APPLICATIONS PARTICULIERES

Des rapports qui s'établissent entre lu fonction et. ses dérivées pour certaines valeurs de lu variable.

1 1. Soit une fonction quelconque,

y=f(xY

On suppose que pour une valeur particulière de la variable x la fonction y jusque-là continue se présente sous la forme symbolique - . Soit x j cette valeur particulière * : cela revient à dire que la fonction y croit sans limite à mesure que la variable x se rapproche de la valeur x,.

Considérons le point qui décrit le segment de droite substitué comme équivalent numérique à la grandeur y. La vitesse de ce point a pour expression générale

cl l'on a eu même temps

ai/ = sx M, / (x).

Cela posé , il est visible à priori que la vitesse y ou , ee qui revient au même, la dérivée / '(x) doit croître indéfiniment à mesure que la variable x converge vers la valeur x3. Quelle que soit en effet la vitesse d'un point, du moment qu’elle est limitée, Je segment décrit par ce point reste aussi limité. Or, par hypothèse, la

' Il est entendu que toute valeur particulière d'une quantité variable est une valeur finie, déterminée et réelle.

grandeur y augmente sans limite à mesure <|ue la variable x se rapproche de la valeur x3; il faut doue ipie la dérivée f(x) croisse indéliiiimenl dans cette mémo eireonstuuee, et par conséquent aussi toutes les dérivées successives.

Veut-on procéder plus rigoureusement? Un peut raisonner comme il suit.

Soit x, une valeur aussi rapprochée qu’on voudra de x3 et telle que de X| à x, la fonction y soit toujours croissante en grandeur absolue; soit en outre x, une valeur intermediaire. En admettant que, pour x — x„ la dérivée f'(x) prit accidentellement la forme 1 , celte forme ne pourrait persister. Il est donc permis de poser immédiatement f'(x,) = II, la valeur II étant numériquement assignable. Or, si grand que soit B, je dis que la dérivée /”(x) doit augmenter encore de x4 à x*. Pour le démontrer, prenons, à partir de x4, l'intervalle ax4 plus petit que Xj — x4. .Nous aurons, en désignant par *yt l'accroissement correspondant de 1a fonction

Supposc-l-on maintenant que la dérivée f (x) u augmente pas de x» à x3? La valeur moyenne M**’ A’’ f (x)élant inférieure à 11, il vient

aj/4 < B . ax4

et, « fortiori ,

*!/* < B . (x3 — xt).

Mais, quel que soit B , si grand qu'on le suppose, celle dernière inégalité est toujours impossible, puisque, par hypothèse, la différence s y, croit indéfiniment à mesure que sxt converge vers 1a limite x3 — x4. On ne peut donc admettre que la dérivée /’(x), lors même qu’elle décroîtrait à partir de x4, ne prenne pas ensuite des valeurs toujours de plus en plus grandes, et cela sans limite assignable. Il faut donc nécessairement que, pour la valeur x = x5, elle affecte la forme symbolique-’

De là résultent les énoncés suivants :

Lorsyue pour une vuleur particulière attribuée à la variable

ht fonction, jusque-là continue, se présente sons In forme il en est île même de toutes ses dérivées successives.

Réciproquement , toute valeur de la variable qui ne rend ]>as infinie la dérivée de l'ordre n, ne rend infinie ni la fonction ni aucune des dérivées précédentes.

Ces énoncés ont, en certains ras, leur utilité.

Des limites qui correspondent aux formes singulières

12. Soient deux fonctions d'une même variable, représentées resperlivrment, l'une par z — f(x), l’autre par u =-F(.r). Considérons d'nbord la fonction composée

et supposons, en premier lien, que pour une même valeur ,r=o , on ait en même temps

Cela posé-, on demande de déterminer la limite vers laquelle converge la fonction y en même temps que la variable x se rapproche indéfiniment de la valeur a.

Reportons-nous aux principes fondamentaux du calcul différentiel. L’un de ces principes, tous établis directement et par \oic géométrique, est énoncé comme il suit : *

Lorsque deux variables convergent en même temps vers zéro, leur rapport converge en même temps vers une certaine limite. Celte limite est le rapport des valeurs que les différentielles des variables considérées affectent respectivement lorsque ces variables s'annulent.

* Voir an Is-soin la deuxième partie de cet ouvrage, n° fl , page 101.

De là résulte immédiatement

lun — — — = li m — = Tf(x) Z Z

On a d'ailleurs, en général,

Il vient donc ici, pour x — a,

lin, FW r(”>

Si la valeur x — a annulait en même temps les deux fonctions F(.r), f(j ) et leurs dérivées premières, on aurail de même

lun — — = lun — — — = -,77— *

et ainsi de suite indéfiniment.

Concluons qu’on a généralement

lim — = — ;

n étant l'ordre de la première des dérivées qui ne s’annule point pour x= a.

Le résultat précédent suppose que la valeur x = a annule en même temps les deux fonctions F(x), f(x) et leurs dérivées successives jusques et y compris celles de l’ordre (n — 1 ). Appliquée à ce eas, l’équation (!<) du 11° 7, page 24, donne en même temps, d’une part

ix — tt)n

«l’autre pari

Il vient donc, en général.

et, pour x — « ,

F(x) F" [a -4- i (x — «)] IX*) ~ f ’[«-*- i'(r-a)]

lô. Supposons en second lieu que, pour une même valeur x — a, on ait en même temps

Si nous posons, en général,

nr)~w

il s'ensuit que, pour x = a, les deux fonctions -r(x), (x) s’an-

nulent et qu’en conséquence on peut écrire

Fx *(x) *'[a -4- »(x — «)]

On a d’ailleurs