FM F

et, conformément à ce qui précède, on en déduirait pour I = o ou, ce qui revient au même, pour x — «

Rien donc ne changerait dans le résultat définitif. Toutefois il convient d’observer que le symbole — exprime, en général, une impossibilité qui peut sc traduire en solution de continuité et faire tomber en défaut les règles du calcul.

I i. Considérons iiiainlcnnnl Ir produit / ( r) . F (r).

Si pour une valeur particulière x = a, ce produit prend la forme o X * , on peut écrire, en général ,

FM

fTv)

Tout re\ienl donc à considérer une expression de la forme ou ~ , et l’on est ramené à l’un des cas traités précédemment.

Soit encore l'exponentielle /’(x)r(,) supposée telle que pourx = a elle se présente sous l’une des trois formes F* , oo 0“ ; on a généralement

log. f(t)Tr = F* log f{x) ,

et, si les logarithmes sont pris dons le système népérien,

j ( r)r M — gr (*t |oi ff) '

F.a question se réduit donc à déterminer vers quelle limite converge le produit F ( x) . log. f (x) dans l'hypothèse où l’on s’est plaeé '.

* On a

Supposons que pour une valeur quelconque déterminée île l'accroissement ax la variable x croisse imtéliniinenl. En général, il n'v a pas lieu de distinguer entre les limites f ( x ) et /*(*>-+- a.r). On peut donc écrire

/"(*) = lim

Posons >.r = I. Il vient

f ( *) = lim [f(x -t- I) — f(x)\

■Ti. Montrons, par quelques npplieu lions particulières, l'usage qu oi» peut faire des règles établies dans les (rois numéros qui précèdent.

Soit d'abord x—o : on trouve pour ce cas

log x

x log x — lim — - — = hm ( — x ) — o.

a: . c' = li ni — = lint e* — x ,

r -» r - log cos mr , .

[cos mx)x=er — lui» 1,

(I *)*«= e' lo,!,+',= jjm

Soit ensuite x= sc . On a de même,

log * I

— : — Inn — = 0,

— = lim nr. logo = x pour « > o,

.. — log *

lim e* — e' — 1,

1 lo» H’) .. Çl »«>£;?•

e* = lim e'* 1 = e ' < 1

Ile lu résulte, pour le cas oii la fonction f (x) croit indéfiniment avec x,

lim ^ = /*( oc.) = lim [/'(J’ I) — /X-r)!

i n„!î«C!fl Ciiil fi. r j- i \

lim f(x)‘ = e ' = Uni e f(*l — lim — •

fies ilcux formules ont été données par M. Cauchy.