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et l'on peut lui appliquer les formules établies ci-dessus pour les développements par voie d'identités et par voie de séries.

La marche à suivre restant toujours la même, bornons-nous à prendre pour exemple la fonction

(«) r = F(ar, y),

qui peut être considérée comme représentant une surface.

Si nous posons

il vient

On a d’ailleurs, conformément aux équations (8) et (9) du n" IU, patte 34,

(3) . . a-z = [”]d-^[n^,]d"+'*+ele.

-v- + 'jd'+i-'z -r- ^ (ât)"+'7’"+'’ (* iAl)f

les différentielles (lm z, d"+,z, etc., étant toutes déterminées par les formules établies dans la deuxième partie de eel ouvrage ( n* 3fi , page 1 30 ).

Supposons, pour plus de simplicité, que les relations arbitraires x — » (/), i ( I ) soient de la forme

x = a o- ht , y — b -+- kt ,

et que l’on pose

dt = Afz*1.

Il en résulte

dx = \x = h et pour « > 1 d’x — o, dy = a y = k et pour n > I d* y = o.

Convenons de représenter symboliquement par

(*r que devient le développement de ce binôme, lorsqu’nprès l’avoir effectué d’après la formule (1) du n* 17, page 40, on déplace les exposants de la quantité ilz de manière à les transformer en indices de dérivation. Ce procède donne en général

et l’on peut écrire en conséquence

les substitutions à faire dans les dérivées du dernier terme n’étant pas, comme pour les autres, les valeurs initiales attribuées aux variables x, y, mais Lieu ces mêmes valeurs augmentées de oh pour la première et de ok pour la seconde *. Il suit de la que, si l’on conserve les lettres x et y comme expressions des valeurs à partir des quelles les accroissements h et k sont comptés, on a pour les valeurs x', y' à substituer dans les dérivées du dernier terme

x = x -t- Oh, y' — y -t- 9k.

* a et h étant, par hypothèse, les valeurs res|iectives des variables xet i/à l’origine des accroissements que l’on considère , il s'ensuit qu'elles correspondent à / = 0. On a d'ailleurs 4 / = 1 . l.e dernier terme de la formule (3) prend en conséquence la forme

6 étant la valeur à substituer pour t dans la dérivée dont il s'agit. A celle valeur de I correspondent pour x et pour y les valeurs respectives,

x = a -t- Oh , ij s h -t- 9k

Appliquons In formule (.|) nu cns particulier «les différences du 1" ordre. A cet effet nous ferons d'almrd h — t. Remplaçant ensuite p par n et àz pur F ( x h, y -t- k) — F (x) y), il viendra

('•) . . . F (x -t li, y t- k) — F (x, y) ■+■ li

l<lz\ (dz\

[fis) l dy)

rfyj

-+- etc. -t-

\<li/ I2...(« — \j

On peut d’ailleurs, ainsi qu’il est nisé de le voir, remplacer l'équation (3) par l'identité *

(fi) . . F (x -t- A, y + k) = F(x, y) + li

etc.

les substitutions à faire dans les dérivées placées sous le sfgne Ml étant respectivement x ■+■ lui, y -+- kii. On observera que l’cxis- IcHre des formules (4) , (5), (fi) est subordonnée à la condition que les dérivées partielles qui y figurent en dehors du signe M soient toutes finies et continues à partir des valeurs x, y jusqu'aux limites x -t - A, y -t- A. Pour que ces mêmes formules puissent se transformer çn séries, d'après la loi qui régit In formation des premiers termes, il faut en outre que leur dernier terme converge vers zéro à mesure que l’indice de ce terme est pris de plus en plus grand.

11 est aisé de voir ce que deviennent les formules précédentes, soit lorsque les valeurs x, y sont supposées milles et qu’après les nvpir annulées dans tous les termes qui les contiennent , on rem-

* Il suffit pour cela d'opérer sur l’identité (I) du n° 7, page it, comme nous l'avons fait sur les formules (S) et (0) du n” 10, page ôt.

place par x el y les aceroisseinenls quelconques déterminés h et k, soit plus généralement lorsque le nombre des variables est quclcoiii{ue. Un exemple suflira, celui d’une fonction de trois vnrinbles F (x, y, z) = V. S’agit-il en ec cas de la formule (6)? En désignant pur l l'accroissement attribué à la friable z el donnant aux conventions précédentes l’extension qu’elles comportent, il vient, sous les mêmes conditions et réserves,

F(x -v h, y -i- k, : + /) = F(x, y, z) -4- li — -4- k ^V- ■+- 1 — -+- etc.

^ dx f/y riz