I . 2 . . Il

0 étant une quantité comprise entre 0 et I.

Supposons que In valeur al tribut à x comme origine «le l'accroissement h se réduise à zéro. Il vient d’abord x — 0, puis ensuite, en substituant x à h ,

f(.r) = f( O) 4- - f(o) 4- etc.

* I.e dernier ternie, lorsqu'on y remplace la varialile .r par «a valeur initiale augmentée de h», devient

MÜ(t— w)»/>+*(.r4-Au).

( iS )

le dernier terme pouvant être remplacé, comme tout à l'heure, suit par

ou par

(Ox).

On ne perdra pas de vue que dans le facteur représente par z — x sous les signes Jl', la quantité z doit être considé-

rée connue constante et comme ayant 1a valeur exprimée par l'indice supérieur. Si l’on craignait quelque confusion , on pourrait prendre une variable auxiliaire qu'on désignerait par « cl substituer aux formules (1) et (i) les formules suivantes

(ô) /(x + li) = / (*) -+■ jf(x) + etc. + J Y ~f" (*)

-4- Ml (I - u)mp+,(x + M>

(t) . • f (*)=*({») + yf\o) + etc. + — j — -/»

+ j )t Ml (1 - u)T+i (x«),

la quantité ii étant la seule qui varie sous le signe M,',.

Au lieu de limiter ces développements par l'addition du tenue qui les complète, on peut concevoir qu'ils se prolongent à l'iniiui, suivant la loi de formation indiquée. Les séries que l'on obtient de cette manière sont généralement connues sous les noms de série de Taylor ou de série de Muclaurin , selon qu’elles dérivent de l’identité (ô) ou de l'identité (4). Il est permis, en certains cas, de substituer ces séries au développement limité de la fonction. Néanmoins on ne doit jamais perdre de v uc qu'elles n'ont d’autre fondement que celui qui résulte de la possibilité présumée de pro-

( to )

longer toujours, et suivant une loi constante, le développement limité sur lequel elles reposent. Lorsque les termes complémentaires

v)"f"+,(x+ lut),

Mi (1 — it)' /"+l (ru)

convergent \ ers zéro à mesure que n augmente, les séries sont convergentes et elles permettent de calculer avec tel degré d'approximation que l’on veut la valeur des fonctions qu elles servent à développer. Dans le cas contraire, elles sont divergentes. Pour que les séries puissent subsister, il faut que toutes les dérivées prennent des valeurs finies à l’origine de l'accroissement que l’on considère, et qu’en outre la continuité s'étende au delà de celte origine. Ces conditions étant supposées remplies, les séries sont, en général, convergentes pour tout ou partie de l'intervalle considéré.

17. Prenons, pour exemples, les fonctions élémentaires et cherchons à les développer suivant la formule de Taylor ou suivant celle de Maclauriu.

Soit, en premier lieu,

Lorsque l’exposant ut est positif et entier, 1a dérivée de l’ordre in étant constante, le développement est limité et I on a identiquement

(\) ... . (x-4 -II)"

lixm~l -4- etc.

ni (ni — !)..(»< -n+ 1) I .î. ...n

-v- etc. -4- /i~.

C’est la formule du binôme de Newton pour le cas de l’exposant entier cl positif.

Supposons l’exposant m quelconque. On a /'*•*-' (*) = m (m — \) . . (m — n)

Lu se reportant au n" 16, on voit aisément que le dernier terme

des formules (I) ou (3) peut s'écrire indifféremment sous l’une ou l'autre des deux formes suivantes

bu)

r^rA(,

Lx -t- shJ x -+- oA

La première de ces formes montre que pour des valeurs de A positives et moindres que x, le terme complémentaire converge vers zéro à mesure que n croit indéfiniment. La deuxième fait voir (juc celte même condition est remplie pour des valeurs de h négatives *, et moindres que r en grandeur absolue. On peut doue écrire , en général ,

m ni (ni — I ) , „

(l) (x + /»)"'= x'" -4- —hxm+' -t- — ^ -4- etc.

m (tu — I ) . . (»« — n ■+■ 1 ) ,

H- — v •- — A"*"-* -4- etc.

h étant, par hypothèse, moindre que x en grandeur absolue. Si l’inverse avait lieu, A étant supérieur à x, on écrirait

r/,— • -i xilr * -4- etc.

Soit A = I et x une fraction quelconque positive ou négative : on a de même

(«) • (i+xr = i-nT

x 1 -4- etc.

* Lorsque la quantité h est négative le facteur représenté par l'expression , h -Oh

fractionnaire — — -r devient — — •