Soit une fonction quelconque, supposée continue

La variable x et la fonction g variant toutes deux simultanément, on dit de la fonction qu'elle est croissante lorsqu’elle croit ou décroît en même temps que la variable. On la dit décroissante lorsqu’elle croit en même temps que la variable décroît, ou inversement. Cela revient à dire que la fonction est croissante dans le cas où les vitesses x, y sont de même signe et qu’elle est décroissante dans le cas contraire.

‘ Le leclem' ne doit pas oublier qu’à moins de mention contraire, il est toujours entendu que la continuité subsiste.

Cela posé, on n généralement,

Il s'ensuit que les vitesse x, y sont ou non de même signe selon que la dérivée /'( x) est positive ou négative. Ce résultat peut s’énoncer comme il suit :

Ae signe de la dérivée indique, en général, lu marche de la fonction, celle-ci étant croissante ou décroissante , selon que la dérivée est positive ou négative.

Un ens échappe à la règle qui vient d’être établie : c’est celui où la dérivée s’annule *. Examinons ce cas et , pour plus de généralité, supposons qu’une même valeur*dc la variable x annule en même temps toutes les dérivées successives f'(x) , f"(x) , etc., jusques et y compris celle de l’ordre « — I. Soit a cette valeur : si on la substitue à x dans les expressions générales des différentielles successives dy, iPij , ... dn~'y, d"y , il est aisé de voir qu’elle les annule toutes, la dernière exceptée, et que celle-ci se réduit h la forme très-simple

Pour ramener à ce cas celui où la dérivée se présente sous la forme - , il snltil de reprendre l'équation y = f(, r), «le résoudre celle équation par rapport à jet de |toser,en conséquence,

De là résulte

et eu égard à l’équation (2) du présent numéro,

On a donc en même temps

f(X) = et F ”(y) = o.

Il s’ensuit qu’en opérant sur les deux équations simultanées x = F(y), x = ÿ F'(y),

‘ tout se ramène au cas traité el-dessus dans le texte.

" Voir au besoin les formules établies dans la deuxième partie de eet ouvrage.

( ïi )

Appliquons ici l« règle générale établie nu n" I. La dérivée f"(x) étant sup|tosée continue dans le voisinage de la valeur x = u, en deçà comme nu delà, il s'ensuit que le signe «fierté par la vitesse 1/ au sortir de zéro est celui du produit i\ fn(a). Cela posé , voici les conséquences :

1° Lorsque u est impair, selon que la dérivée f"[«) est positive ou négative, les vitesses g,x sont de même signe ou de signe contraire. On voit donc qu’en ce cas la fonction croit ou décroît selon que la dérivée f"[n) est plus grande ou plus petite que zéro.

2° Lorsque n est pair, scion que la dérit ée fn(a) est positive ou négative, les vitesses y,x sont de même signe pour i>o et de signe contraire pour .r<o, ou inversement, c'est-à-dire de même signe pour x<o et de signe contraire pourx>o. Dans le premier cas, c'est en décroissant que lu fonction parv ient à la valeur /"(n) et c’est en croissant qu’elle s'écarte de cette valeur après l’avoir atteinte. Moindre à la foisquceelles qui la précèdent et la suivent immédiatement, la valeur dont il s’agit se distingue des autres cl prend le nom de valeur minima. Dans le second cas, c’est en croissant que la fonction parvient à la valeur /’(«) et c’est en décroissant qu'elle s’écarte de cette valeur après l’avoir atteinte. Plus grande à la fois que celles qui la précèdent et la suivent immédiatement, la valeur dont il s’agit se distingue des autres et prend le nom de valeur uiaxima.

Les résultats que nous venons d’établir peuvent se résumer comme il suit :

Rêci.e atNtHALE. — La marche de la fonction est indiquée par le signe et le rang de la première des dérivées successives qui ne s'évanouit point.

Celle dérivée est-elle de rang impair? selon quelle est positive on négative, la fonction est croissante ou décroissante.

Est-elle de rang pair? selon qu’elle est positive ou négative la valeur de la fonction est une râleur miuima ou une râleur niaxinta.

n° 30, pages 154 et 153. 1.'extension (pic ces formules comportent est en quelque sorte évidente.

De l'éyulitt ■ ijiii subsiste entre l'accroissement d'une fonction et le produit de l'amuïssement de la variable par lu vuleur moyenne de la fonction dérivée.