J = IV

une fonction quelconque de la vuriablc x. On a généralement et simultanément,

(I). . . ày — ax.M*,+ A‘ f'(x), dy = f'(x).dx.

Supposons la fonction y toujours croissante dans l’intervalle ax, et divisons cet intervalle en « parties égales *. Soit li l’une de ces parties.

Si nous appliquons, d’une part, à la valeur quelconque

* La démonstration qui suit se ferait de la même manière si la fonction au lieu d'être toujours croissante, était toujours décroissante daus l'intervalle ax. Klle se ferait , sans plus de dilticullé , si la division s’effectuait eu parties inégales, toutes chose" testant d'ailleurs les mêmes.

xp=x-t-p li, il’autn* |>nrl, à lit valeur correspondante yf, les équations (I); nous avons,

(2). . . ay, = AM^V(ac), dy, =*= dxr.f{xr).

La vitesse dx, pouvant être quelconque, prenons-la égale à h. Il vient, par voie de substitution ,

d!U — hfi*,)

Considérons le binôme

et désignons par z la plus gronde des valeurs qu'il affecte, lorsqu’on pose successivement p — o, /) = I , p i , etc., p — n — 1. Il s'ensuit que si, parmi les valeurs de ce binôme, il en est une pour laquelle on ait, exceptionnellement,

on a, en même temps, pour toutes les autres,

rw

De l/i , et, eu égard à l’équation (3), résulte évidemment,

(4). dy,-*- <ly,-*- etc. -h dy. ,-=(! — <r) ay,-» ete.-f-

■f étant une quantité nécessairement comprise entre o et z.

Observons ici qu’il suffit d’attribuer au nombre « des voleurs de plus en plus grandes, ou, ec qui revient au même, d'attribuer a h des valeurs de plus en plus petites, pour que In quantité z et

à fortiori lu quantité >j sr rapproche indéfiniment de zéro. L’éq nation (t) implique , en conséquence, l’équalion finale

cte.+ A ^/"'(jc)= lim [dy„ c/»/, 4- etc. + d

On voit, d’ailleurs, aisément, que celte équation s’établirait de la même manière si les subdivisions de l’intervalle a.r présentaient des inégalités, pourvu qu’elles restassent assujetties à converger toutes ensemble vers zéro.

Le théorème exprimé par l’équation (S) comporte l’énoncé suivant:

Les valeurs affectées par la différentielle dans un intervalle quelconque déterminé ont , pour limite de leur somme, la somme des différences qui leur correspondent, ou, ce qui revient au même , le produit de l’accroissement total de la variable par la valeur moyenne de la fonction dérivée.

. Il implique, en outre, la déduction suivante :

Lorsqu’on subdivise l’accroissement total d'une fonction en parties qu’on prend de plus en plus petites et qu’on fait ainsi converyer vers zéro, on peut substituer à ces parties les différentielles qui leur correspondent et prendre pour somme des unes la limite de la somme des autres.

Cela posé, occupons-nous d’abord des cas auxquels nous avons fait allusion dans le premier paragraphe du présent numéro.

270. Étant donnée une grandeur géométrique complètement définie cl pouvant être indifféremment une ligne, une surface, un solide, imaginons qu’on la subdivise en parties de plus en plus petites, et qu’on multiplie chacune de ces parties par un facteur dépendant des coordonnées de l’un de scs points.

Ce problème à résoudre consiste, par hypothèse, à déterminer la limite dont la somme des produits ainsi obtenus sc rapproche indéfiniment à mesure que les subdivisions faites dans la grandeur donnée convergent tonies ensemble vers zéro.

Pour plus de généralité, eonsidérons le ras d'un solide el représentons par Vr son volume.

Soient m le point pris pour origine d'une partie quelconque aV; x, y, z les coordonnées de cc point; F (x ■+- ) ax, y -+- /*At/, z -+- yAz) le facteur à introduire comme coefficient de la partie aV.

Il est visible que la valeur absolue de chacun des trois coeflii^ nts ), v reste nécessairement comprise entre o et I.

Si l’on désigne par P la somme des produits à considérer, on peut écrire , en général,

fl). . . aP = aV. F[x -r- Aax, y -+- pAy, s -+- vaz].

On voit, d’ailleurs, aisément, que si l’on fait converger à la fois vers zéro, chacune des trois quantités ax, a y, a z, les différences aP, a V su bissent celte même condition, tandis que leur rapport converge vers la limite F (x, y, z).

Partons de là , et observons qu’en vertu du principe établi dans notre exposé général îles règles de la différentiation *, la limite du rapport n’est autre chose que le rapport de la différen- , tiellc r/P à la différentielle r/V. L’équation (I) donne, en conséquence ,

De là résulte, conformément au théorème du n“

(3) lim . P = V. M* F(x, y, z).

L’équation (") résout évidemment la question proposée.

S'agit-il de déterminer la valeur exprimée par la movenne qui figure rions le second membre de l’équation (ô)? Il faut, en général , remonter à l'équation (1 ) et procéder avec plus de détails que nous ne l'avons fait.

Supposons, pour fixer les idées, que le solide soit rapporté à des axes coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ. Supposons, cil

* Voir, au besoin , la deuxième partie, n" 0, pages tl)3 el suivantes.

outre, que les subdivisions a V résultent, en général, de trois séries de plans respectivement parallèles aux plans coordonnés YOZ, ZOX, XOY et distant entre eux, les premiers de la quantité ax, les seconds de la quantité Ay, les derniers de la quantité a z.

De là résulte, généralement,

(4) aV= AX.Aÿ. az, •

et, par suite,

(î>). . aP= AX. Aÿ. AZ.F[x -t- 1AX,»/ -4-/UAy, Z -4- v\z].

Imaginons d'abord que l'écart az converge seul vers zéro, les deux autres demeurant Constants. On a, comme ci-dessus,

(6) . . . </,P= ax. Mj.dz. [F(x -+- Mar, y ■+■ pAy, z)].

Supposons maintenant que l’écart a y converge vers zéro. Les quantités <l; P et ai/ s’annulant à la fois, on peut substituer à . leur rapport celui de leurs différentielles et écrire, en conséquence,

(7) . . . </,.rf.P = M.dy.dz. F(x-t- iAx,y,z).

Opérons en dernier lieu sur l'écart ax supposé jusqu’ici constant, et faisons-le converger à son tour vers zéro. Les quantités il/!. P et ax s’annulant à la fois, on peut substituer à leur rapport celui de leurs différentielles. On a donc, comme résultat final ,

(8) . . . . rf,rfrrf.P = dx.dy.ilz.T[x, y, z).

Observons qu’on est libre d'intervertir à son gré l’ordre des opérations précédentes, et, par conséquent aussi, celui des indices. Mieux vaut alors supprimer ces indices et écrire simplement ,

(0) . . (/.(/. </P — <lx.ily.ilz. l'jx, y, z).

Quant aux opérations à effectuer pour passer de l'équation (S)) à la détermination de la quantité lim. P, elles sont suffisamment indiquées par les détails qui précèdent et par l’équation générale, dont le sens nous est bien connu ,

(10) lim P = ax.M*+ A F(x, y, s))].

La quantité lim P étant ainsi déterminée, on connaît d'avance, ou, si on ne le connaît pas, on peut calculer de la même manière le volume V. On est, dès lors, en mesure de compléter la solution cherchée, en posant,

lim P M, *(AzM;+a'F(x,ÿ,*))]

M, [iyM, az]

Il n’échappera point au lecteur que les résultats établis cidessus s’étendent d’eux-mêmes à un système quelconque de coordonnées, et que pour les appliquerai) cas d’une surface ou dune ligne, il sullit de supprimer celles des variables qu’on se donne en fonction des autres. Les détails qui suivent éclairciront, nu besoin , ce qui parailrait obscur dans ce simple énoncé de l’extension que comportent les déductions précédentes.

271. Appliquons la solution détaillée du numéro précédent, au cas où le facteur à introduire comme coefficient du solide partiel aV est l'abscisse x ■+■ Ju de l un des points de ce solide. En désignant par lim P, la limite vers laquelle la somme des produits aV [x -+- ijx] converge à mesure que chacune des parties aV converge vers zéro, on a, d’après l'équation (â), du numéro 270, page (Î47 ,

(I) lim P,= V.m'(x).

Substituons successivement ù l'abscisse x chacune des ordonnées y et z. On a, de même, pour l’ordonnée y ,

(2) lim.P,** VJlJy,

( C.'iO )

et, pour l’ordonnée s,

(ô) lim P; = V.mIî.

Soit g le point de l'espace dont les coordonnées ar, , y, , z, ont pour valeurs respectives

(4). . . ar, = M.* (ar) , y, = M„V (y), z, = M J (s) ,

et expriment, en conséquence, la distance moyenne du volume total V à chacun des plans coordonnés YOZ, ZO.Y, XOY.

Ainsi déterminé, le point g jouit d’une propriété curieuse, facile à établir et consistant en ce que sa distance à un plan quelconque n’est autre chose que la distance moyenne des différents points du solide V il ce même plan. On ne perdra pas de vue que la moyenne dont il s’agit correspond à une répartition faite uniformément dans toute l'étendue du volume que l’on considère.

Soit Q le plan quelconque sur lequel on projette orthogonalement les différents points du solide V. Menons par l'origine O un plan Q' parallèle au plan Q et désignons par «, la distance des plans Q,Q'; par v, la perpendiculaire abaissée du point m sur le plan Q'. On a d’abord,

(а) Mj (o -+-«) = a -4-M.w.

Quant à la longueur u , elle est la projection du rayon vecteur Oui sur la normale nu plan Q' et, par conséquent aussi, la somme des projections des coordonnées x, y, z sur celle même normale. De là résulte,

(б) »i = x eos a y cos 6 -4- z cos y,

a, 6, y étant les angles que la normale au plan Q' fait avec les axes coordonnés OX , OY, OZ..

La combinaison des équations (4), (5), (G) donne

M!(a -4- u) = a cos a.M'x cosC.M^y -i- cos y.M,' z — a -+- x, cos a -4- y, eos 6-4 - z, cos y.

( «ai )

L'observation faile en ee qui eoneerne la perpendiculaire 1/ abaissée du point ni sur le plan Q' s’applique de la même manière à la perpendiculaire ti, abaissée du point </ sur ce même plan. On a donc, en vertu de l'équation (ti),

«, = x, cos 1 ■+■ y, cos f, s, cos y.

Substituant relie valeur dans l’équation (7), il vient, a ■+■ u, = M* (« ■+• w)>

et la propriété qu’il s'agissait d’établir se trouve ainsi démontrée.

Si le lieu des points considérés était une surface A ou une ligne S, rien ne changerait dans la démonstration précédente si ee n’est que, partout où la lettre V figure, on mettrait à sa place In lettre A ou la lettre S. I.a propriété dont il s'agit est donc tout à fait générale. Elle s’applique à la fois aux lignes, aux surfaces et aux solides. O11 pourrait dire du point g qu'il est le centre îles distances moyennes à un plan quelconque. Envisagé sous un autre rapport, il n reçu le nom de centre de gravité. Nous lui conserverons eette dernière dénomination et, résumant eequi précède, nous dirons :

.1 tout assemblage de points uniformément répartis sur une ligne, sur une surface nu dans un solide, correspond un centre des distances moyennes, autrement dit, un centre de gravité.

Ce centre est déterminé par la condition suivante : sa distance à un plan quelconque est la distance moyenne comprise entre ce plan et les différents points de l'assemblage.

Supposons qu’il s’agisse d’une ligne ou d’une aire plane: au lieu de prendre leur distance moyenne par rapport à des plans quelconques, on peut 11c la prendre que par rapport h des droites situées dans leur propre plan. Rien 11'cst changé, d’ailleurs, puisque pour rester dans les conditions générales, il suffit de ronsi-

dércr chacune dp cos droites comme la trace d’un plan normal au plan de la ligne ou de l’aire donnée.

Partons de là, et reportons-nous aux formules des n°‘ 256 et 268, pages 621 et 643. Il est visible que la moyenne représentée dans ces formules par le symbole Mt/ n’est autre chose que la perpendiculaire abaissée de leur centre de gravité sur l’axe de révolution. On peut, en conséquence, énoncer les théorèmes suivants dus à Guldin :

L’aire entptndrée par une ligne qui tourne autour d'un axe situé dans son plan a pour mesure le produit de cette ligne par l’arc que décrit son centre de gravité.

Le volume engendré par une aire qui tourne autour d’un axe situé dans son plan a pour mesure le produit de cette aire par l’arc que décrit son centre de gravité.

272. La quadrature des aires peut, ainsi que la cubature des solides, s’obtenir aisément par le procédé général du n“ 270. Bornons-nous à quelques exemples.

S’agit-il d’une aire plane A? Supposons d'abord que In division se fasse par des droites mp perpendiculaires à l’axe OX et distantes entre elles de la quantité ix. Cet intervalle pouvant être pris aussi petit qu'on veut et n'ayant plus d’ailleurs qu’à décroître, on a évidemment

Fig. iOi.

Ldi.

(1) a A -Jta sx [y •+• fiiy ],

y n’étant autre chose que l’ordonnée quelconque mp.

De là résulte, comme au n" 270, pages (:46 et suivantes,

(2) d\ = y:lx ,

et par suite, l'accroissement ix devenant quelconque,

(a) aA «=» iar.M, y.

Si la division s'effectuait par des droites Om partant du pdint O pris pour pèle, en désignant par r le rayon vecteur Om cl par \9 l’angle compris entre ce rayon et le suivant, on aurait, comme tout à l’heure,

(*) aA = - ( r -t- juir)*.

' Il viendrait donc

et par suite, l’accroissement a» devenant quelconque,

(fi)

S’agit-il du volume intercepté dans un cylindre droit entre sa base A et une surface S? Eu désignant par ; la distance d'un point quelconque m delà surface S à la base A, et prenant la projection du point m pour origine de l'accroissement aA, supposé très-petit et n’ayant plus d'ailleurs qu’à décroître, il vient

aV — aA [: + vAz] ,

a V étant la partie du volume V qui se projette sur l’aire aA.

On déduit de l’équaliou (7)

(8) rfV — zdA ,

et par suite, l'accroissement aA devenant quelconque ,

(9) aV = aA.M* + AA(z).

Veut-on opérer sur l’équation (7) en y remplaçant l’aire aA par le produit ai. ai/? On a

(10) aV=a jT.ai/[z ■+■ vaz],

cl, prenant

pour équation delà surface S,

(11) . aV = ax.a»/ [z + y ( f(x -r- iax, y + p*y) — f(x, y))].

Passons à la limile en ce qui concerne l'accroissement mj. U vient

(12) . d,V = A*.(/y[z-t- * (/■(*-♦- la x,y) — f{x,y))].

De là résulte, en passant à la limite pour l'accroissement a.r,

(13) tljlyV = z.dx.dy,

et |>ar suite, ainsi qu'on le voit aisément, les accroissements ax et a y devenant quelconques,

(14) . . . . AV=Ax.M:+A'(ay.M; + i,z).

273. Méprenons, comme exemple général, la question des cubaturcs et traitons-la de manière à faire ressortir les moyens de solution fournis par le théorème du n° 2«î), page «40.

Soit V le volume du solide à mesurer. Divisons ce solide connue au n° 270, page «47, et considérons d’abord la suite des tranches formées par les plans parallèles dont l’écart est ax. Cet écart étant pris aussi petit qu'on veut et n ayant plus qu’à décroitre, il est visible qu’en désignant par A l’aire de la section faite dans le solide par un des plans de division, et par a V le volume de la tranche qui a cette même section jwiur base, on peut écrire généralement,

(1) aV = ax[A •+• àaA],

A étant une quantité comprise entre O et 1.

De là résulte , eu passant à la limite, comme on l’a \ u précédemment,

( liüJ )

Dans celte équation dx n'est, si l'on veut, autre eliosc que l'accroissement ax supposé très-petit et n’avanl plus qu'à décroître *. Quant à la quantiléaA, clic doit être considérée comme constante aussi longtemps qu’il s’agit de la tranche qui prend son origine à partir d'un seul et même plan de division. Il suit de là que la différentielle d,V se confond avec le cylindre droit ayant la section A pour base et l’écart dx pour hauteur.

•Soit» ce cylindre. Les plans parallèles dont l’écart est Aydivisent en même temps la base A en bandes a A elle cylindre II en prismes ayant tous pour hauteur commune l’écart dx et chacun pour base respective la bande aA qui lui correspond. Soit a (d,V) le volume de l’un de Ces prismes. L’écart a y étant pris aussi petit qu'on veut et n’ayant plus qu’à décroître, il est visible qu’en désignant par z la hauteur que la bande A présente à son origine, on peut écrire généralement

(3) aA = Aÿ [z + VAZ] ,

v étant une quantité comprise entre U et 1. On a de même

(4) a(</j,V) = c/x. &y [z-t-vAz].

De là résulte, en passant à la limite pour l'accroissement mj,

(5) d/l, S -z.dx.dy.

Dans celte équation où la différentielle dx n’a pas change, l'écart dy n’est si l’on veut, autre chose que l’accroissement ai/ supposé très-petit et n’ayant plus qu’à décroître. Quant à l'ordonnée z, elle doit être considérée comme constante aussi longtemps qu’il s’agit du prisme qui prend son origine à partir du plan de division considéré. Il suit de là que la différentielle d,d,V se confond avec le prisme droit ayant pour hauteur l’ordonnée z et pour base le rectangle dx.dy.

‘ Pour ne pas changer la hase A , il suüit de faire décroître dx, en lui sulistituant sa moitié et ainsi de suite indéfiniment. Celle observation s'applique, de la même manière, au décroissement de l’écart a y. On peut, aiusi, la généraiier

( (i.'jti )

Cela posé, prenons la somme des prismes droits qni correspondent à une seule et même position de la section A, à une seule et meme valeur de l’écart dx, i» la suite des écarts dy. Si l’on désigne par z„, , z,, etc., les différentes valeurs affectées par l'or-

donnée z aux points de division uniformément répartis sur l’étendue totale d'un accroissement quelconque ay, on a pour ectle somme

(6). dx.dy.[z„ 4- z, 4- etc. 4-z„,] — dx.\y.

Z, , 4- Z, 4-cte. 4-z„,

Il est visible, en effet, que le nombre des divisions étant marqué par >i , 1 accroissement total iy a pour valeur le produit n.dy.

Attribuons à l'accroissement quelconque a y la détermination qu’il acquiert comme projection de l’aire A sur le plan des xy. En vertu du théorème du n" 269, page G46, la somme exprimée par l’équation (G) a pour limite le volume de la tranche d,\' . De là résulte, en passant à la limite,

(7) . . . . dIV = .U*x==rfx.xy.Mj+i,’(z).

Faisons la somme des tranches en supposant qu’elles aient toutes meme épaisseur dx et qu’elles soient au nombre île n pour un intervalle quelconque déterminé xx. En désignant par A0, A(, A,, etc., les valeurs affectées par la section A et correspondantes aux divisions successives de l’intervalle xx, on a pour celte somme

/u. - r, . , A„ A| 4- etc. A„,

(8) . dx [Au A, + etc. 4- A„,] = ax.

En vertu du théorème du n° 261), cette somme a pour limite le volume total exprimé par iV pour un écart quelconque ax. De là résulte, eu passant à la limite,

(9) aV«-4*.M'+A'A,

et , eu égurd à l'équation (7) ,

(lü). . . . aV.*= A*.M‘+A*[a»/.MÎ+A,'(z)].

L’équation (10) résout évidemment la question proposée.

Au lieu de s’en tenir à l’équation (o), on peut pousser la division plus loin et substituer au prisme droit que l’on considère la suite des parallélipipèdes rectangles qui résultent des sections de ee prisme par les plans parallèles dont l’écart est a:. Soit s(dtdt\) le volume de l’un de ces parallélipipèdes, il vient d’abord

(H) i[d,.</,V] = dx.dij.iz,

et, par suite,

( 1 2) d.d/ltW — dx . dy . dz ,

l’équalion (12) ne cessant pas ici d'etre identique à celle dont on la déduit d’après le procédé fourni par la considération des limites.

Si l’on parlait de l’équation (12), on remonterait à l’équation (’i) en faisant la somme de tous les parallélipipèdes qui correspondent à un seul et même prisme droit. Le reste s’achèverait connue ci-dessus.

274. Un parvient plus rapidement a l’équation (12) du n° 275, en partant, comme nu n°270, de l'équation générale

(I) aV= ax. Ay.AZ,

et substituant successive meut à chaque différence sa différentielle. Ce procédé donne d'abord

(2) dt\ — dx. AIJ. AZ,

puis

(5) d,d, \ *=dx.dy.AZ,

et, enfin,

(4) dzdtdy —dx.dy.dz.

( Gb8 )

Cela pose, on peut considérer le volume V comme la somme d’une suite de parallélipipcdes rectangles tous égaux entre eux et représentés chacun par le produit dx. d\j. dz, ou plus exactement comme la limite de celte somme.

Prenons, pour deux valeurs quelconques déterminées des variables x et y, les parallélipipcdes qui se projettent sur la même base dx. dy. Leur somme est égale au produit de cette base par la hauteur totale z. Exprimée par le produit

('») z.dx.dy,

clic représente un des prismes compris dans la tranche qui correspond à l’abscisse x et dont l’épaisseur est dx. Faisons la somme de ces prismes. Elle donne la tranche et a, pour expression, le produit de l’accroissement de la variable par la valeur moyenne de la fonction dérivée, c'est-à-dire

(«) dx.ûÿ.M’+iiy(2).

Ajoutons toutes les tranches. Leur somme, considérée dans sa limite aV, est le produit de l’accroissement total ax par la valeur moyenne de la fonction dérivée a y.Mv(+i,(c). Il vient donc, en dernier lieu ,

(7) aV = (*)]•

Le procédé que nous venons de suivre est, comme celui du n° 273, tout à fait général. Si, après avoir subdivisé le volume V en parallélipipcdes rectangles, on avait à multiplier chacune des subdivisions par un facteur de la forme

F(x ■+■ Aax, y -t- n±y, z-\-v as),

les coordonnées x, y , z étant celles du point pris pour origine de la subdivision considérée, il est visible qu’en désignant par P la limite de la somme des produits obtenus, on aurait, comme tout à l’heure,

(8) d,dyd.V — dx . dy . dz . F (x, y, z).

Il est clair, eu elTel, que du moment où l'on passe h lu limite, chacun des binômes x ■+■ \\x, y -+- u±y, s vit se réduit à son premier ternie.

L’équation (8) traitée comme l’équation (4) conduit au résultat final

(!)). . il* = [WM? F (x, y, z))\

Appliquée au cas d’une surface quelconque A , elle donne , connue au n" 234, page 018,

(io). . àA = ].

275. Le principe qui permet de substituer les différentielles nuv différences qui leur correspondent, cl de prendre pour somme de celles-ci la limite de la somme des autres, est susceptible d’applications nombreuses. En procédant, d’après ce principe , comme on l’a fait aux numéros 273 et 274, on peut établir sans difficulté les différents théorèmes que nous avons démontrés successivement en ce qui concerne les quadratures et les eubatures proprement dites. De là de nouvelles ressources qu’il convenait de mettre en lumière pour les cas où l’on doit nécessairement y recourir, et qu’il nous suffit, d’ailleurs, d’indiquer pour ceux où elles ne sont pas indispensables, les développements déjà donnés offrant par eux-mémes tout ce qu’il faut pour en bien comprendre l’emploi.

Nous terminons ici In série des applications directes du calcul différentiel. Dans les parties suivantes, nous traiterons du calcul intégral, du calcul des différences, et du calcul des variations.

m UE I.A TROISIEME CARTIE.

( liGO )