. Rien n’est modifié par ce mouvement, ni dans les grandeurs absolues, ni dans les directions relatives des vitesses actuelles de ses différents points. Concluons que les lignes décrites simultanément par un même point quelconque de la droite I), l’une sur la surface A, l’autre sur la surface A', ont même longueur et coupent sous un même angle les génératrices rectilignes qui se correspondent de part et d’autre.

On sait que, pour identifier les états de mouvement de deux droites qui sortent en même temps d'un même lieu, il est nécessaire et suffisant de faire coïncider leurs points centraux, les vitesses de ces points et, en outre, celles de deux autres points quelconques, situés en un même lieu sur chacune de ces droites.

Partant de là, et dejpe qui précède, on peut formuler comme il suit les conditions h remplir pour que deux surfaces gauches puissent se développer l’une sur l’autre, sans déchirure ni duplicalurc, par application mutuelle et réciproque de leurs génératrices rectilignes :

1" Les génératrices rectilignes conjuguées doivent couper sous un même angle les lignes de striction correspondantes ù chacune des surfaces et intercepte y sur ces lignes des arcs égaux;

2° La distance comprise, sur deux génératrices conjuguées, entre leur point central et celui où le plan langent fait un angle de 45“ avec le plan tangent au point central , doit être lu même de part et d'autre.

Observons que les plans tangents tournent d’un même angle pour d’égales distances franchies, à partir du point central, sur deux génératrices quelconques rectilignes et conjuguées. Il en

résulte que les modules N, et des numéros 203 cl 204, pages

497 et 499, sont les mêmes de part et d’autre. On peut exprimer ce résultat, en disant que les surfaces A et A' ont même courbure en leurs points conjugués. Nous verrons plus loin comment cette dernière condition suffit à elle seule pour impliquer les autres.*

338. Considérons, pour dernier exemple, les surfaces de révolution et proposons-nous la question suivante :

Etant donnée une surface de révolution, déterminer parmi les surfaces de mêjne genre celles qui comprennent la surface donnée et qui peuvent se transporter l’une sur l’autre , sans déchirure ni âuplicature , par application mutuelle et réciproque de leurs parallèles respectifs.

Soient MN, M'iV deux droites indéfinies, parallèles fixes. Fig. 9î. Soient en même temps mn , mn deux segments quel- M jy conques de grandeur constante, assujettis à glisser rom- „ me on veut, l’un sur la droite MN, l’autre sur la droite

M'N”. Tirons les droites mm, nn‘ et considérons le trn- «• ~l père mnn'm’. Quelle que soit In position relative des segjr »

menu mil, im V, l uire trapézoïdale mun'in' demeure invariable. De là résulte, en ce qui concerne les surfaces cylindriques, le théorème suivant, facile à démontrer en toute rigueur *.

Lorsqu'on fait (/lisser, les uns pur rapport aux autres, les segments interceptés sur les génératrices d'un cylindre entre deux lignes quelconques , (chacun d’eux conservant sa longueur primitive et restant sur la génératrice qui lui correspond) l’étendue de l'aire déterminée par l'ensemlde de ces mêmes segments demeure invariable.

Cela posé, soient A une surface de révolution, au’ son axe, ce Fin. !>3. 11,10 portion de la ligne méridienne,

x' Prenons la ligne ce' pour section droite d'un cylindre dont les génératrices puissent glisser sur ellesmêmes, indépendamment las unes des autres, et cela sans sortir du lieu qu’elles occupent dans l’espace.

Imaginons que la surface A tourne d’un certain angle autour de l’axe au, et supposons que, pgpdant cette rotation, chacun des parallèles correspondant au segment ce' communique à la génératrice qu’il touche la vitesse de son point de contact. Il est visible qu’au moment où la rotation s’achève, l’arc compris, pour chaque parallèle, entre le point où le contact subsistait a l’origine et celui où il s'arrête, se trouve développé suivant la génératrice correspondante du cylindre, et que celle-ci a glissé sur elle-même d’une longueur précisément égale à cet arc.

Désignons par E l’aire que détermine sur la surface A un contour quelconque tracé entre les deux parallèles e«, c'a' et les positions extrêmes du méridien qui coïncidait d’abord avec la ligne cc'.

Tous les points de l’aire E se sont appliqués successivement sur la Surface cylindrique, de manière à former une série de

* Il suilit [lourcelade développer sur un plan le cylindre que l’on considère cl d'opérer, soit directement, soit en se fondant sur ce (pie l'aire engendrée par nu segment de droite a |iour différentielle le produit de ce segment par la vitesse de circulation de son point milieu.

segments rectilignes juxtaposés, parallèles, et n’ayant subi les uns par rapport aux autres aucun déplacement, si ce n’est celui qui résulte du glissement inégal des génératrices sur lesquelles ils sont situés respectivement. La conséquence évidente est que l’aire déterminée sur le cylindre par l'ensemble de ces mêmes segments a une étendue précisément égale à celle de l’aire E sur la surface A. Il ne resterait donc plus qu’à développer le cylindre , c'està-dire qu’à rectifier sa section droite, si l’on voulait obtenir le* développement lio7iialograj>liique de l’aire E *. Notre but étant autre, poursuivons.

Soient A, A' deux surfaces de révolution ; M, M' leurs méridiens respectifs; C, C' les cylindres droits circonscrits à ces surfaces le long des lignes M'.

Le procédé suivi tout à l’heure montre qu’après avoir transporté la surface A sur lc.cylindrc C, on peut replier eelui-ei sur le cylindre C', et reporter la surface A sur 1a surface A' d’une infinité de façons différentes.

Considérons le cas où le cylindre C est replié sur le cylindre C', de manière à ce que la ligue M soit appliquée sur lu ligne M'. 11 est visible que le transport de la surface A sur la surface A' se résout généralement en un développement homalographique de la première surface sur la seconde. Pour qu’il en fût autrement ; pour qu’il y eût développement sans extension ni contraction d’aucun élément linéaire ou superficiel; pour que toute ligne transportée de la surface A sur la surface A' reprit et conservât sa grandeur première, il faudrait que les génératrices du cylin- # dre C', alors qu’elles sont entraînées par la rotation de la surface A', glissassent avec des vitesses respectives précisément égales à celles qui animaient ces mêmes génératrices dans le déve-

' On entend par développement homalographique un développement dans lequel les lignes tracées sur la surface à développer changent, en général , de forme et de grandeur, tout en conscrvaul aux aires qu’elles circonscrivent leurs étendues premières. La projection Flamsleed présente le résultat d’un développement homalographique effectué d’après les indications du texte. Il n’en est j»s tout à fait de même de la projection homalographique de M. Italiinet. Elle est analogue à ce développement , mais non pas identique.

loppement de la surface A sur le cylindre C. Veut-on remplir cette condition? Il suffit de déterminer la ligne M' de telle façon qu’étant appliquée sur la ligne M, les rayons des parallèles, qui correspondent de part et. d’autre aux mêmes points, conservant entre eux un rapport invariable. Supposons, en effet, que ce rapport soit exprimé par m et qu’il s’agisse d’un point pour lequel les rayons des deux parallèles soient respectivement r et r'. On a, par hypothèse,

Cela posé , si dans le .transport de la surface A sur le cylindre C,

la vitesse de rotation est W et qu’on la prenne égale à — dans l’opération subséquente, c’est-à-dire, lorsqu’on reporte cette même surface du cylindre C' sur la surface A', il est clair que la génératrice correspondante aux deux parallèles, dont les rayons sont respectivement r et r' aura, dans le premier cas, une vitesse r. W et, dans le second, une vitesse ^ . L’égalité visible de ces deux vitesses implique, comme conséquence, la possibilité de transporter la surface A sur la surface A' ou réciproquement, sans déchirure ni duplicature.

239. Rapportons la ligne M à deux axes coordonnés rectangulaires, dont celui des x coïncide avec l’axe de révolution de la surface A. Désignons par n un point quelconque de cette ligne; par x, y les coordonnées du point n; pars l’arc de la ligne M compris entre le point « et un autre point quelconque déler- . miné

La ligne M' restant à déterminer, d’après les conditions précédentes, supposons-la rapportée aux mêmes axes et désignons par n'„ les points de cette ligne qui sont conjugués, par hypothèse, le premier avec le point n, le second avec le point Soient x', y' les coordonnées du point ri, et s' l’arc de la ligne M' compris entre les points ri et h'. Les équations du problème sont très-simplement

m étant une constante.

De là résulte

dx* -+- dy* — dx'* -+- d;/’- = tlx'1 4- *M* i/i/', et, par suite,

(1) i/i * = dx * -4- (I — wi*) cly*.

Soit.

(2) ÿ => fi*)

l'équation de lu ligne M. On a, pour équations correspondantes de la ligne M',

... j.V' =«iy= >»f(x)

( x'= ax-RC”*' V \ 4- (I — ui*) f'(x)\

L’équation de la ligne M étant mise sous la forme

on a de même, pour équation correspondante des lignes M',

(5). . . m . ar'= \ÿ. M,’i+ ^ \/ \ — m*+f' (^)*-

On observera que la deuxième des équations (3) et léqualion (5) éipii valent respectivement, la première à l’équation différentielle

(li). . . . dx' = dx V' 1 4- (I — m*)f(x)*; la dernière à l’équation différentielle

w.rfx' —

Concluons que, quelle que soit l:i ligne >1, on peut toujours trouver une série de lignes M', conjuguées entre elles et mer la première, de telle façon que les surfaces engendrées par ees lignes dans leur rotation autour de l’axe des x soient toutes transportables, lune sur l’autre, sans déchirure ni du plicature.

Considérons, en particulier, le cas de la sphère, la ligne M avant pour équation

On déduit de là, pour équations des lignes M',

(8). . y' =r m .y cos -r, dx'—nlt\/\ — tir sin* s,

la variable y étant remplacée par r.cos

Les équations (8) sont précisément relies qu'on obtient pour la ligne méridienne de l’hélicoïde à génératrice courbe, qui dérive de la sphère * et qui jouit de la propriété d’avoir en chacun de scs points une même courbure moyenne. Il est remarquable que cette même ligne, suivant qu’elle tourne , sans glisser, autour de l’axe des x ou qu'elle tourne nutour de eet axe, en glissant , suivant sa direction, avec une vitesse dont le rapport à la ylrs**' de rotation est exprimé par le produit r V I — m *, engendre, dans le premier cas, une surface d'égale courbure et, par conséquent , applicable sur la sphère; dans le second, une surface à courbure moyenne constante.

On peut multiplier indéfiniment ees applications. Bornons-nous à en donner une seconde.

Soit un ellipsoïde ayant pour ligne M une ellipse dont le petit axe est situé sur l’axe de révolution. L'équation de la ligne M étant

Voir, au besoin, les Bulletins de l'Académie roi/alc de Belgique, (2mr série , lame VI , n° ô).

Si l’on désigne par c l’excentricité V l>‘— «*, et qu’on attribue à m la valeur r- , on trouve, pour équation correspondante d’une des lignes conjuguées M',

,j = mtj — m.lt eus », x' = «.i? . M ( 1 ) = «.y, et, par suite,

(10) y ’=ccos — •

Dans l’Iiy potlièse où l’on attribuerait à m une valeur quelconque moindre que l’unilc, on aurait pour équations générales des . lignes M

. . / mïbi— e’ .

(11) , y =m.b. cos», x —u. As.Hr fV/ * 5 sm* ».

Changeons le signe de la quantité u‘. A l’ellipsoïde se substitue l’Iiypcrboloïdc de révolution à une nappe; à la sinusoïde représentée par l’équatiou (10), l’espèce de chamelle ayant pour équation

On a, d’ailleurs c = V u* -4- b1, et les équations (I I) sont remplacées par les suivantes

es;

). y' — m.b.cos j, x' = a.iy.M’ + i,> y/” , * — sin*y — I.

Rappelons-nous, conformément aux déductions du nu 2ô(i, page 580, que l’hypcrboloîdc de révolution à une nappe fait partie d’une série d’hélieoldcs développables l’un sur l’autre, sans déchi-

Cette équation se déduit directement de l'équation (10) eu remplaçant a par a — I et faisant usage de la formule 2 du n° ô8, page 01. On |>eul s'assurer de sou exactitude , en constatant qu'elle \ érilie l'équation

rare ni du plicature. Ce même hvpcrboloïde pouvant se transporter sur chacune des surfaces de révolution déterminées par les équations (13), on voit qu'il sert de transition entre ces surfaces et les hélicoïdes gauches, ceux-ci devenant applicables sur celles-là, et réciproquement, le touLsans extension ni contraction d’aucun clément linéaire ou superficiel *.

240. La solution du n" 239 s’applique, eu général, à toutes les surfaces de révolution. Ell^ comporte, en outre, une extension qu’il convient d’indiquer.

Soient S, S' deux lignes planes, l’une quelconque, l’autre déterminée comme il suit :

Soient u un point mobile assujetti à décrire la ligneS; V la vitesse de ce point à un instant quelconque; u la vitesse angulaire simultanée de sa directrice, u' étant un second point mobile, on suppose qu’à ce même instant il est animé d’une vitesse V' *=. m. V et que sa directrice tourne avec une vitesse angulaire a' —— . Cela posé, la ligne S' est la trace du point /a', cl les positions conjuguées des points u, «' sont celles qu’ils occupent simultanément, l’un sur la ligne S, l’autre sur la ligne S'.

Par hypothèse, M, M' sont deux courbes planes, telles qu’en les prenant pour lignes méridiennes «le deux surfaces de révolution , ces surfaces peuvent se transporter l’une sur l'autre kinine on l’a vu tout à l'heure.

Prenons la ligne S pour section droite d’un cylindre C et faisons coïncider l’ave de la ligne M avec une génératrice quelconque D de ec cylindre. Soit b la surface engendrée par la ligne M , lorsque son plan s’enroule, sans glisser, sur la surface du cylindre C.

Prenons de même la ligne S' pour section droite d’un cylindre

* Le lr.tns|iorl «l'un liélicotde gauclu; sur une surface de révolution <|ui n'admet pas de génératrices rectilignes présente , au premier abord , assez de dilUcullés, pour qu'il semble impossible de se le figurer nettement et, surtout, de le réaliser par voie géométrique En déterminant les transformations successives qui |ieriuettenl d'effectuer ce liausporl et d'en suivre tous les détails, ou jette, pensons— nous , quelque jqur sur une questiou qui offre de l’iulérét et qu’il n’est |«s indifférent d'éclaircir à raison même tic sou importance.

( SSII )

C', et faisons coïncider l uxe (le lu ligne .M avec la génératrice de ce cylindre qui correspond à la précédente, e’est-à-dirc qui coupe la ligne S' en un point conjugué avec celui où la génératrice D vient couper la ligne S. Soit B' la surface engendrée par la ligne M', lorsque son plan s’enroule, sans glisser, sur le cylindre C'..

Cela posé, il est aisé de voir et de démontrer, comme on l’a fait pour les surfaces de révolution engendrées respectivement par les lignes M, M', que les surfaces B, B' sont transportables l’une sur l’autre, sans déchirure ni duplicature.

Les équations différentielles qui déterminent la ligne S', en fonction de la ligne S, s’obtiennent aisément sous forme de quadratures. On les déduit directement des équations de condition

Bornons-nous à signaler les résultats suivants :

I” Lorsqu'on prend pour ligne S une circonférence de cercle au rayon r, la ligne S' est une circonférence de cercle au rayon

2" Lorsqu’on prend jiour ligne S lu développante du cercle au rayon r,^a ligne S' est lu développante du cercle au nu on w*.r.

lies résultats n’exigent aucun calcul pour s’établir directement: On voit d’ailleurs « priori que si l’on désigne par p, p' les rayons de courbure qui se correspondent en deux points conjugués des lignes S, S' on a, généralement

p = Ms . p.

Vérifions pour le cas des surfaces de révolution, comme nous l’avons fait pour celui des surfaces gauches, qu elles ne peuvent s'appliquer l’une sur l’autre, d’après les conditions du n* 259, sans avoir même courbure en leurs points conjugués.

Soient R , R’ les rayons de courbure principaux d'une surface de révolution. Rien n’étant changé aux données du n° 239, désignons pur a. l'angle que la tangente eu un point quelconque du

méridien fait avec l’axe de rotatien. On a pour l'un de ces rayons , celui que lu normale détermine en position et grandeur,

<*OS a

et pour l’autre, celui de lu ligne méridienne au point considéré, , <b*

R* = — cos a, *

la vitesse f/s étant supposée constante.

De là résulte, pour la surface A du n" 239 , page 580,

RR'=y.

S’agil-il ensuite des surfaces A'? Les équations de condition *=*«'» y' — m.y,

ils' = f/« , tPy' = lu . (P y.

donnent

Il s’ensuit évidemment qu’il y a, de part cl d’autre, égalité de courbure.

* Parlant de l'équation

Jij s= (/s. siu «c,

et assujettissant la vitesse ils à demeurer constante , on a tl,ij = ds. cos *. fl*.

Mais, d’un autre côté, on a généralement,

W rfjc

Il vient donc aussi, par voie de substitution,

II' — COS JC.

Celle démonstration s’étend d'ellc-nicmc aux surfaces H, B". Il csl visible, en effet, <|iiesi l’on a pour l'une, (ouïes choses égales d’ailleurs,

ou a, en même temps, pour l'autre.

Y — jy' m.c — mY.

241. Aboi-dons mainlenanl la question générale, eu la traitant comme elle sc pose d’après la définition du h" 23b. Il s’agit de déterminer les conditions à remplir pour que deux surfaces quelconques A, A' puissent être considérées comme applicables l une sur l’autrosans déchirure ni duplicalurc.

Les surfaces A , A' satisfont, par hypothèse, h la condition suivante :

A tout point de la surface A correspond un point déterminé de la surface A', les points ainsi conjugués uguut pour lieux respectifs des arcs de même longueur.

De là résultent plusieurs conséquences relatives aux ores tracés sur chacune des deux surfaces A, A', et qonjugués entre eux comme les points dont ils sont les lieux respectifs. Disons, d’abord, les ' plus simples et les plus directes.

1” Les points 31 , N étant pris, comme on veut , sur lu surface A, et leurs conjugués M', N' sur la surface A’, l'arc géodésitjue MN « pour conjugué l'urc gêodêsique M'.V;

2° Soient O.M , ON deux arcs quelconques issus du point O sur la surface A : ces arcs et leurs conjugués O'M', O’ IV se coupent sous un meme angle, les deux premiers en O, les deux derniers en O' * ;

* Il csl entendu que chaque couple de )>oilil8 conjugues est désigné par une même lettre, accentuée ou non accentuée, selon qu'il s’agit de la surface A’ ou de U surface A

3“ Deux arcs quelconques conjugués mire eux et situés respectivement, l’un sur lu surface A, l'autre sur la surface A', ont même courbure géodèsique en chacun (le leurs points conjugués.

Ces premières déductions sont en quelque sorte évidentes. Déinonlrous-lcs néanmoins. Nous dirons ensuite quelles sont les autres.

Il n’c.vistc, eu général, entre deux points d’une meme surface qu'une ligne géodésique. Si l’are MN est la ligne géodésique allant du point M au point N sur la surface A, il est le chemin le plus court qu’on puisse y tracer entre ces deux points. L’are M N' étant le conjugué de l’are MN a, par définition, même longueur. On conclut aisément de là que l’are M'N' est sur la surface A' le chemin le plus court du point M' au point N' et qu’il se «onfond, en conséquence, avec l’arc géodésique correspondant. Le premier des trois théorèmes énoncés ci-dessus se trouve ainsi démontré. Passons au second.

Les lignes OM , ON étant tracées sur la surface A et supposées quelconques, concevons deux points mobiles j», , assujettis à les décrire, et sortant du lieu O à l’instant que l'on considère. Soit r, la vitesse actuelle du premier de ces points et r, celle du second; u leur vitesse d’écart à l’origine de leur déplacement; a l’angle des tangentes eu. O aux ligues OM, ON. On a évidemment

M* = l’î -+- t’i — COS a.

Supposons, toutes choses égales d'ailleurs, que l’on substitue aux lignes OM, ON leurs conjuguées O'M , O .V. En désignant ici par u' et a' les quantités désignées tout à l’heure par »/ et a, ou a , comme ci- dessus,

«'* = c| -r- rj — 2e, v* cos a'.

Mais, par définition , et comme conséquence directe de l’égalité qui subsiste, de part et d’autre, entre les arcs conjugués, les vitesses u, a' sont nécessairement égales. II faut donc aussi que l’on ait

L'égalité îles angles x, a’ justifie lu seconde des propositions énoncées plus haut. On peut aussi la considérer comme impliquant la troisième. Quoi qu'il en soit, procédons pour celle-ci, comme pour les deux autres, en la traitant directement.

Soit OM un arc quelconque donné sur la surface A. Représentons-nous le système des lignes géodésiques issues à angle droit des différents points de cet arc, cl considérons ce même arc comme une des trajectoires orthogonales de ce système. On a, conformément à l’équation (3) du n" 224,

. co s éi

(1) 4v — — o Ji.

Substituons à l’arc OM.son conjugué O’M' et répétons pour ce second arc ce que nous avons fait pour le premier. En désignant par v', 9' et p' les quantités désignées tout à l’heure par v, >, 9

et p, on a, comme ci-dessus,