Considérons en second lieu les surfaces de révolution

Le procédé que nous avons décrit au n° 238, page 383, sous le nom de développement homalographique, fait voir immédiatement que pour obtenir l’équivalent de l’aire circonscrite sur ces surfaces par un contour donné, tout se réduit aux opérations suivantes:

1° Rectifier un méridien quelconque;

2" Conserver sur le méridien rectifié les points de division marqués par les parallèles;

3° A partir de ces points rectifier les parallèles suivant des perpendiculaires au méridien rectifié;

4” Reporter sur les parallèles rectifiés les points de division marqués par le contour donné.

Parlant de là, on voit aisément que la différentielle de l'aire engendrée par un parallèle a pour expression

(I) d\ = '2n.y.ds,

y étant le rajon du parallèle que l’on considère et ds la vitesse d’un point quelconque de ce parallèle sur le méridien qu’il décrit.

Observons que la quantité ds est la vitesse de circulation commune à tous les points du parallèle considéré. Cette simple observation suffit. Elle permet d’écrire l’équation (1) comme traduction directe du théorème général formulé au n° 230, page 611.

L'équation ( I ) donne

('!) aA = aa.M^'sbr.y.

Il est visible, d'ailleurs, que s’il s’agissait de l uire comprise entre deux parallèles et deux méridiens, ceux-ci faisant entre eux un certain angle a, on devrait remplacer 2rr par cet angle, et écrire en conséquence

(3) aA-=as.M, *. y.

Le lliéorème exprimé par l’équation (3) peut s'énoncer comme il suit :

L uire engendrée sur une surface de révolution pur lu rotation d'un segment méridien a pour mesure le produit de ce segment par l'arc moyen qu’il décrit.

Il est entendu que les facteurs de ce produit sont respectivement, l’un la longueur rcctiliéc du segment générateur, l’autre la moyenne des arcs décrits pur les différents points de ce même segment.

Appliquons la formule (I) au cas d'une surface sphérique. En désignant par H le rayon du méridien et par x la distance du centre de la sphère au parallèle mobile, il est uisé de voir (pie I on a généralement

yds — Rf/x.

De là résulte, par \oie de substitution,

(4) d\ =* 2nR.</x.

L'équation (t) donne

aA = 2tR . AX,

c'csl-à-dirr la mesure couiiue de la zone sphérique.

Lu combinaison des équations (2) et (4) conduit à la relation générale

Ml+i* 2ny = 2jtR

àX

SS

On en déduit, pour le cas où il s’agit de toute la sphère, ss devenant égal à rit , et Sx à 2H ,

M2ri/ = 4.R.

On voit par là que la circonférence moyenne qui correspond à l'ensemble des pnrullèlcs, lorsqu'on les distribue uniformément suivant le contour du méridien, a pour longueur quatre fois le rayon de la sphère.

2îi7. Reprenons la formule

(1) . . dk — inyds,

et montrons conimcul elle s’applique au cas général où le méridien considéré se compose de deux segments MN, M’N' disposés symétriquement par rapport à un centre C , ou par rapport à une droite LCK parallèle à l’axe de révolution IG.

Soit h la distance de la droite LCR à l’axe IG. Si l’on conjugue entre deux points queleonqucs m, m situés symétriquement, l’un sur lare MN, l’autre sur l’are; M'N’ et qu’on désigne par s lu distance de ces points à la droite LGK , on a généralement

Fi<j. 100.

i ŸAf

le signe à prendre étant le supérieur ou l'inférieur selon qu’il s’agit du segment MN ou du segment M'N'.

Distinguons les portions de surface engendrées simultanément et symétriquement, l'une par l’are MN, l’autre par l’are M'N'. On a, pour la première ,

i/A = 2~ (li -4 z) ds ,

et, pour lu seconde,

<1 A' = 2ir (/t — z)ds ,

la quantité ils affectant, de pari et d'autre, une seule et même valeur.

La combinaison des -équations (3) et (4) donne, d’une part,

(3). . . . d\ dA’ = </(A ■+■ A ) = inltds ,

(6) a{A A') — Vtt/i . as,

d’autre part,

(7) . . . . rfA — dA' = tif A — A'] = bnzds,

et, par suite,

(8) a[A- A'] = t7rA«.Siri's.

Ces résultats impliquent les énonres suivants, où l’on doit observer que les aires changent de signe pour les parties des segments générateurs qui s’abaisseraient au-dessous de l’axe de révolution :

1“ Les surfaces engendrées par les segments MN, M'.Y dans leur révolution autour de l’axe IG ont pour somme algébrique le double produit du segment MN par la trajectoire du point C;

2" La différence algébrique de ces surfaces est indépendante de lu distance du point C à l'axe de révolution. Elle a même mesure que si la révolution s'effectuait autour de la droite LC K.

Dans le cas particulier du tore, les segments MN, M'N' étant situés tous deux sur une même circonférence de cercle au rayon r, on a, comme au numéro précédent,

zds — rdx.

Celle valeur substituée dans l'équation (7), donne d (A — A) =*= 4nr . rfa; ,

et , par suite , .

(9) a(A — A ) = 4irr. ai.

On a, d'ailleurs, comme dans les cas generaux traites ei-dessus,

(10) A (A -t- A') = inh . As.

De là résulte, d’une part,

aA = 'inli as 2irrAx,

d’autre part,

aA" = 2jt/»as — ’inrsx,

et la question se trouve ainsi complètement résolue.

2o8. Considérons, en dernier lieu , le cas général d’une surface quelconque et bornons-nous à ajouter un nouveau théorème à ceux que nous avons exposés précédemment.

Reproduisons l’équation (4) du n" 2’iO, page 01 1.

tl\ —

et l’énoncé qu elle implique,

L'aire engendrée par une ligne quelconque s qui se meut, arec ou sans changement de /'orme, a pour différentielle le produit de cette ligne , par sa vitesse moyenne de circulation.

Soit A une portion de surface eireonscrite par un contour donné. On peut toujours, et ecla d’une infinité de manières, considérer faire A comme le lieu d’une suite continue de lignes c, toutes géodésiques. Assujettissons la ligne s h se confondre successivement avec chacune des trajectoires orthogonales des lignes a. Il s'ensuit que la vitesse u est à chaque instant la même pour

tous les points de la ligne S et qu'on peut écrire en conséquence, d\ = S.U=*S. di.

De là résulte, immédiatement,

.iA = aj.Ms,

cl l’on a ce nouveau théorème :

L’aire engendrée sur une surface quelconque pur ta trajectoire orthogonale d'une suite de lignes géodésiques a pour mesure l'arc compris sur ces lignes entre les positions extrêmes de la trajectoire, multiplié par la longueur moyenne du segment générateur.

il est deux eas généraux où l’on peut se donner à priori une suite continue de lignes géodésiques. Ce sont ceux «les surfaces réglées et des surfaces de révolution.

Dans le eas des surfaces réglées, l’énoncé général formulé cidessus comprend la déduction suivante :

L uire engendrée sur une surface réglée par la trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes a pour mesure la distance comprise entre les positions extrêmes du segment générateur, multipliée par la longueur moyenne de ce même segment.

Dans le cas des surfaces de révolution, si l’on prend pour lignes géodésiques la suite des méridiens, ou a les parallèles pour trajectoires orthogonales de ces lignes. On retombe ainsi sur la solution du n" 256, page 621.

Supposons, pour terminer, qu’il s’agisse du développement homalographiqtie d'une aire A circonscrite par un contour donné sur une surface quelconque. D’après ce qui précède, tout se réduit aux opérations suivantes :

f° Hcctilicr une des lignes

2“ Conserver sur lu ligne a rectifiée les points de division marqués par la ligne S dans ses positions successives;

( G2ti )

3" A partir de ces points , rectifier la ligueS suivant des perpendiculaires à la ligne a rectifiée;

-i” Reporter sur la ligne S rectifiée les points de division marqués par le contour donné de l’aire A.

Il est visible qu’au point de vue des quadratures, ce procédé établit une analogie complète entre la mesure des aires planes et celle des aires courbes, les lignes a jouant le rôle des abscisses et leurs trajectoires orthogonales celui des ordonnées.

Différentielle et cubature d’un solide quelconque.

25U. Soit 11 un cylindre droit à base quelconque A. Désignons par P le plan de la base, par S une surface à déterminer comme on veut, par V le volume intercepté dans le cylindre H par le plan P et la surface S.

Supposons, d’abord, que la surface S se réduise à un plan P' parallèle au plan P. En désignant par z la distance du plan P' au plan P, il est visible qu’on peut écrire à priori

— = cons1' = C, sz

et, par suite,

(1) V = Cz.

On voit de même que la constante C ne peut être ni moindre, ni plus grande que la base A. Elle lui est donc nécessairement égale. De là résulte

et, par suite,

(3) dV == \.dz.

Considérons un cas plus général , celui du volume engendré par l’aire A, lorsqu’elle se meut avec ou sans changement de

forme, le plan qui la contient conservant d’ailleurs une direction constante.

Donnons-nous l’aire A dans une position quelconque déterminée et représentons-nous le cylindre droit dont elle est actuellement la base. Soit H ce cylindre. L’aire A pouvant sortir du lieu qu’elle occupe suivant deux sens directement opposés, comparons le volume qu’elle engendre à celui que son plan intercepte dans le cylindre If. Si ces volumes demeuraient égaux de part et d’autre, on aurait, comme tout h l’heure,

dV = A . dz.

En général, iis sont inégaux , et si le premier l’emporte d’abord sur le second pour l’un des deux sens à considérer, l’inverse a lieu pour le sens contraire. S’agit-il du sens où le premier volume commence par l’emporter sur le second? La différentielle cherchée ne peut être moindre que le produit A .dz. S'agit-il du sens opposé? Le premier volume commençant pur être inférieur au second, la différentielle cherchée ne peut être plus grande que ce même produit. Mais , d'un autre côté, celle différentielle n’admet, ainsi qu’on l'a vu au n° 09, page 18b, pour l'un cl l’autre cas, qu’une seule et même valeur. On a donc nécessairement, et toujours ,

(4) dV = A.dz.

De là résulte , en général ,

(5) AV=az.l<+âJA,

et l’on a le théorème suivant :

Le volume engendré par une aire plane qui se meut dans l'espace, avec ou sans changement de forme, et dont le plan conserve une direction constante a pour mesure le produit de la valeur moyenne de l’aire génératrice pur ladistance que cette aire franchit perpendiculairement à son plan.

Ce simple théorème peut être considéré comme résolvant à lui

seul la question générale des cubaturcs. Quel que soit, en effet, le solide que l’on ait à cuber, rien n'cmpéchc qu’on se donne pour aire génératrice la section faite à l’intérieur par un plan mobile de direction constante.

200. Reprenons les données premières du n° 2b9, en supposant que la surface S se réduise à un plan quelconque P’.

Soit I l'intersection des plans P, P'. Considérons la base A et le Fig 101 v°lumc V comme engendrés simultanément, la base A par un segment rectiligne MN, assujetti à rester parallèle à la droite 1, le volume V par le rectangle qui se projette en MN et dont la base supérieure est située dans le plan P'.

En désignant par dx la vitesse de circulation du segment MN, par y la longueur de ce segment, parz la hauteur du rectangle projeté en MN, on a, d’après la formule (2) du n" 08, page 181,

d A =y.dx,

et, d’après la formule (4), établie tout à l’heure au n" 2b!),

dX = zy.dx.

De là résulte ,

(1) dX = z.d\,

et, par suite,