CX

(4) .... f[x) — f{o) + iu'H — — -t- — -t- etc.

Dans le cas particulier des logarithmes, déjà traité n" 18, on peut poser

/’(*)“= log(l +*)

cl, |>ar suite,

/'(x) — = 1 — x -t- x‘ — x3 -f- etc.

* Partant lie l'equalion générale

f(x + /,)-Ax) = A.MrVV)

l't posant h — — x, on en déduit

Celte série étant convergente pour toute vnleurde x1 moindre que l'unité, on a immédiatement, par application de l’équation (4),

log (I h- x ) =x. M' (1 — x -t- x’ — etc.) — x h — etc.

Passons aux fonctions circulaires inverses arc Ig x, are sinx, arc eos x, et posons d’abord

f(x) = are tg x.

On en déduit

— 1 — x' -t- x* — j-4 -t- etc.

Celte série est convergente pour toute valeur de x* moindre que l’unité. Ou peut donc écrire immédiatement

a rc tg x = x t — - ■■ — — •+■ etc.,

et comme ici la convergence ne cesse pas d'exister pour x = 1, on en déduit cette expression remarquable du rapport de la circonférence nu diamètre • -

- = | h- h etc.

Soit maintenant

f{x) = are sin x.

De. là résulte

et, eu égard à la formule (fi) du n° 17, page 47,

rw - ' - 5 *’ - 57*

II \ ieiit donc aussi

I x* 1 . 5 x* I , lî . 5 ï'

are sin x = x -+- — • — h 1 — h etc.:

ce qui donne pour x = -

etc.,

et pour x = 1

- = I -t — • — h 1- etc.

On trouverait de même

arc cos x = x etc.

Extension générale des formules établies précédemment pour les développements par voie d’identités et par voie de séries.

22. Considérons une fonction de plusieurs variables m = F(x, y, z, etc.). ,

Quel que soit le nombre des variables engagées sous le signe F, elles dépendent ou non les unes des autres. Dans tous les cas, on peut introduire par la pensée une variable auxiliaire, prise pour variuble indépendante, et, afin que toutes les autres en deviennent fonction, concevoir au besoin une ou plusieurs relations arbitraires que l'on ne détermine point aussi longtemps qu’on le juge convenable et dont pourtant il est toujours permis de disposer. Désignons par t la variable auxiliaire prise pour variable indépendante. La fonction « se résout en une fonction de la forme