Reprenons la formule établie ci-dessus
et, pour éviter toute confusion, représentons par a la valeur assignée à x comme origine de l’intervalle ax. On a identiquement
(2) . . . m: /» - fn(a) + m; [ r - p («)]
les limites entre lesquelles x varie étant ael: = #+ ax.
Ou verra plus loin comment la quantité ç se ilctcrniinr.
De là résulte, pu premier lieu,
(3) . . y y = (â*-) [f («).+ si; (» - a) m; f*+' (*)].
Comparée à l'équation (7) du n°8, l'cquation (3) donne, en général ,
Poursuivons. Onu, eomtnc tout à l’heure,
Il vient donc, en second lieu,
( + si. (x - «) si; (x - fl) si; / •+* (x) j
On trouverait «le même,
(4) 4*y - ( ax)« -v- /'■+* («) Si! (x - «) Si; (x - a)
1 + m ; (« „) m; (x- a) m; (x - «) si; )
et ainsi «le suite indéfiniment.
Reportons-nous à la formule (4) du n° 7. Si l'on y remplace l’exposant » par l’exposant </, et la différence z — x qui varie entre les limites o et z — x par la différence x — a supposée variable entre les limites o elx — a, elle «lonne, en général,
(x — fl)* *
si; (x — «)’ =
* Cette équation ]M-«it s'obtenir directement en procédant comme il suit. Posons
I)e là résulte
et , par conséquent .
m* (x - = MjzM izigl.
l)c lû résulte, par voie de substitutions successives,
Mi (x - a) M' (x — «) = M'
>l« (x — «) M' (x — «) Mi (x — u) —
et ainsi de suite. On peut donc écrire , comme conséquence immédiate de l’extension que l’équation (4) comporte,
, f" (a) f'n+l («) Mi (x — «)
à"y — xx"
rw)' |T“-
etc.
h- f"»-' («) • Mi + R
le reste R étant déterminé pur l'équation
(<i) R = Mi (x - a) K (x - a) K (x - «) . . . Ml (x — u) Al„* f"+> (x).
où le signe Ali et le facteur (x — a) sont tous deux reproduits p fois.
Lorsque la dérivée f"+,{x) varie continûment dans l’intervalle xx, il est aisé de voir, en opérant comme on l’a fuit au n“ 7, que l'on peut écrire
(7) ... . R = /•-'(* + 6xx)Âi;
B étant une quantité comprise entre O et I . .
Cela posé, si l’on remarque que l'on a identiquement
AIÎ (x — «)’ = x»,
et qu’il est permis de remplacer par x la valeur quelconque « prise
pour origine de l'intervalle Sx, il est visible que la formule (’*) revient à
; f’(x) + f“+,{*) M*'* -4- eu-.
^ Z1"-»-'— ar*— • I
/ £■'(* + •*•) j.Ar \
ou mieux encore à
ajt
i f ’{*)■*■ j fn+,x. M* j -t- ete.
A»/y=(Axr ; )
(SX)
/,*+'(ar+«Ax).Mi*'.
les facteurs M0 x , M,i', etc., étant des quantités numériques complètement déterminées.
Considérons en particulier le cas où n est égal à l’unité. Il vient alors *
, (sx)'1 (Ax)1'
sy = sx . f (x) ' f"(x) -f. etc. •+- r— — fr(x)
(.r -t- S Sx) ,
et l’on retrouve ainsi le développement auquel nous étions déjà
* l/êquation générale établir ci-dessus
donne évidemment
ou bien encore
^ J-at
g-hi’
parvenus. En eoni parant le terme désigné ci-dessus par R à celui <|ui lui correspond dans la formule (1) du n° 7, page 22, on est conduit à l’égalité
(10) . a)...K(x ~ «)Bi; />-•(*)
où l’on peut remplacer ff+'{x) par une fonction quelconque tic la variable x *.
Reportons-nous à l’équation (8). Lorsqu’on y fait p— \, on trouve
An lieu de procéder comme on l'a fait plus haut , |Kiur déterminer par voie de substitutions successives, les valeurs des quantités M*(.r - «),
M. (x — a) , M„ (,r — a) , etc. , il est plus simple de poser tout d'abord l’équation (10) et de l'appliquer au cas oii la fonction />+■• (x) se rétluit à une constante. L’équation générale
où la constante (r*- 1 (x) intervient comme facteur dans chacun des deux ineinbres, donne, après suppression de ce facteur,
Mà t.x — < i ) >i: ( r — a) . M* (x — a ) = ' J* * .
< in a d'ailleurs . comme ci-dessus , a
(ttrf P+- 1
On peut donc écrire en général
le binôme (x — a) étant répété p fois dans le premier membre.
On ii d'ailleurs , ainsi qu'on le voit aisément.
et, par suite,
<4-âi
Ax
X H if = t H SX
/ «aX-J-A* *
{*> = *Hx * +■ -
\x = x-\--sx
/ \ ,iI+ Si M I
SX <= X
De là résulte, pour x — 0,
m„Ax
On peut donc écrire, en général,
(12) . . A "y =(ax)" [/■"(*)+ ^ ax/'*+,(x + 0ax)].
10. Proposons-nous de déterminer dircelciucnl les valeurs numeriques des facteurs exprimés par les symboles M„x, M„ x1 ...
M, xr dans l'équation (51) du numéro précédent.
Un a, en général,
(x -v- y I)” 1 -*(x -4- yf ' 1 = (7 -4- I) M* 1 (x -4- y)’, ou, ce qui revient au même,
(I) M! ' ‘ (x -4- yf =— — y [(x -4- y- f- l)’Tl — (x -4-/>)’‘t',j.
De là résulte , pour y — 0 ,
Prenons les valeurs moyennes de eliaeun des membres de l'équutioii (2). Il vient, eu égard à l'équation (I),
JtI , »-p*
Oi»érons sur l'équation (3) eomrne nous venons de le faire sur l'équation (2), et ainsi de suite indéfiniment. Il est aisé de voir que ec procédé conduit à l'équation générale
‘ ^ (x-t-n— 2/+*— etc. ± x'+m j On a donc, en prenant x = U pour limite inférieure,
' + ~lTa ' (W etc. \
llcprésentons par le symbole [""H ] l’expression générale i r j. « , . , n (n — I ) , -i
nous aurons
(n — 2)'+" - eU-.ip n)
et, eu égard à l’équation (3),
Observons que , dans l’hypothèse 7=0, ou a dircclciiHmt pour l'équation (5)
Cela posé, il est visible que l'équation (9) du numéro qui précède, page 30, peut s’écrire comme il suit :
(») /■*(*)-•- [M ^i](^)-H/--+.(J:)+cte.
Si d'ailleurs ou pose
x = cous1' = \x , ec qui donne, en général,
,1’y = (ix)’ . />(*).
On peut écrire aussi
(») • • a"y=[rt]d“v + ["t 1 ]rf"+,y +cic-
le dernier terme H, ou II . (ax)“ étant déterminé par l'équation (fi) du n" !), pour tous les cas où les dérivées d'ordre inférieur à n ■+■ p demeurent continues dans l’intervalle ax, et pouvant s’exprimer de la manière suivante
l*i = P* * (ax)*1 r (x-, sax),
lorsque la dérivée /,+,,(x) ne cesse pas d’être continue dans ce même intervalle.
