aV=a.\.MÎ+4a(z

ou, plus simplement,

Les équations (1) , (2), (3) résolvent la question proposée en

ec qui concerne la différentielle et la cubature d’un tronc de cylindre.

Sans rien changer à ce qui précède, imaginons que le plan P’

sorte du lion qu'il occupe cil tournant iiiilour de In droite I. Différenciée dans celle hypothèse, l'équation (I) donne

(4) d.dV = dz.dA,

et, par suite, l’ordre des difTérentiations effectuées sur le volume V étant interverti,

(5) ^r/V= AA.M;+4*(«fc),

ou plus sim|dentent ,

L’équation (li) est générale. Appliquée au cas où le plan P' sort du lieu P en tournant autour de la droite 1 , elle s'étend d ellcmcinc au cas d'une aire plane qui se meut comme on veut dans l’espace avec ou sans changement de forme. Cette extension pouvant sc démontrer par un procédé identique à celui que nous avons suivi pour généraliser l’équation (3) du n° 259, nous nous bornons ù constater sa légitimité. On a, en conséquence, le théorème suivant :

Le volume engendré par une aire plane qui se meut dans l'espace, avec ou sans changement de forme, a pour différentielle le produit de cette aire par sa vitesse moyenne de circulation.

261. Reportons-nous, de nouveau, aux données premières du n" 259.

La surface S étant quelconque, considérons la base A cl le volume V comme engendrés simultanément, la base A par un segment rectiligne MN de direction constante, le volume V par la section plane B, faite suivant AIN perpendiculairement 'au plan P.

En désignant, comme au numéro précédent, par dx la vitesse de circulation du segment MN , par g la longueur de ec segment, par z l’ordonnée du point de la surface S qui sc projette en in sur

le segment MN, on a d’abord, conformément aux formules (2) et (4) du n" «8, pages 184 et 183,

(1) dB = z.dy, B = y.Ml(*).

Il vient ensuite, d’après ce qui précède,

(2) dV = B . dx.

On peut écrire, en conséquence,

(5) rfV = y.rfx.M'(z),

et , substituant à i j.tlx sa valeur d\ ,

(4) </V = rfA.M* (s).

De la résulte, en général,

et s’il s’agit du volume V qui correspond à la base donnée A,

Le théorème exprimé par l'équation (G) s’étend de lui-même an cas où le volume à mesurer est limité par une enveloppe quelconque. On peut, en effet, projeter ce volume sur un plan et prendre sn projection pour base du cylindre à considérer. Les droites projetantes étant par hypothèse perpendiculaires au plan de projection, il est aisé de voir qu’on a l’énoncé suivant:

Tout solide qu’on projette orthogonalement sur un plan a pour mesure le produit de l'aire projetée par la longueur moyenne des segments que l'enreluppe intercale sur les droites projetantes.

On ne perdra pas de vue que la moyenne dont il s’agit correspond à une répartition faite uniformément sur l'aire projetée.

Si les droites projetantes étaient obliques, relativement au plan de projection, rien ne serait changé, si ec n’est l’unité de mesure, Je cube étant remplacé par un parallélépipède, ayant scs côtés égaux à ceux du cube, sa base carrée, ses arêtes latérales inclinées sur la base comme les droites projetantes sur le plan de projection.

262. Considérons la base A comme étant la projection sur le plan P d’une aire courbe qui se meut dans l’espace avec ou sans changement de forme. Différenciée dans cette hypothèse, l'équation (6) donne , en général ,

rfV = A.M((/z) -t- rfA.M(z).

De là résulte, pour le cas où la surface S se confond d’abord avec le plan P, chacune des valeurs représentées par z se réduisant à zéro,

(7) dX = A.M (dz).

Revenons à l’équation (2). En la différenciant par rapporta B, dans l'hypothèse où , sans sortir du lieu qu'il occupe, le segment y s’allonge ou se raccourcit par le déplacement de l'une de ses extrémités, on a, d’abord,

d.d.X— dB.dx,

puis, remplaçant </B par sa valeur z.dy,

(8) d.d.X = z.dy.dx.

Appliquons l’équation (8) au point m du segment MN et, ce point restant fixe, imaginons que la surface S se déplace avec ou sans déformation. La quantité d.dX devient variable, en meme temps que l’ordonnée z, et elle a pour différentielle

(9) d.d.dX = dz.dy .dx ,

celle différentielle étant prise à partir du point où l'ordonnée z vient couper le lieu actuel de la surface S.

L'équation (9) s’étend à tous les cas , l’aire dx.dy pouvant être indifféremment constante ou variable le long de l’ordonnée z. Cela résulte du théorème du n° 260, page 029. On le voit aussi en différenciant l’équation (8) d'après la règle établie pour le produit de deux facteurs, et en observant que pour attribuer à la différentielle cherchée sa vraie valeur, il faut opérer comme si l’ordonnée z avait son origine sur la surface S: il s’ensuit, en effet, qu’on doit annuler z dans le résultat de la différentiation , ce qui revient précisément au même que si le facteur z était seul variable.

La différentielle exprimée par l’équation (9) est absolument générale. Elle s’applique à tout point pris comme on veut, à l’intérieur d’un solide.

S’agit-il d’une suite de points déterminant, par leur ensemble, une surface quelconque S, sortant tous à la fois des lieux qu’ils occupent et glissant, chacun sur la normale qui lui correspond? On peut pour chaque point substituer à la surface S le plan qui la touche en ce point. On peut aussi mesurer les vitesses dx suivant des lignes géodésiques dont on prendrait les trajectoires orthogonales pour y porter les vitesses dy. Supposons qu’on opère de cette façon et qu’on effectue le développement homalogruphique de la surface S, d’après le procédé décrit au n° 238, page 023. Si dans ce développement, on conserve à chaque point sa vitesse de circulation représentée par dz, rien n’est changé ni dans la différentielle d.d.dV, ni dans aucun des trois facteurs dx, dy, dz. La conséquence évidente est que l’équation (7), établie d’abord pour le cas d’une aire plane et applicable, en conséquence, au développement homalographiquc de la surface S , ne cesse pas de subsister pour le cas d’une aire courbe dont les différents points se déplacent normalement à cette aire. De là résulte le théorème suivant :

Le volume engendré par une aire qui se meut, avec ou sans changement de forme, a pour différentielle le produit de celle aire par sa vitesse moyenne de circulation.

Ce théorème comprend, comme cas particulier, celui que nous avons formulé au n” 200. page 029, pour le cas des aire»: planes.

263. Indiquons, d’après ce qui précède, comment on peut opérer, en général, pour effectuer la eubature d’un solide rapporté à des axes coordonnés rectangulaires OX, OY, O Z.

Soient

les équations des surfaces qui limitent supérieurement et inférieurement le volume à mesurer.

On peut partir de l cquation (9) du n” 262 ,

(2) d.d.dV = dx.dy .dz.

Les vitesses dx, dy étant supposées constantes, on en déduit

(3) . . d .d .\ — \z.dx .dy — [V{x,y) — f(x, y) ] dx . dy.

L’équation (3), où la variable x doit d'abord être considérée comme constante, donne de môme

(t) . . . rfV=dx.ay.M;+i’[F(x,y)-/'(x,y)].

Il est visible, d’ailleurs, que l'équation (4) peuts’écrirc « priori, soit parce qu'elle est identique à l’équation (3) du n° 2CI, page 630, soit parce qu’en prenant pour aire génératrice du volume V la section faite dans le solide par un plan parallèle à celui des zy, l'équation (4) n'est autre chose que la traduction algébrique du théorème formulé au n° 260, page 629.

Observons ici que la différence ày et la moyenne qui figure dans le second membre de l’équation (4) sont toutes deux fonction de la variable x. On peut écrire, en conséquence,

De là résulte,

i/V = <r{x).dx,

et, par suite,

(«) aV= at.m;+ a‘ v(x) = A.T.wr ir[i.V.M;+ à\F[T,rj)-r(x,y))].

La remarque faite au n° 2!> 4 , page «18, s'applique de la même manière au cas des cubutures. La symétrie qui subsiste en vertu de l’équation (2) permet de substituer l’une à l’autre chacune des trois coordonnées x , y, z. Ce résultat évident à priori résulte aussi de l'équation (4) où l’on peut remplacer le plan des yz par le plan des zx ou celui des xy. 11 convient en chaque cas de choi-' sir parmi les trois formules équivalentes, dont on peut ainsi disposer arbitrairement, celle qui rend plus faciles les opérations à effectuer.

Si les axes étaient obliques au lieu d’étre rectangulaires, rien ne changerait si ce n’esl l'unité de volume, le cube étant remplacé par le parallélépipède dont les cùtés égaux à celui du cube sont respectivement parallèles aux axes coordonnés.

204. Considérons le cas général où le solide a mesurer est rapporté à un système de coordonnées polaires défini, comme au n" 248 , page 007.

Prenons un point quelconque m du solide et représentons-nous pour ce point les vitesses exprimées ci-dessus par dz, dy et dx. Ces vitesses n’étant assujetties qu’à la seule condition d’étre rectangulaires , nous pouvons supposer qu’elles soient dirigées respectivement, la première suivant le rayon vecteur Qm , la seconde suivant la perpendiculaire élevée sur ce rayon dans le plan projetant, la dernière suivant la normale à ce même plan. Il vient ainsi, d'après les notations du n" 248,

dz — dr, dy — r.d-, , dx = r cos y . r/9, et, de là résulte, en conséquence,

(I). . . d.d.dV = dx.dy.dz = r’.cos y.r/r.r/y.r/9.

Regardons d’abord comme persistant dans la détermination

qu’elles affectent, les quantités y, 6 cl leurs différentielles tlr,<le. L'équation ( I ) a pour équivalent

(2) f/.c/V=^eos <p.(lv.(h.br.Mrr^ irr*=cos y.rff.ds.

Conservons à » sa valeur actuelle et faisons varier l'angle 9. Les quantités r et &r deviennent fonction de la varinl)le9 et l’on déduit de l’équation (2)

,-v , „ „9+a9 (»*-»- Ar)'

Cela fait, il suffit d’exprimer en fonction de •. l’angle 9 et In différence A4, puis de faire varier l'angle y, pour passer de l’équation (Â) iï I’éqnntion finale

(4) . . aV = Ay.M^^cos y.A6.M^A9 — — ^ — -]•

Dans le cas particulier où le rayon vecteur Om est toujours nul à l’une de ses limites et où les angles 9 et f varient constamment , le premier de o à 2tt, le second deo à on peut désigner par r le rayon vecteur représenté ei-dessus pnr r-+-Ar, et, dès lors, écrire plus simplement

(5) aV= — M* tcosji.M^r*].

Quanti la marche à suivre pour effectuer les opérations indi-

* La formule (1), du n° 70, page 100, donne, on général,

AX.Mr+irx"

(x -4- ax)" — x " ri ■+■ 1

On verra plus loin, au n° 266, page 6 il, commenl l'équalion (2) peut s’ol>tenir à prinri.

quées dans le second membre de l'équation (a), elle résulte des détails qui procèdent el peut se résumer comme il suit :

1“ Remplacer ;• par sa valeur en fonction des ongles 6 et y;

2“ L'ongle y étant considéré comme constant et quelconque, déterminer la valeur générale de la moyenne M’!T’rî;

3“ Cette valeur étant obtenue sous la forme d'une fonction de y représentée par F (-,) calculer la moyenne

M: COS y. F (y).

On voit, aisément, comment celle marche s’applique au cas général; comment aussi, il peut être quelquefois plus simple d'intervertir l'ordre des opérations, en parlant de l’équation ( I ) et choisissant, pour les considérer d’abord comme constantes, celles des variables r, 6 et y qui permettent d’arriver ainsi plus promptement au but. Prenons pour exemple le cas d'une sphère, le pèle étant au centre. Si l’on considère d’abord comme constantes les quantités r, y et leurs différentielles dr, rfy, l’équation

rf.rf.rfV = r* cos y .rfr.rfy.rfo, où la quantité 9 varie seule, donne immédiatement,

rf.rfV = r’cos y .rfr.rfy . a 9 = 2îrr*cos y. rfr.rfy.

Partant de là, et restituant à l'angle y sa variabilité, on trouve dX — 2irr*rfr . a y . A ? cos y.

On a, d’ailleurs, entre les limites y == o, y-*- a y = - ,

A y . M ? ‘ COS y = I *.

‘ L’équation

d sin f — cos y.d y

a pour équivalent général

A sin y = Ay.M!+‘i?eosy = sin(y -t-iy) — sin y. De là résulte , entre les limites o et ^

A y.M ens y = t.

Il vient doue, cuire ces memes limites, d\ = înr'dr,

el, par suite, ainsi qu’un l'a vu tout à l’heure,

Les angles 9 et -r ayant varié, l’un de o à 2a-, l'autre de o à le volume exprimé par la différence aV est évidemment la moitié de la sphère. On a donc pour le volume total

2(i5. Le cas d’un solide rapporté à un système de coordonnées polaires, peut se traiter directement au moyen du théorème du a" 202, page G32. Il snflit pour cela qu’on se donne une sphère de rayon variable, ayant son centre nu pèle et qu’on prenne pour aire génératrice du solide la section qui lui est commune avec 1a surface de cette sphère. Soit A celte section : on peut écrire immédiatement

(1) dV «= A.dr,

cl, par suite,

(2) AV= Ar.M;+ir(.\).

De là se déduit le théorème suivant : .

Le volume engendré pur une uire sphérique qui se meut dans l’espace , sous lu seule condition de conserver toujours un seul et même centre , a pour mesure le.produit de la valeur moyenne de l’aire génératrice par la distance franchie suivant le rayon.

Ce théorème comprend implicitement celui que nous avons

( »>ÔR )

formule au n" 2a'J, page <>27. Il peut, de meme, être considéré comme résolvant à lui seul la question générale des cubaturcs.

Revenons à l’équation (1). On a, d'après la formule (2), du n” 251, page 61 3,

d.dA =u.v.

Remplaçons, comme au numéro qui précède, u par r.it? et v par r eos f.<l6. Il vient

d.dA — r* cos <f.df . de.

L’équation (â), où la quantité r doit être considérée comme constante, donne, en attribuant à « une valeur quelconque déterminée et faisant varier la quantité e,

(4) dA = r’ eos y . dj>. ao.

Supposons qu’on ait remplacé Afl par sa valeur eu fonction de f , l’équation (4) a pour équivalent

(5) A = r*.Af.M^+A>ieos ?.ae.

De là résulte, en substituant celte valeur dans l'équation (1),

(fi) .... dV = Hdr. a ?.Mÿ * cos y. a«.

Il ne reste plus qu’à exprimer les limites générales y et ?-<- a y eu fonction de r pour passer de l’équatiou (fi) à l’équation finale

(7) . . . AV=Ar.M'+Ar[rïAy.My+û?eos y. as].

Dans le cas particulier où le rayon r est nul à l’une de scs limites et où l’angle fl varie constamment de o à 2r, on peut remplacer Afl par 2* et écrire plus simplement

(8) . . . a V == 2;rR.»C [r*A f. My+ 4 * cos y],

R étant la limite supérieure dli rayon r.

( tir»!» )

Supposc-t-on , en outre, que l’angle y varie constamment de o « j? L’équation (8) ne subsiste plus que pour le cas de la sphère. On a, d'ailleurs, entre ces limites,

..?+Ay • .

Ay. Mp eosy = 1 .

Il vient donc, en substituant,

aV=2*R.M?r*= '

On en conclut, comme au numéro précédent, que le volume total de la sphère a pour expression

V= * jrR‘.

2liti. Montrons, par quelques exemples, le parti qu’on peut tirer, en certains cas, des théorèmes exposés précédemment pour la cubature des solides.

S’agit-il d’abord d’un cône à base plane quelconque? Nommons U la base de ce cène, h sa hauteur, A une section quelconque faite parallèlement à lu base R, : la distance du sommet du cône au plan de la section A. On a, généralement,

De là résulte , en vertu du théorème du n" ÜM>, page <>27,

V=A.MÎA= .LmU',

et, remplaçant la quantité A.MÎz* par sa valeur y,

' Voir au besoin la deuxieme noie du u“ i(î i , paye G3ti. " Voir au besoin la première uote du n° -61, page 63o.

S agit-il ensuite d une sphère au rayon il? Le théorème du n° 263, page «37, se traduit directement par lcquation

v = r.m.bw.

On a, d’ailleurs,

il vient done, en substituant.

On peut aussi partir de la formule (1) établie ci-dessus pour le cas général d’un cône à base plane, et, désignant par A la surface de la sphère, poser à priori

d.dV=:~d.d.A.

Cela donne, d'abord,

et, ensuite,

Ce dernier procédé s’applique au cas d’un solide quelconque, rapporté à un système de coordonnées polaires. Plaçons le pôle 0 a I intérieur du solide et nommons B la surface enveloppe, m un quelconque de scs points. 11 vient, connue tout à l’heure,

d.dV =-d.d B.

L aire d.dB étant située dans le plan qui

touche l'enveloppe au

( lül )

point m, et In hauteur h étant la perpendiculaire abaissée du pôle 0 sur ce plan.

Soit a l’angle ipie le rayon vecteur O m fait avec la droite li , et ,n Projection orthogonale de l’aire t/.rfB sur le plan mené par le point m normalement à O m. On a, simultanément,

//= reos«, d.d\ = d. dB. cos a.

De là résulte, en substituant,

d.dV=-d.dA,

et l'on peut disposer comme on veut de l’aire d.dA. Déterminée comme au n" 265, page 638, elle a pour expression

d . dA — r* cos Ÿ-df.dÿ.

Un en déduit

— eos f.de.do ,

et , pour le cas où le pôle est extérieur ou volume h mesurer,

d.dV

<vr)s — r3

— COS y . df . t/9.

On retombe ainsi sur la formule (2) du n" 204, page 633.

267. Considérons maintenant l'ellipsoïde et supposons d’abord qu’il soit de révolution. Rapporté a ses axes principaux, il a pour équation

Comparé à la sphère concentrique dont le rayon est a, il n’en diffère que par la substitution de l'ordonnée - z à l'ordonnée z. Il suit, de là, et du théorèmedu n» 261, page 630, que pour passer du volume de la sphère à celui de l’ellipsoïde considéré, il suflil

de multiplier le premier par le rappuri . On trouve ainsi , pour le volume cherché,

(2) V = — • — jt. et5 = — r.a* v.

Passons maintenant dcleHipsoïdc (I) à l'ellipsoïde quelconque, ayant pour é({ualiou

(Comparé au premier, cet ellipsoïde n’en diffère que par la sub slitulion de l’ordonnée à l’ordonnée iy. Il suit de là et du théorème rappelé ci-dessus, que pour passer du volume de l'ellipsoïde (I) à celui de l’ellipsoïde (3), il suffit de multiplier le premier par le rapport ^ . On trouve ainsi, pour le cas général d'un ellipsoïde quelconque,

Si l’ellipsoïde, dont nous venons de déterminer le volume, était rapporté à un système d'axes obliques, dirigés respectivement suivant trois demi-diamètres a', b\ c' conjugués entre eux , son équation deviendrait

Les équations (3) et (3) étant de même l'orme, il est visible qu’en appliquant, pour chacune, le procédé déefit au n" 263, • page 033 , ou parviendrait nécessairement à des résultats de forme identique et ne différant l’un de l’autre (pic par la substitution des quantités a , li', c' à leurs similaires «, b, c.

Rien, d’ailleurs, n’est changé par là, si ce n'est l’unité de volume, le cube étant remplacé par le parallélipipède dont les côtés égaux à ceux du cube sont dirigés suivant les axes a', b', c'.

La conséquence évidente est, qu'eu prenant ce parallélipipèdc pour unité de volume, on a, comme expression numérique du volume de l’ellipsoïde,

(0) -it.a.b.c.

Soit y l'angle que l’axe & fait avec le plan des axes a, b', et 6 celui que font entre eux ces derniers axes. Pour revenir de la seconde unité à la première, il suflit d’introduire , comme cocflicienl, le facteur sin y. sin 6. On a donc aussi,

(7) V = — n.u'.b'.c'. sin Ç.siu y.

La comparaison des équations (4) et (7) fait voir que le parallélipipèdc construit sur trois diamètres quelconques 2«', "2l Y, "2c' conjugués entre eux a toujours même volume que celui qui correspond aux diamètres principaux "2a, "2b, 2r.

2<î8. Considérons en dernier lieu le volume engendré dans un solide de révolution par une portion quelconque A de l’aire méridienne. Le théorème du n" 2(i<), page 629, implique évidemment la déduction suivante :

Le volume engendré tlu nu un .solide de révolution pur une portion quelconque A de lu section méridienne a pour mesure le produit de l’uire A pur l'arc moyen qu’elle décrit.

Pour établir celle déduction, il suflit d’observer que l’on a, comme traduction directe du théorème invoqué,

(1) . . . * d\ = A.Mi/.da = X.daMy,

dx étant la vitesse angulaire de rotation et y la distance d’un point quelconque de l’aire A à l’axe de révolution.

La quantité représentée par M y est évidemment constante De là résulte, en vertu de l'équation (1),

(-2) xV = A.x* . M y = A.M(ÿd«).

( (iti )

On voit, d'ailleurs, aisément, (j ne l'énoncé formulé ci -dessus n’est autre chose que la traduction littérale de l'cquation (i).

Extension générale au cas où les grandeurs à déterminer sont données comme limites de certaines sommes.

269. En traitant, comme nous l’avons fait jusqu’ici, la question générale des rectifications, quadratures cl cuhalurcs, nous avons voulu faire voir comment clic sc résout, indépendamment des procédés fournis par la méthode des limites. Peut-être avonsnous ainsi négligé quelqu'une des ressources qui, sans nous être nécessaires, pouvaient néanmoins nous servir. Il est, d’ailleurs, des cas où la considération des limites s’impose d’cUc-mdme comme expression directe du problème à résoudre. Obligés d'aborder ces cas, nous trouverons dans la solution qui s’y applique des éclaircissements utiles et de nouvelles facilités.

Commençons par établir le théorème fondamental qui permet de substituer les différentielles aux différences, lorsqu’on en fait la somme pour un intervalle quelconque déterminé cl qu'on les assujettit à converger toutes cuscmblc vers zéro.

Soit