HO . U = U

et, désignant par ils' la vitesse du point m sur la ligne S',

</(mo) = ils’.

Il vient donc aussi, par simple voie de substitution,

(1) d(dX) — u.ds.

Au lieu de procéder comme nous venons de le faire, on peut se donner le centre c. de courbure qui correspond au point m de la ligne S', et observer que la différentielle cherchée d.(dA) conserve une seule et même détermination, soit que l’on considère la ligne S', soit qu’on lui substitue, à partir du point m, le cercle osculatcur avant son centre en c et le segment cm pour rayon. Si l’on désigne idors par W la vitesse angulaire de ce rayon, on a comme ci-dessus

d A = - cm .W,

et , par suite ,

( «Il )

d.[d\) — cm . W. d [cih).

Ou a, d’ailleurs, ainsi qu’il est aise de le voir, d(cm) — u , cm . W — ds'.

Ces valeurs substituées dans l'équation précédente conduisent au même résultat que les premiers calculs.

La formule (I) implique, eomme équivalent, la relation générale

ou, ee qui revient au même,

(2) dA==s’ . M. m ,

les quantités dA. et s' s’annulant toutes deux, en même temps, à l’origine commune de leurs accroissements simultanés.

Les équations (I) et (2) ne cessent pas de subsister lorsqu’on revient de la transformée S' à la ligne S. Ou peut donc écrire généralement, d’une part,

(3) d(d\) — u.ds,

et d’autre part

(i) d\ = s. Ml u.

Le théorème exprimé par l'équation (4) est général. On peut l’énoncer comme il suit :

L’aire engendrée par une ligne quelconque S qui se meut duns l’espace, avec ou sans changement de forme, a pour différentielle le produit de cette ligne par sa vitesse moyenne de circulation.

Il est entendu que les facteurs de ce produit sont respectivement, l’un la longueur rectifiée de la génératrice S, l’autre la

moyenne des vitesses de circulation qui uniment à la lois les différents points de cette ligne.

2?il. Reprenons la question générale des aires courbes et traitons-la directement.

Soient ni un point d’une surface; P le plan tangent en ce point; 2 un contour quelconque ferme passant par le point m et circonscrivant sur la surface donnée une aire A.

De même qu’en se rétrécissant d’une manière continue le contour 2 peut décroître jusqu’à s’évanouir et faire évanouir avec lui l'aire A, de même et inversement il peut prendre naissance à partir de zéro, étant , d’abord, comme concentré tout entier dans le lieu m Plaçons-nous à ce dernier point de vue et concevons en ni une infinité de points mobiles, désignés par u. etassujettis à former par leur ensemble le contour 2. La vitesse avec laquelle faire A s’engendre à partir de zéro ne peut évidemment dépendre que des vitesses qui animent respectivement et simultanément chacun des points u nu sortir du lieu m. Mais, d’un autre côté, ces vitesses sont toutes dirigées et comprises dans le plan P. On voit donc que tout se passe, ?i l’origine, comme s’il s'agissait de faire plane circonscrite sur le plan P par la projection du contour 2.

Par le point m menons dans le plan P deux droites rectangulaires ml, ml. Soient p et q deux points pris, comme on veut, l'un sur la droite ml, l’autre sur la droit*1 int. Achevons le rectangle mpnq et eonsidcrons-lc comme étant la projection du contour 2 sur le plan P *.

En désignant par A’ faire du rectangle mpnq, on a, généralement,

A' = mp.mq.

Supposons d’abord (pic le point q soit fixe et que le point p glisse sur la droite ml uvcc la vitesse w. Si l’on prend, dans cette hypothèse, la différentielle de faire A', il vient

*/A' = ti.mq.

' Cela revient à dire qu’on détermine le couleur 2 par la condition qu'il ail pour projection sur le plan P le contour mpnq.

l'iij. H7.

Supposons mnintcnanl que le point ij se déplace en glissant sur la droite ml avec la vitesse r. La quantité d.\' devient variable avec le segment mr/, et elle n pour difTérentiellc

L'équation (I) ne cesse pas de subsister lorsque les points p et ij sont situés primitivement en m et qu’ils sortent de ee lieu, en glissant , l’un sur la droite nj, avec la vitesse u, l’autre sur la droite ml avec la vitesse r. Mais, dans cette hypothèse , on peut substituer l'aire A à l’aire A’. On a donc aussi

(2) d(dA) = u . v.

Désignons par s une ligne quelconque tracée sur la surface A et touchant en m la droite mt. La vitesse v n’étant autre chose que la difTérentiellc ils, l’équation (2) devient

(3) il.(d.\) = u.ds,

et l’on en déduit, comme ou numéro précédent,

(4) </A=-â*.M,’+ ii.

2.’>2. Sans rien changer à ce qui précède, considérons, d'une Fi<j. fl.V. part , les lignes déterminées sur la surface A par les

Y fl positions successives de la génératrice s, d’antre

; part, les trajectoires orthogonales de ces lignes. Soit

pjf M- ^ OX l’une de ces trajectoires. Prenons-la pour a\c * des x ct plaçons l’origine en O.

^ M MN étant une position quelconque déterminée de

la ligne s, soient m l’un de ses points et PmQ la trajectoire orthogonale correspondante.

Lorsque le point M glisse sur l’axe OX avec la vitesse dx et qu’il entraîne avec lui la ligne MN, le point m de cette ligne glisse sur la trajectoire PQ avec la vitesse u , et l’on a généralement

(1). « -=/». dx.

( Gli )

De là résulte,

(2) d\ — dx. f(s).

On voit, d'ailleurs, sans difficulté, que le produit is.M,’ + A' f(s) se résout nécessairement en une fonction déterminée de la variable x. On a donc aussi

(3) Ax.Ml+i*[is.Mi+i' /*(«)]•

Cette dernière équation peut être considérée comme résolvant, d une munière générale, la question proposée. S’il s’agissait d’applications particulières, on ne perdrait pas de vue les détails qui précèdent. Us indiquent la marche à suivre dans les diverses opérations à effectuer successivement.

Veut-on préciser davantage? On peut prendre pour axe des y celle des lignes s qui passe par le point O. Si l’on désigne alors pars et <j les segments Mo», Pot, on a

De là résulte, en premier lieu,

u = dv — f,{x, y).dx,

et , par suite ,

rfA = rfi.AS.M,'+A' /](x,t/)— dr.is.M]+A’ f‘‘(x, ÿ(x, s)), ce qui donne, en dernier lieu,

(4) . . . aA=ax.Ml+‘>I[A«.M)+A‘/;(x,f (*,*))].

Quant aux opérations à effectuer, elles consistent:

1“ A déterminer pour une valeur quelconque de x, supposée constante, la moyenne

( «iï )

2" A exprimer relie moyenne ainsi que la différence as en fonelion de la variable x, de manière à pouvoir écrire

3" A poser cl résoudre l'équation finale

(7) aA== aar.lC4'F(x).

2’>3. Au lieu de s'en tenir, comme on l’a fait jusqu’ici, à la considération directe de la surface donnée, il est, en général, plus commode et plus simple de substituer à cette surface sa projection sur un plan déterminé. JLc principe sur lequel on s’appuie pour opérer cette substitution s’établit aisément de la façon suivante :

Soit A une aire quelconque située dans un plan P et projetée en A' sur un plan P'. On peut considérer les aires A, A' connue engendrées simultanément, l une par un segment de droite mobile dans le plan P, l’autre par la projection sur le plan P' de cc même segment. Soient A, A' les deux segments dont il s’agit. On peut en disposer de manière à cc qu’ils soient et restent perpendiculaires à l’intersection des plans P, P'. Supposons qu’on les assujettisse à remplir cette condition, et désignons par t> leur vitesse commune de circulation. On a, conformément à la formule (2) du n" 68, page 184,

(1) dA = l.v, d\' *=* i'.v.

Il est visible, d’ailleurs, qu’en désignant par y l’angle des plans P, P' on a constamment

(2) A' = i . cos y.

De là résulte

(3) dA' = cos-r.dA,

et, par suite,

(4) aA'=aA.cos?,

ou ce qui revient au même, puisque les aires A, A' s'annulent, en même temps, à leur origine commune,

(5) A' = A cos <j .

L’équation (5) exprime pour deux aires planes quelconques, dont l’une est la projection de l’autre, le théorème suivant :

L’aire projetée est égale au produit de l’aire projetante par le cosinus de l'ungle que les plans des deux aires font entre eux.

On peut dire de la même façon :

L'aire projetante est égale à l’aire projetée divisée par le cosinus de l’angle que les plans des de&r aires font entre eux.

Cela posé, soit

(6) zr=f{x,y),

l’équation d’une surface quelconque rapportée à des axes coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ.

Prenons sur cette surfuce un point ni, projeté en ni sur le plan Fiy. 99. des x!/‘ S* ll0lIS désignons par A une aire quelconque située dans ce plan, et que nous appliquions au point ni de celle aire la formule (2) du 251 , page 01 ü , il vient, en général,

d(dX’)-

Soit d ( r/A ) In différentielle pour le point ni d’une aire quelconque A située sur lu surface donnée et projetée en A' sur le plan des xg. On peut toujours déterminer la différentielle d {(IA) par In condition que l uire plane qui lui correspond dans le plan tangent eu m ail pour projection sur le plan des xg le rectangle ayant pour côtés les vitesses r et u. On a dès lors, conformément à ce qui précède ,

y riant l’angle que le plan tangent en ni h la surface donnée fait nvee le plan des xy.

Représentons parp et q les dérivées partielles |^| i En combinant les équations (3) et (4) du n° 1(53, page 417, avec la dernière des équations (3) du n°129, page 338, on trouve aisément

(9) cos f = — — •

4 V I -4- //* qx

De là résulte, en substituant,

(10) . . . . d.(<l\) — v.u. V' \ -+- ji1 -+- q*.

L’équation (10) a la même généralité que celles d’où nous l’avons déduite. Comparée à l’équation (2) du n" 231, page <>13, elle offre l’avantage d’être mieux préparée pour le cas ordinaire des applications.

234. Les vitesses u et v netant assujetties qu’à la condition d’être rectangulaires, prenons-les constantes et dirigeons-les de manière à ce qu’elles soient respectivement parallèles, l’une à l'axe OX, l’antre à l’axe OY. Cela revient à poser

m = (I x = cons", v — dy — cons".

On a, d’ailleurs, d'après l'équation (10) du numéro précédent,

(1) . . . . d.(d\) = dx.dy. V' \ -+- p* -+- q*.

Supposons que le point m' se déplace le long de l’ordonnée qui lui correspond. L’abscisse x demeurant constante ainsi que la vitesse dx, l’ordonnée y varie seule dans les fonctions p et q. De là résulte, en premier lieu ,

(2) . . . . r/A = dx.My. M**4* V' \ q*.

Soient

les équations des lignes qui limitent, de part et d'autre, l'ordonnée y dans le plan des xy. Il vient

et comme la moyenne qui figure dans le second membre de l’équation (2) se résout nécessairement en une fonction de l’abscisse x, on peut écrire

ay.Mj+ V\ ■+■ f»*- 4- 7*= F(x),

et, par suite,

(ô) rfA = F(x) . dx.

Imaginons maintenant que l’ordonnée y se déplace de manière à décrire Faire A'. L’abscisse x supposée jusqu’ici constante devient variable à son tour. Néanmoins I équation (â) ne cesse pas de subsister. De lit résulte, en second lieu,

(4) aA= ax.M*+A'F(x).

On voit, par ces détails, comment l’équation (I) implique l’équation correspondante

(5) . . . iA = AX.Ht+4*(ay.Mj+â,|'/! + p* ■+■ q%),

et comment il fout opérer sur celle-ci pour en déduire l’expression numérique de Faire à mesurer sur la surface que l’on considère.

Observons qu’on peut procéder en sens inverse, c’est-à-dire en opérant d’abord sur l’ordonnée y comme nous l’avons fait sur l’abscisse x et réciproquement. On trouve ainsi

(fi). . . aA = ai/.Mj+i*(ax.M’+ •+• p* q*).

Les équations (b) et (fi) conduisent également au résultat cherché. Le choix à faire entre elles dépend des facilités plus ou moins

grandes qu'elles présentent au point de vue des opérations indiquées dans leurs seconds membres. Prenons pour exemple le cas où le radical V 1 ■+ q* dépendrait exclusivement de la va-

riable y. L’équation (fi) devrait, en général, être préférée, vu qu’elle se réduit immédiatement à la forme plus simple

a A = at/.M*+4" ax V I -t- p* ■+■ 7*.

Le contraire aurait lieu si le radical V 1 7* ne dépen-

dait que de l’abscisse x. On atteindrait plus aisément le but en recourant h l’équation (5) et posant, comme 011 le peut alors,

aA = ax.M*+lil ay V \ p*+ 7 *.

2bii. Montrons par quelques applications le parti qu’on peut tirer, en certains cas, de tout ce qui précède concernant la quadrature des aires courbes.

Considérons d’abord les surfaces développables. Il est visible à priori qu’il existe une infinité de manières de tracer sur ces surfaces un double système de lignes géodésiques dont les mies soient les trajectoires orthogonales des autres. On voit de même qu’en prenant pour génératrices les lignes de l’un de ces systèmes, et pour directrice l’une de leurs trajectoires orthogonales, on a, comme dans le cas des aires planes ,

aA=ax.Mr y.

La seule différence consiste en ce que, au lieu d’être rectilignes, les segments représentés par y pour les génératrices, et par ax pour la directrice, sont généralement courbes.

On parvient au même résultat en partant de l’équation (4) du n° 2'il, page fit ô. On peut, en outre, faire l’observation suivante:

Il su (lit que les génératrices soient des lignes géodésiques pour qu’elles se rectifient dans le développement.

Cela posé, il est aisé de voir que le théorème du n" fi7, page 18Ô, comporte l’extension suivante :

La différentielle de l'aire engendrée par un segment de ligne

géodésique , qui se meut sur une surface développable entre deux courbes quelconques , est égale au produit de ce segment par la vitesse de circulation de son point milieu.

S’ngit-il en particulier des cônes ou des cylindres et de l’aire comprise sur ces surfaces entre deux quelconques des trajectoires orthogonales de leurs génératrices rectilignes? L’énoncé qui précède implique cette autre déduction :

L’aire engendrée sur un cône ou sur un cylindre par le segment compris sur les génératrices rectilignes entre deux quelconques de leurs trajectoires orthogonales a pour mesure le produit de ce segment par la trajectoire de son point milieu.