IS
Hcmpluçoiis b par sa valeur ~ cl divisons par aj. II vient
/oX -i.y r(x) -+- /'(a; -t- A) -4- etc. -4- / '(a- -4- (;i — I ) h)
Aa «
/’(* -v- Aa) — /'(a)
-4- fl
Cela posé, imaginons que, sans rien elianger à l’intervalle a a, ni par conséquent à l'accroissement Ay, l'on augmente indéfiniment le nombre n, qui marque en combien de parties égales l’intervalle Aa est subdivisé. L'équation (8) subsistera toujours, cl, puisque le premier membre de cette équation demeure invariable, les deux termes qui figurent dans le second devront former ensemble une somme constante. Or , a mesure que n est pris de plus en plus grand, l’un de ces termes devient aussi petit qu’on veut: il faut doue que, dans les mêmes circonstances, l’autre se rapproche indéfiniment de la limite fixe exprimée par leur somme. Mais, d’un outre côté, ce teameest la moyenne arithmétique des valeurs que la dérivée f(x) affecte à l’origine de chacune des subdivisions introduites dans l'intervalle sx. Si donc ou repré-
sente par le symbole .M, f\x) la limite vers laquelle cette moyenne converge à mesure que le nombre n croit indéfiniment, il s’ensuit qu'il y a identité entre les deux limites f'(x) et
On |>cul écrire, en conséquence,
(‘J) Ay = A,.M.‘+A'./>).
Désignons sous le nom de valeur moyenne de la dérivée In quantité représentée par le symbole M^Ai /’(j). L’équation (9) a pour traduction le théorème suivant :
L'accroissement de lu fouet ion est égal au produit de l'accroissement de lu variable pur lu valeur moyenne de lu fonction dérivée.
4. Nous avons suppose que la dérivée /'(x) élail constamment eroissaule dans 1 intervalle ax. La démonstration qui précède s’applique de In même manière au cas où la dérivée serait constamment décroissante. Le résultat formulé ci-dessus est d’ailleurs tout à fait général, ainsi qu’on va le voir.
Hcportons-nous aux inégalités (4) et (o) du n" ô, page I Elles se résument en une équation de la forme
V/ — ** {/"(J) fi (f(x -v- ax) — /’'(*).)] ,
fi étant une quantité comprise entre 0 et I.
Supposons que la dérivée /’(x) soit continue à partir de la valeur x prise pour origine de l’intervalle ax. Si ect intervalle est suffisamment petit et qu’il ne fasse plus que décroître, il est visible «pic la différence /'(x -f- Ax) — f(x) converge nécessairement vers zéro. On peut donc écrire en général
0) iy = -tn^ +
>; étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que ax.
Divisons l'intervalle ax en n parties égales et désignons par h l’une de ces parties. A chacune des subdiv isions représentées par li correspond un accroissement de la fonction, et cet aceroissemenl est déterminé par les valeurs particulières que les quantités /'(x) et ? aircclcnl à son origine. On a ainsi
) s!h — h [f(x •+■ I') ■U ii
*Un = k [f\* (« — I) /') '!,.}■
Or, 1a somme des différences tiyx, Ay, , etc., mj. est nécessairement égale à l'accroissement total a y : il vient donc, en
ajoutant , membre à membre, les équation* (2), et di\ isant «le part et d autre, par sx
A.V A*) A* +- h) •*- ctc- ■+■ Ax •+■ (« — O /o
sx n
■n •*- Vt *+• etc. + *„
Imaginons qu'on attribue à n des valeurs de plus en plus grandes. Chacune des quantités v, , cte., converge alors \ers zéro et il en est de même de leur moyenne arithmétique. Concluons que l'équation (3) remplit les mêmes conditions que l’équation (8) du n° 3 et qu'elle implique, comme conséquence, la même équation finale,
(*) S,j = yx\\ ;+AY(x).
Lorsque la continuité subsiste, lu valeur 31 j A f (r) coïncide nécessairement avec une des valeurs que lu dérivée f (x) prend dans l'intervalle sx. Un peut donc écrire
(5) sy = sx . f'(x ■+■ 6\x),
9 étant une quantité qui dépend, en général, de x cl de sx, et qui reste comprise entre 0 et I.
On pourrait croire, au premier abord, que l’équation (4) est restreinte au cas où la dérivée f (x) ne cesse pas d’être continue dans l’intervalle sx. Ce sentit une erreur. Pour que cette équation subsiste , il /(tut et il suffit que la fonction y — f (x) demeure continue dans l’intervalle que Peut considère, l u exemple suflira pour éclaircir ce point *.
* Si l'on voulait étendre à tous les cas possilrles la solution donnée dans le texte i>our le cas particulier oh la dérivé*; f'(x) ue cesse d'être continue qu'à l'extrémité de l'intervalle Sx, on observerait d'altord que si cet intervalle est subdivisé en une suite de parties représentées par ,jx,, Sx,. SX2, etc., on a généralement
Sx, M‘r' f(x) sx, M*s f’(x) -4- Sx. M’* ('(. r) -b etc.
VW= ^ ! ;
le reste s'achèverait ensuite sans aucune dillkulté.
Supposons que lu dérivée /' (x) soit indéfiniment croissante vers lu fin de l’intervalle ax et qu’en conséquence la valeur extrême /’ (x -4- a .r) se présente sous la forme * . Pur hypothèse, la fonction y demeure continue.
Divisons l’intervalle ax en n parties égales et désignons par h l’une de ces parties. On peut écrire, conformément aux déductions précédentes ,
ai j = (ax — h) 1,4 /‘'(x) f(x ■+• nh) — f(x -+-(»—!) h),
cl divisant par ax ou son égal nh
/(x-v- ax) — f[x- h ax — A)
AX
Par hypothèse, la différence /(x -+- ax) — f(x -+- ax — h) converge vers zéro à mesure que le nombre n est pris de plus en plus grand. Il s’ensuit que l’équation (ti) remplit les mêmes conditions que l’équation (8) du n” 5 et qu'en conséquence elle ne cesse point d'impliquer, comme tout à l’heure, la même équation finale :
(7) ..... . Ay=AxM;+AV(x).
L'équation (7) subsiste, ainsi qu'on le voit, sous la seule condition que la fonction y soit et demeure continue dans l'intervalle ax. Elle comporte en outre une extension qu’il convient d indiquer. Imaginons qu’à la valeur x, comprise dans l'intervalle ax correspondent , pour y, deux valeurs distinctes qui se rattachent, respectivement et par voie de continuité, l’une à celles qui précèdent, l’autre à celles qui suivent immédiatement. Si I on représente par «fy, l'accroissement brusque subi parla fonction y dans le passage de la première à la seconde de ces deux valeurs, il est aisé de voir que, sans rien changer à ce qui précède, on a nécessairement
a y — ax !\x) -+- t?y,.
On aurait de même pour le chs de plusieurs changements
brusques subis par la fonction ;/ dans lintcrvaile ax et représentes par les symboles rft/, , <ft/4, Ji/3, ete. .
Aiy = ax M'+A' f’(x) -4- oij, -+- 4yt rfy, -t- etc.
5. Lorsqu'on part d'une fonction connue y — /‘(or) cl qu’on se propose de déterminer la valeur moyenne que la dérivée f'(x) affecte dans un intervalle quelconque ax, on peut d'abord déterminer l’accroissement ai/, en posant
*!) = f{x + ai) — f(x).
Il vient ensuite,
AI
et In question se trouve ainsi résolue.
Lorsque la grandeur donnée est la dérivée f (x) et qu'on veut calculer directement sa valeur moyenne, on a rigoureusement
/'(x) + r{x et c. + rlx +- — -ai)
M;+ ''/•'(*) = lim — 1 -,
et, par approximation,
/'(*) -+- rlx -i ) + etc. -t- f (x -t ai]
K+*xnx) =» ) — 1 - ,
l’erreur commise diminuant à mesure que n augmente et restant toujours moindre que la quantité
l"{x -v- ax) — /'(x) n
En exprimant, par cette quantité, la limite supérieure de l’erreur commise, on suppose, comme au n° 5, que la dérivée f (x) est toujours croissante ou toujours décroissante dans l’intervalle
ax.S’il en était Autrement, on pourrait .subdiviser l'intervalle ax en parties qui satisferaient toutes il la condition précédente et pour chacune desquelles ou appliquerait successivement le procédé qui vient d’dlrc décrit.
On verra plus loin comment le calcul numérique de la quantité M, ‘ f (x) peut s’effectuer, par voie de développement, daus le cas où les dérivées successives f'(x), f'"(x), etc., sont cl demeurent continues.
Du développement des fondions pur voie d'identités.
ti. Soient /'(je), f(x), f" (x),... /" (x) une suite de termes déduits les uns des autres par des dérivations successives et supposés continus entre deux limites quelconques, l’une variable et représentée par jc, l'autre constante et représentée par; — * -+- ax.
La quantité : étant quelconque mais constante, considérons la fonction composée
(I ) f(x) = (; — *) /"(x) -+- {' f ~-*--["{x)+ etc. -t- — ^ f(x). Cette fonction a pour dérivée première
/(*) = (= - *)/"(*) + etc. h- r + ' (*)
- f\x) -(*-*) f"(x) - CU-. - PM'
ce qui donne, toute réduction faite,
On a d’ailleurs, conformément au théorème des nM 3 et l,
cl il y a lien «l'observer que la fonction y(z) se réduit à *«:io en vertu «le l'équation (I).
La combinaison des équations (1), (2), (5) donne, ainsi qu'on le voit aisément, la relation générale
(4) m; /» = />) + /» + ftc. -v- —f—'Y r w
et cette rclolion subsiste alors même que la dérivée de l’ordre » -s- I ,/"+ 1 (x), ne satisfait pas, comme les précédentes, à In condition de continuité.
Soit p un nombre entier compris dans In suite I, 2 . . w ; si dans l'équation (4) on remplace successivement » par p — 1 et par p , la comparaison des résultats obtenus fournit l'équation générale,
et pour p = I, ce qui revient a poser n — 1 dans l’équation (4),
Transportons cett«' valeur dans )Y«|uatinn fondamentale
(7) iÿ = ix . m; f\x).
il vient
(8) . . . ay- ax. [/*(») +
Si l'on compare cette dernière formule à la formule (1) du n° 4
On reconnaît que la fonction inconnue désignée par s se trouve complètement déterminée pour tout intervalle où la fonction et sa
dérivée /'u) deiueuirnt continues. La 'relation très-simple et purement algébrique
complète d’une façon satisfaisante le sens de l'équation (9).
7. Reprenons l’équation (7) du n° 6. Substituons à m, z — x; i\ s ij, f(z) — f(x)\ et à M */■'(*), le développement fourni par l'équation (4); le résultat conduit à l’énoncé suivant :
Théorème. — La fonction quelconque y = f (x) et «es dérivée * successives f '(x), f"(x), .... f“(x), étant continues entre les deux limites x et z, l’on a identiquement
o) • a*) = Ax) +(*—*) /» + (zt . * r\x)
M' ( z — x)nfn+i (r).
Lorsque la dérivée de l’ordre n ■+• 1 est constante, les dérivées suivantes sont toutes milles. On peut alors écrire le dernier ternie de l’équation (I), soit en lui conservant sa forme actuelle
(2) . • • . -,7^7^ M U*-*)nfn+'(*),
soit en lui attribuant celle qui résulte de la loi de formation des termes antérieurs
/ fn+'(x).
Égalons les expressions (2) et (5) dont la forme seule peut-être différente. Obsrrvous que, par hypothèse, la dérixée f* + l(z) est
constante el supprimons k*s facteurs communs. On trouve ainsi,
Supposons la dérivée (x) continûment variable entre les limites i et il s’ensuit qu’il existe une valeur intermédiaire, représentée par x -+- e ( z — x), et satisfaisant à la condition
De là résulte, en premier lieu ,
9 étant une fraction.
Si, dans la même hypothèse, on désigne par A la moindre valeur affectée par la dérivée /'" + 1 (x) dans l'intervalle (s — x), on a, conformément à l’équation (4),
K(z-xyp+' (*)> a.
Il -4- 1
On trouverait de même en désignant par B la plus grande valeur affectée par la dérivée f"+>(x) dans l’intervalle z — x,
La conséquence est qu’il existe pour x une valeur intermé-
* Cette équation peut aussi s'écrire comme il suit :
ax"
ou M* r”
xn
diaire représentée par a- 8(z — x) et satisfaisant a la roiulilion
M: (z - x)" /•"+• (.r) = fH+i [*+*(z- x)].
Dr là donc résullr, en sreond lieu,
fn -rl
8 étant , comme tout à l’heure, une quantité comprise entre 0 et I .
F,n général on exprime le dernier terme de l’équation (1) par le second membre de l'une ou l’autre des égalités (;i) ou (ti). La première de ces trois formes est évidemment préférable, non pas seulement parce qu'elle implique chacune des deux autres, mais surtout parée qu’elle remplit les conditions suivantes :
I* Elle supprime tonte indétermination ;
2° Elle permet qu'on calcule la valeur du dernier terme arec tel degré d’approximation qu'on désire;
ô° Elle ne cesse pas d’exprimer la valeur de ce dernier terme alors même que la dérivée f"+,(x) resse d'être continue dans l'intervalle i. — x.
Supposons qu’une même valeur particulière x = n annule en même temps In fonction i/ et toutes scs dérivées successives, jus— queset y compris celle de l'ordre n. Il est visible qu’en remplaçant d’abord x par a , puis ensuite z par x , les formules (I), (5) , (G), se combinent de manière à fournir les équations suivantes :
u)n fn+l [n m (x — a)], • /•''+‘[« + 9(x-a)].
On observera que le symbole SlJ(l — »)" /’"+l[a »<( x — a )*
exprime la moyenne arithmétique îles valeurs affectées par le produit (I — u)n f-+< [a -+- u (x — a)], lorsque la quantité u varie continûment entre 0 et I, les quantités x et a étant considérées comme constantes.
Différence» des ordre» xupérieitrs. Moyenne» multiple».
