t- x r r* xf

log = 2 * + etc. •

Si l'on pose ensuite

ce qui donne

on eu déduit

Celte dernière formule est très-convergente pour des valeurs un peu grandes de la variable y. Elle permet ainsi de calculer rapidement les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs, et, de proche en proche, ceux de tous les nombres entiers supérieurs à celui par lequel on a commencé. On sait d’ailleurs que pour passer du logarithme naturel d'un nombre au logarithme de ce même nombre pris dans un système à hase quelconque a, il faut diviser le logarithme naturel du nombre par celui de la base « *.

I!). Soit, eu troisième lieu ,

* L'équation générale a1' = x donne, en prenant les logarithmes naturels des deux membres,

log <£ = &£• log «.

Ou a d'abord puis généralement

( bÜ )

f\x) «= a‘ log (fl), /» = fl-(log«)\

Le terme complémentaire de la formule (4) du n* II», page 45, devenant ici

A- (logo)- u)(1 „ o*.A-^log«)-

il est visible que ce terme converge vers zéro à mesure que n croit indéfiniment. On peut donc écrire, d’après la formule de Macloiirin ,

x log a (r log fl)* (x log af

*■ + —2- - Tix * "*•

Supposons la base quelconque « prise égale à la base e du système Népérien. On « log e = 1 et, par suite,

•• e='+*-TÎ ‘•)Â3 + "C-

Nous étions déjà parvenus à ce résultat au n° 18, de la deuxième partie (page 116). On en déduit

e =. 2 •+■ - — — -t- etc. == 2,71 828 182845'J

20. Considérons, en quatrième lieu, les deux fonctions circulaires sin x, cos x, et posons d’abord

(0 /(*)=-- s in*.

On a

f'[t) = eos x.

Il vient ensuite

f"(x) — — sin x .

De là résulte, en général, pour les dérivées d'ordre impair • / *"+i(x) = ± sin x, cl pour celles d’ordre pair

[*“(. t) = ± COS x.

Les signes -4- et — se succédant alternativement dans un cas comme dans l’autre.

Reportons-nous aux formules (2) ou (4) du n° 16, pages 44 et 45. Le terme complémentaire devient ici

± — — M„ (1 — «)" sin hu ,

ou bien

± — — M„ (1 — m)" cos hu.

Il s’ensuit qu’il est moindre en grandeur absolue que la quantité

Ml (1 «)" =

On voit par là que ce terme converge vers zéro à mesure que « . croit indéfiniment. On peut donc écrire , en général , et sans aucune restriction,

— etc.

On trouverait de même

etc.

Il y a lieu d’observer, relativement aux séries (2) et (3), que, les termes étant alternativement positifs et négatifs , l'erreur commise en s’arrêtant à l’un quelconque d’entre eux est moindre que le suivant. On voit d’ailleurs que , quelle que soit la valeur attribuée

à x, on peut toujours choisir le terme auquel on s'arrête, de manière à obtenir tel degré d'approximation que l’on veut.

21. Considérons, en cinquième et dernier lieu, les fonctions circulaires inverses arc tgx, arc sin x, arc cos x.

Nous pourrions procéder ici comme nous l'avons fait dans les différents cas traités précédemment. Il sera plus simple de suivre une autre inurchc, qu'il* est bon d’ailleurs de connaître et qui sc fpndc sur les considérations suivantes.

On a généralement*

(U /•(*)- /-(o)s=xm;/>) .

et

Cela [*osé, imaginons que la dérixée f (x) soit développable en série convergente, cl que l’on ait en conséquence

(3) f'(x) — u -+- lix ex’ -+- ele.

De là résulte, eu égard aux équations (I ) cl (2),