Soit une fonction continue

ax et a y étant deux accroissements quelconques simultanés de la variable x et de la fonction y, on a d’abord

(1) à1J=f(x-*- àx)-f(x).

L’aecroisscinenl ax étant supposé- quelconque mais constant, prenons la différence des deux membres de l’équation (1) et désignons par a1 y celle du premier, c'est-à-dire le changement subi parce membre lorsque, dans le second, on remplace la variable x par x -t- ax. Posons d’ailleurs

x ax *= ».

Il vient

et, conformément aux règles précédentes, a [ Ax •+■ **) — A*)l =‘ ±x [f(x + ax) — f(x)] = ax m; a f(x). On a donc

(2) A*y = ax M* a/"'(x).

Si, d’ailleurs, on écrit

ai/ = ax M’ /'(x).

. On a de même, cil prenant la différence des den\ me mitres.

(3) 4*1/ = ax. aM; /'(s).

La comparaison des équations (2) et (3) donne

et de là résulte le théorème suivant :

La différence de la valeur moyenne d’une fonction est égale à la valeur moyenne de la différence de cette même fonction.

L’équation (3), lorsqu'on y remplace la différence a f(x) parle produit égal \x. M devient

(4) . 4‘ÿ = (a*)'M;. m; réopérons sur l’équation (4) comme nous l’avons fait sur l’équation (i ) et, sans rien changer d’ailleurs, désignons par a’i/Io différence a. a* y. On a directement

A*y =(*,)*. a. M;.ai;n*), et, en égard au théorème formulé ci-dessus, a!!/=(a*)*.m;.m; a f"(x).

Remplaçons ±f'(x) par le produit égal \x . Mi f'"(x); il vient

(3) . . . . A>y = (Ax)».M:.M:.M:r'(4

Convenons de représenter par les notations M, M, etc., les moyennes multiples M . (M).. M . [M . (M)], etc. Il est visible que nous aurons en général

(«) A"y ==( a*)" .Ml /•"(*).

Celte relation très-simple peut s’énoncer comme il suit :

l.a differente tle l'ordre n d'vue fond ion quelconque y*=»f(x) est égale au produit de la puissance n de l'accroissement de la

variable par la moyenne multiple M r»(x).

Lorsque lu dérivée de l’ordre n, /"(.r), est constante, l’on a évidemment

M f"(x) — M / " (x) = etc. = M f" (x) — f"(.r) — cens1' — C. et, par suite,

\ny = C .( Ax)n.

En général la dérivée f’(x) est une quantité variable avec x. Néanmoins, s’il y a continuité, il est aisé de voir que Téquation

(0) est réductible à la forme

£ étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que ax *.

Du développement de la différence a"\ , effectué n priori et par voie d’identité.