AU NUMÉRO 22<J DU CHAPITRE XII
DIVISION DUNE SURFACE EN QUADRILATÈRES RECTANGLES SATISFAISANT A CERTAINES CONDITIONS PARTICULIÈRES.
. Considérons deux systèmes de trajectoires orthogonales sijtpai’tenantà une même surface A, et supposons d’abord que, satisfaisant à l'équation générale
ros ft eos h'
p p eus 6 eos 6' .
ds ê > p p'
elles remplissent, en conséquence, lu condition suivante :
I. — Deux lignes guelcongue» étant prises a volonté dans l’un ou l'autre des deux systèmes, les segments interceptés sur ces lignes pur leurs trujectoires orthogonales conservent entre eux un rapport constant.
Fig. I.
rj
ri
fl
JJ
1 /ri
Soient [tiwi’iii".,, min"..., pp'p"..., etc.], [mnp...., m'n'p'...., m"n"p"...., ~~ etc,], deux suites de lignes prises respectivement, les premières dans l’un des systèmes considérés , les secondes __ dans l’autre.
Les trois lignes min'tn"..., nn'n"..., - mnp...., pouvant être choisies comme on veut, déterminons les autres eu posant
mm — mn ,
mm
’ = m'ri.
m" m"' = ni' n'
' , etc
np = HH y
Pfl
= VP y
gr = qq'
, etc
. . . ros 9
Les quantités —j—
eus 9’
sont les modules des courbures géodésiques
D'après la condition générale formulée ci-dessus, on a
, „ , »»»'«" (o). . .no— no . »
mm'
il p — np. —
De là résulte, en vertu des équations (2),
I. 'équation (4) jointe nux équations (2) donnerait île même n"n”'=n"p", p’q' = pp", et, ainsi de suite indéfiniment.
On voit par là comment la eondilion I implique eelte autre condit ion :
II. — Etant données trois lignes choisies comme on veut, lieux tlans Vitu îles systèmes considérés, lu troisième ihins l'autre, elles déterminent une double suite dont les liynes divisent lu surface A en quadrilatères rectangles ayant tous deux cédés de même longueur, adjacents l’un à l'autre et placés de la même manière *.
On peut, avons- nous dit, choisir comme on veut les trois
qu'affectent en on même point quelconque m les deux trajectoires orthogonales passant par ce point. Les caractéristiques <l,<i correspondent à des déplacements effectués à partir du point m, l'un suivant l’arc m de la ligne dont la
cos 0
courbure géodésique a pour module—^—, l’autre suivant Tare A de la ligne
dont la courbure géodésique a pour module — —
J’ai montré, au n° 229 , page 300, comment l'équation (t) peut s’établir en quelques lignes . par voie géométrique.
On peut, à volonté, donner à ces côtés même longueur ou mainfrnir entre eux un rapport constant a. Ils sont de longueur égale, lorsqu'on pose, comme ci-dessus.
j m» mV m"n" np pq qr
mm' m'm" m"m"' un' pp' qq' ~
lignes inm'm"...., Minp...., et déterminer les autres d’n près
les équations (2). Sans rien changer à cet égard, considérons un groupe quelconque comprenant quatre quadrilatères accolés autour d’un même point central, et, au lieu de la condition I, donnons-nous 1a condition plus restreinte énoncée comme il suit :
III. — Quel que soit le groupe considéré, si trois des quadrilatères qu'il comprend ont deux côtés de même longueur, adjacents l'un à l’autre et placés de la même manière, celte même condition est remplie par le quatrième.
Appliquons cet énoncé en prenant d’abord pour exemple le groupe dont n' est le point central. On a, d’après les équations (2),
(;>). . . mm' — mn , mm" — m'n', np = nn'.
De là résulte, comme conséquence immédiate de la condition III ,
(11) nn" = n'p'.
S’agit-il maintenant du groupe ayant sou point central en n"?
Ils seraient inégaux et conserveraient entre eux le rapport constant a, si l’on posait
ma m'n' np pq
mm' m'm" nn' pp'
Celte extension subsiste alors même qu’au lieu des équations (3) du texte, on aurait, pour chaque groupe de quadrilatères accolés autour d’uu même point central, des équations de la forme
.... , mm" , , ■ m'n'
nn =k.nn. -, np=k.np. ,
mm mn
la quantité k étant la même dans ces deux équations et pouvant varier d’un groupe à un autre.
( «fiô )
L'équation (Pi) jointe aux équations (2) donne
Il vient donc, comme tout « l’heure , n"n"‘ = n"p",
et ainsi «le suite, de proche en proche. Il suit évidemment de là que la condition II est également impliquée par l’une ou l’autre des conditions I et III.
Partons de la condition III.
Si nous désignons par s les lignes de la première suite, par i celles de la seconde, et que nous fassions usage de la caractéristique Dou de la caractéristique a, selon que les différences à considérer dépendent d’un déplacement effectué suivant les lignes s nu suivant les lignes i, nous pouvons écrire
( mu = Ai ,
et, par suite ,
m'm" = D,s D.Ds, m'n' = Ai -4- l) . a* ,
np = Ai a- A . A i , un = D* a . I)»,
= un' -4- Don' = Ds -4- a.Ds -4- D.Ds -t- D.a.Ds, — m'n’ -4- a m'n' — a> -4- D. Ai -4- a . Ai -4- a .1). Ai.
Les équations (il) comprennent les équations (5) et, par conséquent aussi, celles qui s’en déduisent, eu égard aux équations (7) , savoir :
(9). . . Ds=a), D.Ds = D.Ai, A.Ai = A.I)s.
Cela posé, pour que la condition III subsiste, en général, il faut et il suffit que, «lans l’hypothèse d«*s équations (9), on ail, en même temps,
( fifii )
ou, ce cpii revient au même, ou egard aux équations (S), (10) n.a.Ds= i.D. Ai.
Supposons qu'il on soit ainsi. La condition II subsiste indépendamment do tout degré do grandeur nssigné nu quadrilatère mm’n'n. Imaginons qu’après avoir décru continûment jusqu'à s'annuler, eo quadrilatère accomplisse l’évolution inverse, et plaçons-nous à l'instant précis où il s’engendre à partir de zéro. La dépendance établie entre ce quadrilatère et les autres se manifeste à ce même instant qui fixe leur origine commune. S'agit-il, en effet, pour l’un quelconque d’entre eux , de ceux de ses côtés qui sont assujettis à prendre même longueur? Il est visible que leur génération simultanée commence, «le part et d’autre , avec une égale vitesse.
Arrêtons-nous à ce dernier résultat. Il peut subsister alors même que les équations (0) n’impliqueraient pas l'équation (10). Tel est évidemment le cas plus général où, toutes choses égales d'ailleurs, l'équation (10) est remplacée par l'équation aux limites
lim
D . a . Ds A .D.i*
ou, ce qui revient nu même, par l’équation différentielle
(12) d.9.dxs=t.dS\.
Restons a ce nouveau point de vue qui comprend tous les cas précédents, sans en impliquer aucun, et qui comporte ainsi une extension plus grande. Au lieu des équations (ît), nous avons à poser les équations correspondantes
(1Ô). . . = d.ds = d.S A, = S.dity
et tout se réduit à ce (pie l'équation (12) résulte, en général, des équations (lâ).
Nous verrons tout à l'heure à quoi revient la condition qui doit être ainsi satisfaite. Commençons pareil fixer le sens par rapport au tracé des lignes qu’elle détermine.
Concevons «l’abord que les lignes nim'm" mnp...., glissent sur
la surface A, de manière à prendre successivement les positions conjuguées m'n'p'....\, [ pp'p iri'ri'p"....] etc. Il
est visible que leur point d'intersection occupera successivement les lieux m, n\ p", etc., et qu'il sortira de cliacun de ces lieux suivant la bissectrice de l'angle des deux trajectoires orthogonales qui s’y coupent. Concluons que, dans V hypothèse où nous raisonnons, les points m,n',p”.... sont tous situés sur une même trajectoire à 43° des lignes orthogonales que l’on considère.
Prenons maintenant dans chacun des quadrilatères mm' n' n , m'ni'n'n', nn'p'p, etc., celui de ses sommets pour lequel les côtés adjacents s’engendrent à partir «le zéro avec une «!gale vitesse. S'il s’agit, par exemple, du quadrilnt«*re nn'p'p, ce sera le sommet n. Concevons que deux points mobiles, placés d’almrd en », sortent en même temps de ce lieu avec une égale vitesse, représcnléc, pour l’un par nn', pour l'autre par np. La direction suivant laquelle ces points se détachent l’un de l’autre, au sortir du lien n , est évidemment inclinée à 43“ sur chacune des vitesses nn’ et np. La meme observation subsiste en général. Elle s’applique, en conséquence, de la même manière, à deux points mobiles qui seraient placés, d’abord, en m et qui sortiraient, en même temps, de ce lieu avec une égale vitesse représentée, pour l’un par m'm", pour l'autre par »«'»’. Supposons qu’il y ait, de part et d’autre, simultanéité. Les quatre points mobiles arrivent, en même temps, l’un en p, deux en le dernier en m". Il suit de là, comme tout à l'heure, que les points m", n', p sont situés sur une seule et même trajectoire à 45” des lignes orthogonales considérées. On voit, d’ailleurs, aisément qu’il en est de même «les points m’", n", p', q et, ainsi de suite, de proche en proche *.
Le résultat auquel nous venons de parvenir implique, comme eons«:quence , la déduction suivante :
* Veut-on procéder autrement ? On peut prendre à part un groupe quelconque de quadrilatères aecolés à un même point central, soit, par exemple, le gmu|M‘ dont le point central est en a', fixer ce point, le réunir par des droites aux sommets m" et p, puis passer à la limite. La conclusion sera la même.
( fif>« )
IV. — Los trajectoires orthogonales qui, dans l'hypothèse des équations (15). satisfont à réquntion (12), remplissent, en même temps, celte autre condition :
Étant données trois lignes choisies, comme on veut, deux dans l'un des systèmes, la troisième dans l’autre, elles déterminent une double suite de lignes gui découpent la surface A en quatlrilatères rectangles admettant tous pour diagonales les trajectoires à 45" de ces mêmes lignes.
On a, d’ailleurs et évidemment, ce corollaire :
La propriété établie pour les lignes données s'étend d’ellcméme au double système orthogonal que forment entre elles leurs trajectoires à 45°.
Revenons aux équations (12) et (15), les équations (13) se posant à priori et devant, par hypothèse, impliquer l’équation (12). Si l’on représente par les courbures géodésiques qu’af-
fectent en un point quelconque m les deux lignes orthogonales s et i passant par ce point, on a, en général, d après l’équation (2) du il" 227, page 534,
. cosO . . , eoss'
(14). . J .ds — ± ils.#) , i/.Jj =dz ds. d* — - — •
De là résulte, en premier lieu,
cos 9 * ros o
d. d. ds — ± [ds.d.iîi -+- oj.d.ds] rfc ds.'h.d ,
et, par suite, eu égard aux équations (13) et (14),
. , cos 9 .. . eosa . „cos0 eo$9' cos0
( 1 5) d. S.ds = db 2d«. d.ii ± ds'.d = 2 rfs* — - — rh ds*.d
