RIT J

cl qu’on l’applique à deux quelconques de ecs trajectoires conjuguées, l’identité qui subsiste, de part et d’autre, entre les quantités correspondantcsexpriméespar , <î , o>. implique celle du produit des rayons de courbure principaux H, R'.

La conséquence à laquelle nous venons de parvenir est à la fois curieuse et importante. Le théorème qui en résulte est dû à 31. Gauss. On peut l'énoncer dans les termes suivants :

Lorsque deux surfaces sont applicables l'une sur l'uutre sans déchirure ni dupliculure , le produit de leurs rayons de courhure principaux est le même en deux quelconques de leurs points conjugués.

Nous avons mi nu n" 204, page ;>00, qu’en désignant par tu un point d’une surface A , et par 11, R’ les rayons de courbure principaux correspondants, on est convenu de considérer la quantité

. ^ cum|,le exprimant la courbure do la surface A au point in. Ou peut doue dire aussi et plus simplement :

Lorsque deux sur fores sont applicables l’une sur l'autre sans déchirure ni duplicalure, elles ont meme courbure en leurs jioinls conjugués.

243. La proposition qui précède « sa réciproque énoncée comme il suit :

Lorsque deux surfaces ont même courbure en leurs jyoints conjugues, elles sont applicables l'une sur l'autre sans déchirure ni duplicalure.

Avant »lc démontrer cette réciproque, il faut d'abord spécifier «l'une manière précise en quoi consiste, pour les deux surfaces que l’on considère, la eorrespondancc établie entre un point quelconque de l'une et son conjugue sur l’autre.

Le point O étant pris sur la surface A, représentons-nous «‘elle surface comme le lieu des ligues géodésiques issues de ce point, et, parmi ces lignes distinguons 1'unc d'elles, la ligne OB, par exemple, que nous supposerons fixe et déterminée *.

Opérons de même en ce qui concerne la surface A'. Au point O se substitue le point 0‘, à la ligne OB la ligne O'B', le point O' et la ligne O'B' étant choisis comme on veut.

Cela posé, faisons correspondre, d'une part, les lignes géodél'ig. 04. siques qui coupent sous un mémo angle quelconque u,

l'une la ligne OB, l’autre la ligne O'B', d’autre part, les points de ces lignes qui sont situées sur elles à égale distance de leur origine respective.

Il est visible qu’en opérant d’après ces conventions, on détermine pour chaque point de lu surface A un point correspondant de la surface A'. Ces points vont ainsi par couple et il en est de même de leurs lieux respectifs.

Lorsqu’on dit des uns et des autres qu'ils sont conjugués entre

eux, on entend exprimer qu’ils se déterminent l’un par l’autre,

suivant le mode exposé ci-dessus.

* On ne perdra pas de vue, pour ce qui suit, qu'il n’existe, en général , qu’un seul plan tangent eu O à la surface A.

Celte explication donnée, rappelons-nous et ne perdons pas de vne que, par hypothèse, les surfaces A , A' ont même rourhure en leurs points conjugués.

Soit Miu une trajectoire quelconque orthogonale des lignes géodésiques issues du point O sur la surface A. Soit M'i»»' sa conjuguée sur la surface A' *.

Supposons que les arcs conjugués de ces deux trajectoires aient même longueur, et, pour chacun de leurs points conjugués, même courbure géodésique.

En appliquant au point ni, pour la courbe Mo», et à son conjugué »»»', pour la courbe M'm' l’équation (12) du n” 22, page 549,

cos 8 f cos* 8 i = I r— H

ù L p KH J

et l’équation (2) du n" 227, page 554,

cos 8

i.ns — ds.tix,

on reconnaît immédiatement que les conditions supposées remplies par les trajectoires orthogonales Mm, M'm' s’étendent, de proche en proche , à toutes les courbes qui font partie de leur système, et qui sont comme elles, par rapport aux lignes géodésiques issues des points O et O', des trajectoires orthogonales conjuguées. Il est clair, en effet, que l égalité primitive des ares conjugués et celle de leur courbure géodésique se maintient de part et d’autre, puisqu’il y a identité dans les vitesses avec lesquelles ces ares et ces courbures croissent ou décroissent simultanément pour un même déplacement effectué suivant les lignes géodésiques correspondantes.

Observons ici que pour réaliser l’hypothèse admise, en ce qui

' Ou sait que les serments interceptés sur les lignes géodésiques par deux quelconques de leurs trajectoires orthogonales sont tous égaux entre eux II en résulte que l’arc M m' conjugué, par hypothèse, avec l’arc Mm est une des trajectoires orthogonales des lignes géodésiques issues du point O' sur la surface A'.

concerne les courbes Mm, M'nt',il suffit de les prendre dans In position où elles se confondent, en même temps, l'une avec le point O, l’autre avec le point ()'. Cette simple remarque permet de poser, dès à présent, la déduction suivante

4° Lorsque deux surfaces oui meme courbure en leurs points conjugués, les arcs conjugués, pris sur les trajectoires orthogonales des lignes géodésiques , ont même longueur et, pour chacun de leurs points conjugués , même courbure géodésigue.

Cet énoncé s’étend en quelque sorte de Iui-méme à tous les ares qui sont conjugués entre eux sur les deux surfaces que l’on considère. Soient, en effet , mn, m'n' deux ares quelconques conjugués et situés respectivement l’un sur la surface A, l’autre sur la surface A'. Imaginons que ces deux ares soient décrits simultanément, le premier par un point u animé d’une vitesse constante, le second par un point p' assujetti à prendre à chaque instant sur l’are m'n la position conjuguée avec celle que le point u occupe à ce même instant sur l’arc mn. Pour que celte condition soit remplie, il faut, d’après ce qui précède, que les vitesses simultanées des points u, p‘ aient mêmes composantes, d’une part, suivant les lignes géodésiques (V, O '/u', d'autre part, suivant les trajectoires orthogonales de ces lignes. Il faut donc aussi que ces memes vitesses soient égales. Il suit de là que les ares conjugués mn, m'n' sont égaux entre eux et qu'ils coupent sous un même angle les lignes géodésiques conjuguées qui leur correspondent respectivement de part et d’autre.

Ces dernières déductions impliquent évidemment la réciproque qu’il s’agissait d’établir. On 'peut donc conclure en résumant comme il suit les deux propositions fondamentales que nous avons démontrées successivement :

Pour que deux surfaces soient applicables l’une sur l’autre

Si la rigueur de celte déduction devenait douteuse; s'il arrivait, par exemple, que l'un des points O, O' ne satisfit pas à la condition générale de ne comporter qu’un seul plan tangent, on pourrait s’en tenir il la donnée première, et maintenir, comme devant être réalisée, la supposition faite en ce qui concerne l'égalité de longueur et de eonrtmre géodësique des arcs Mm, M'm’.

sans déchirure ni duplicaturc, il rat nécessaire et suffisant c/u'elles aient même courbure en leurs points conjugués.

244. Le théorème qui vient de Ire énonce offre de précieuses ressources pour les différents cas d’application. Bornons-nous à formuler quelques-unes des conséquences qui s’en déduisent immédiatement.

S'agil-il d’abord des surfaces développables proprement dites? Ces surfaces étant, par hypothèse, applicables sur un plan sans déchirure ni duplicaturc, il faut que leur courbure soit nulle en tous leurs points. Il s’ensuit qu’elles doivent cire réglées et qu’elles ne peuvent être gauches.

On sait, conformément à l’équation (12) du n° 1 07, page 487, que le produit inverse des rayons de courbure principaux a pour expression générale

I rt — s*

RR7 ~ (1 -t- ;r -v- q*f '

Il s’ensuit, comme nous en avons déjà fait la remarque au n°208, page 808, que les surfaces développables sont toutes déterminées par l'équation de condition

rt — ,s’ — o.

S'agit-il ensuite des surfaces gauches? En sc reportant aux théorèmes exposés, à partir de la page 467, dans les nOT 203 et 204, on reconnaît aisément que, dans le cas où leurs génératrices rectilignes sont conjuguées entre elles, les conditions à remplir, pour qu’elles soient applicables l’une sur l’autre sans déchirure ni duplicaturc, sont les suivantes en ce qui concerne deux quelconques de ces génératrices conjuguées :

Les points centraux doivent être conjugués entre eux; leurs vitesses doivent être les mêmes en grandeur absolue et en direction relative *. Les distances comprises entre ces points et ceux

I.a ligne dite de striction n’élanl autre chose que le lieu des points centraux, les conditions énoncées reviennent à dire que, de pari et d'autre, les lignes de striction doivent être conjuguées entre elles.

où le plan tangent fait un angle de 43" avee le plan langent au point central doivent être égales de part et d’autre.

S’agit-il encore des surfaces de révolution'? Pour qu’elles soient applicables l’une sur l’autre sans déchirure ni duplicature, par superposition de leurs parallèles respectifs , il faut que les parallèles ainsi conjugués aient même courbure géodésique; il faut, en outre, qu’elles présentent même courbure en chacun des points conjugués de leurs méridiens. Ces deux conditions reviennent il celle que nous avons formulée dans les n”’ 238 et 23!l, pages .')83 et l>8(i, et qui consiste en ce que les rayons de deux parallèles quelconques conjugués doivent conserver entre eux un rapport constant.

L'égalité de courbure qui doit avoir lieu en chacun des points conjugués de deux méridiens implique, conformément aux données du n" 240, page ’i!»0, l'équation générale

fl* if d*y

Si celte équation subsistait seule, on pourrait y satisfaire, soit en posant

(2) — = cons",

soit, plus généralement, en se donnant iy en fonction de la variable s', considérant la vitesse ds comme constante et résolvant l’équation différentielle

ds *

• One équation revient il la suivante

y.dif — y' ily = c . ds’.

Différenciée dans l'hypothèse où la vitesse ds est considérée comme constante, elle donne

y.dV — t/rPy=:o, et se ronroml ainsi avec l'équation (I).

où r est une constant? quelconque, et qui se trouve ainsi l’amenée à une simple quadrature.

Mais, d'un autre côté, la courbure géodésique eu un point quelconque d'un môme parallèle a , pour expression générale.

cos O cos 0 I <hj

a y y du

et l'on doit avoir, par hypothèse, même courbure, géodésique pour ehnque couple de parallèles conjugués. De là résulte ccttc antre équation de condition

dy'

qui revient évidemment à

yd,/ - y dy =

et donne en conséquence,

— = cons1'.

Il suit de là, que l'équation (2) satisfait seule aux données de la question et que les deux conditions, d’n bord énoncées, se réduisent à la condition unique formulée en dernier lieu.

24;i. S'agit-il enfin de deux surfaces quelconques, n'ayant l’une et l’autre en lotis leurs points qu’une seule et meme courbure. Il est une infinité de manières de les appliquer l’une sur l’autre et sur la sphère de courbure égale, sans déchirure ni duplirature. Considérons, en particulier, le cas où les surfaces à déterminer sont en même temps d'égale courbure et de révolution.

Soit A , l’une de ces surfaces. Si nous désignons par r* le produit de scs rayons de courbure principaux cl que nous déterminions l’ordonnée y de la ligne méridienne en fonction de son

( fiOâ )

itrc * (la vitesse ds étant supposée constante), on a pour équation (iiiïérentielle de cette ligne

le tout, conformément à la formule générale du n° 240, page îiî)2, et, eu égard à ce que le second membre doit être pris avec le signe supérieur ou avec le signe inférieur, selon que la ligne méridienne tourne sa convexité ou sa concavité vers l’axe de rotation.

Observons ici que les fonctions exponentielles e+r et les fonctions trigonométriques sin x, cos x, ont pour dérivées secondes des quantités qui leur sont égales en grandeur absolue et dont le signe reste le même ou change, selon qu’il s’agit des premières fonctions ou des dernières. Partant de là, il eslnisé de voir et de vérifier que l'équation (4) est satisfaite en posant, pour le cas de la concavité ,

(S) y = f, sin — i-C' cos->

cl , pour le cas de la convexité,

y—.C.er C'e r,

C, C' étant deux constantes arbitraires.

Les équations (îi) et (6) déterminent, par leurs lignes méridiennes, l'ensemble des surfaces de révolution dont la courbure est ~ . Dans celles qui correspondent à l’équation (.'>), les lignes méridiennes ne cessent pas de tourner leur concavité vers l’axe de rotation. L'inverse a lieu pour les autres.

La sphère au rayon r est une des surfaces comprises dans l'équation (5). En plaçant l’origine commune des variables au point y — O, s= O, on n, nécessairement, C' = O et l'équation (ïi) se réduit à

»/ C sin - »

Il est d'ailleurs évident que dans le ras où il s’agit dr relie sphère, ou plus généralement d’une ligne méridienne, roupnnl à angle droit l’axe de rotation, on a d’ahord, comme tout à l'heure, (7=0, et, en outre, pour s = O,

IVqualion (7) donnant, en général,

du C x — — — eos ds r r

On voit qu'on ne peut satisfaire à l'équation (K) qu’en posant C = r. Il suit île là, que la ligne méridienne, représentée par l'équation

y — r si» -

est la sente qui puisse couper à angle droit l’axe de rotation.

Il est visible, d’ailleurs, que cotte ligne n’est autre chose que la demi-eirconférenee de cercle avant son centre sur l’axe et la quantité r pour rayon.

D’autres déductions très-simples découlent immédiatement des équations (h), (G) , (7). Bornons-nous , pour le cas de l'équation (7), à signaler la suivante. On a, en général,

dx' = dx1 — dij',

et , dans le cas particulier dont il s'agit,

r* dy* r'

De là résulte

,/.«* = •*- -= du'.

C* ,s G4 — y' ’ eos' —

( titlS )

cl, telle est, en coordonnées ordinaires, l'équation différentielle des ligues méridiennes comprises dans l'équation (7).

lU.MAiiQiE. — Lorsqu’on se donne une surface quelconque et qu’on prend un point de cette surface, on peut toujours trouver pour ce point une sphère ayant même plan tangent et même courbure que la surface donnée. On conçoit, dès lors, que la sphère, ou plus généralement les surfaces d’égale courbure, soient aptes à remplir par rapport aux autres surfaces un rôle analogue à celui du cercle osculatcur en ce qui concerne les lignes courbes. La considération des surfaces d'égulc courbure et plus particulièrement de la sphère peut ainsi détenir quelquefois trèsulilc dans certains cas d'application *.