J =* IV

une fonction quelconque supposée continue.

On a généralement

Supposons la vitesse x constante et considérons deux accroissements quelconques simultanés ajc, A y.

Si lu dérivée /''(je) demeurait invariable, la vitesse y serait constante comme, lu vitesse .r et I on aurait

(3) Ay = f\x) . xx \

L’équation (3) ne subsiste point en général , vu que ht dérivée f’(x) varie incessamment avec ar et qu'il en est de même de la vitesse y.

Supposons que la dérivée /'(x) soit continûment croissante dans l’intervalle ajt. La vitesse y restera comprise entre les valeurs extrêmes i . f'(x) et x . f'(x -t- a y). On aura donc en même temps :

et

Divisons I intervalle a* eu n parties égales et désignons pur li l’une de ees parties, pur \y„ xyt, etc., les accroissements partiels

• Voir au besoin la deuxième | un tic de cet ouvrage, n* o, |>age t)o. règle 4.

successifs qui leur correspondent. On a d'abord , conformément à l’inégalité (4),

et , conséqucuinicnt ,

(G) xy = .sy, -t- xy, cte.> /<

On a de meme

xyt < h.f\x -s h),

\>ji < i' ■ r(x + 2/.),

( /"'(oc) -c- /'(x //) etc.

xy„ < h . f(x •+■ nh),

et, pur conséquent,

(7) mj = ,ÿl + Mh - eu-. < h j A> [y +- ■+- tu - j

La différence que présentent les derniers membres des inégalités (G) cl (7) ayant pour expression

h.[r(x -+- nh) — /’(x)J ,

il s’ensuit qu'on peut écrire

= /< ( /'(x) /'(x + /«) etc. -t- f{x + („ — |) /,)]

■+■ M h [/ '(x nli) — /’(x)].

^ étant une quantité comprise entre O et I.