CHAPITRE XIV

OIH ÉltE.MTELLES DK8 AllES, MUES ET VOLUMES OLELCO.Ny I.ES.

llecli/iculiuns. — (ji nul ru lu res. — tubulures.

2it>. Nous avons su , dans les numéros tio et suivants du chapitre III, page 178, comment on détermine les différentielles des arcs et des aires pour le eus des ligues planes, conimeul aussi l’on procède h la rectification des uns, à la quadrature des autres. La marche suitie, eu ce qui concerne les arcs, s'étend d'elle-méme au cas général des lignes à double -courbure. Il n’en est pas tout à fait ainsi, lorsqu’on passe des aires planes aux aires courbes. La question ne conserve pas toujours le meme degré de simplicité , et, comme celle des volumes circonscrits par des surfaces quelconques, elle exige de nouveaux détails.

* Voir au besoin, pour détail» , le mémoire déjà cité de M. Ussiau llomict, page» 1U7 et »ui\ ante».

( «Oü )

Occupons-nous d'abord des arcs dans l’espace. Nous traiterons ensuite des aires et des volumes.

Différentielle et rectification d’un arc quelconque.

247. Soit Suite ligne à simple ou double courbure. Rapporlons-la d’abord à des axes coordonnés rectangulaires OX , OY, OZ.

Désignons par m un point mobile assujetti h décrire lu ligue S et sortant du lieu qu'il occupe à l’instant que l’on considère.

La vitesse actuelle du point m étant représentée par de , elle est dirigée suivant la tangente à la ligne décrite cl a pour composantes orthogonales les vitesses dx, dy, dz respectivement parallèles aux axes OX , OY, OZ. On peut écrire, en conséquence,

( I ) ds* = d. x* dy* -i- dz*.

De là résulte

et, par suite ,

Les équations (2) cl (5) résolvent la question proposée, eu ce qui concerne la différentielle d'un arc quelconque et la rerlilieation de ce même arc. S’il restait quelques doutes sur le sens et la portée de cette solution, on les dissiperait en se reportant aux développements du n“G5, page 178. Il est, d'ailleurs, aisé de voir comment la formule (3) se prête aux différents cas d’application, soit que l'on considère séparément et successivement chacune des parties où la différence ùz ne change point de signe, soit qu'on prenne pour la somme des valeurs absolues qui correspondent respectivement à ces mêmes parties.

Prenons pouf exemple «rnppiicHtion un cas très-simple, celui de l’héliec déterminée, comme au n* lot», page 394, par les équations

x = r eos a, y = r sin a ,

r. a Ig a.

De là résulte, ainsi (|u’on l'a vu au numéro précité, ds = r V' \ -+- tg* « . (Ui.

On peut, en conséquence , écrire immédiatement a* = r V I tg4 a . &a.