Supposons maintenant que la ligne S soit rapportée à un

fjy g;; système de coordonnées polaires, et, sans rien

z w changer à ce qui précède, prenons le point O pour

pèle, le plun des xy pour plan de projection, la ! / I droite OX pour axe.

Projetons le point in en « sur le plan XOY, et Ÿ " nommons

r le rayon vecteur Oui , y l’angle du rayon »• avec sa projection O/i ,

9 l’angle de la projection On avec Taxe OX.

Lorsque le point in sort du lieu qu'il occupe, on peut le considérer comme entraînant avec lui le rayon vecteur r et le plan mOn. De là résultent, pour la vitesse ih, trois composantes distinctes dr, rdy, r cosy do, dues respectivement, la première au glissement du (Hiint in sur le rayon vecteur r, la seeonde à 1a rotation dr du rayon r dans le plun rnO/i, la troisième à la rotation du plan mOn autour de l'axe OZ.

Ces trois composantes étant rectangulaires, ou a, évidemment,

0). . . . ds — V' dr* -+- r'df* -t- r* cos* y.i/O4,

et, par suite,

i«=air.Mr

r1 cos2 f

L'n[i|ilicaliou de la dernière formule ne l'ait connue nous l’avons indiqué pour la formule (5) du numéro précédent.

Différentielle et quadrature d'une aire quelconque.

24!). On conçoit « priori qu’il existe nécessairement un rapport déterminé entre l’aire plane, prise pour unité de mesure cl une aire quelconque circonscrite, comme on veut, sur une surface courbe. La dilliculté consiste à préciser ce rapport, lorsqu'il s'agit d’une aire que sa double courbure ne permet pas de ramenerau type plan , à moins d’une transformation préalable ou de quelque artifice équivalent.

S agit-il d’abord des surfaces développables? Par cela seul qu’on peut les appliquer sur un plan sans extension ni contraction d’aucun de leurs éléments linéaires ou superficiels, il est visible qu’elles comportent l'application directe des formules établies pour les aires planes aux numéros G7, «8 et G!) du chapitre III.

S’agit-il ensuite des surfaces de révolution? On peut, ainsi que nous l'avons fait voir au n° 258, page 585, les transporter sur un cylindre. Si, dans ce transport, les éléments linéaires changent, en général, de forme et de grundeur, ils ne cessent pas néanmoins de conserver aux aires qu'ils circonscrivent, leurs étendues premières. II ne reste donc qu’à développer le cylindre cl l'on est ramené, comme tout à l’heure, au cas des aires planes.

S’agit-il enfin d'une surface quelconque, prise dans son ensemble, ou réduite à l'une de ses parties# Désignons pur A la portion considérée et supposons quelle s’engendre par le déplacement continu d'une ligne S incessamment variable.

PJaeons-nous à un instant quelconque déterminé et nommons A' l'enveloppe des plans qui, à cet instant, louchent la surface A le long île la ligne S. Cette enveloppe étant par rapport à ces plans le lieu de leurs caractéristiques, on est en droit de formuler immédiatement les déductions suivantes :

I" L’enveloppe A' est une surface développable;

2" Les plans qui touchent la surface A' le long de si> géuéra-

( (iO'.f )

triées rectilignes, (oucUent cil même temps la surface A le long de la ligne S ;

3° Les vitesses qui animent les différents points de la ligne S , au sortir du lieu qu’elle occupe sur la surface A , sont toutes contenues dans les plans tangents à la surface A';

4° On peut substituer la surface A' à la surface A , tout en conservant Jt chacun des points de la ligne S sa vitesse actuelle.

Mais, d’un autre eAté, c’est uniquement des vitesses actuelles des différents points de In ligne S que dépend la différentielle de l’aire engendrée par cette ligne au sortir du lieu qu’elle occupe sur la surface A. On peut donc aussi substituer la surface A’ à lu surface A sans modifier en rien cette différentielle.

Cela posé, développons sur un plan la surface A' et, après avoir tracé sur ce plan la transformée S' de la ligne S, déterminons la différentielle de l’aire engendrée par la ligne S', eu égard aux vitesses que ses différents points conservent dons le développement. L’identité qui subsiste entre cette différentielle et la précédente montre suffisamment comment le cas général d’une aire courbe est réductible à celui d’une aire plane.

250. Le problème à résoudre, d’après ce qui précède, consiste à déterminer la différentielle de l’aire engendrée par une ligne plane S' qui sc meut dans son plan, a\ec ou sans changement de forme, et dont on connaît, pour chacun des points, la vitesse actuelle. On peut supposer, d’ailleurs, que celle vitesse est constamment dirigée suivant la normale correspondante. Il suffit, pour cela, qu’on se donne les trajectoires orthogonales des positions successives de la ligne S sur la surface A et qu’on assujettisse chacun des points de cette ligne à décrire celle de ces trajectoires qui lui correspond.

Soient MNle lieu actuel de la ligne S' ; m un point de celte ligne;

tno la tangente en ce point; me la normale; u la vitesse du point ni.

On sait que la vitesse u , dirigée par hypothèse

e - — —y» suivant lu normale cm , est dite , en général , vitesse

<lt circulation.

Représentons par dA la différentielle cherchée

cl supposons qu elle corresponde à l’aire engendrée par le segment Mm de la ligne S'. Si, au lieu de rester fixe sur la ligneS', le point m sort du lieu qu'il occupe en glissant sur cette ligne , la quantité d\ devient variable en même temps que la longueur Mm, et clic croit ou décroît avec une certaine vitesse (( (d A). Proposons-nous de déterminer cette vitesse. Toutes choses égales, d’ailleurs, elle est la même que si la ligne S' était remplacée de part et d’autre du point m pur sa tangente en ce point. Mais, dans cette hypothèse, en désignant par o le centre instantané de rotation de la tangente mo , et par u sa vitesse angulaire , on peut écrire , conformément à la formule (o) du n° 08, page 185,