CHAPITRE IV
DE LA CONTINUITÉ CONSIDÉRÉE DANS SES RAPPORTS AVEC LA CONVERGENCE DES SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN
Soit
Dérivation sous le signe M.
une fonction quelconque supposée continue entre les limites que l’on considère. On a, généralement,
(I). . . F(* -4- h, y) — F(x, y) = fcM'+*F;(x, y), .
et, prenant les dérivées des deux membres par rapport à y.
Le lecteur |ioul passer ce chapitre, sauf à y revenir plus tard , s’il a quelque intérêt à approfondir le snjct'qu’ou y traite
D'un autre c<Mé, on a directement et conformément à l'équation (I)
(3). . P,(t -f- h, y) — F;(*, y) = AMr*F" ,(*, y) = AM,'+*F", (*,;/).
F.a comparaison des équations (2) et (3) donne
kV’Xs,y)
= Mrr;>, y) — m.
•On aurait de même, en prenant de nouveau le-s dérivées par rapporta y des deux membres de l’équation (i)
(,m:+hK(x,y)\
dy
dy
\ dy*
et ainsi de suite indéfiniment.
On peut donc écrire, en général.
f(x,y) étant pris égal à la fonction désignée ci-dessus par F' [x, y). De là résulte la règle, suivante :
Pour effectuer n dérivations successives sur lu valeur moyenne d'une fonction, il suffit de substituer ù la fonction placée sous lo siyue M sa dérivée de l'ordre n.
Cette règle est d’un fréquent usage. On peut l'établir ù priori , comme nous l’avons fait ailleurs *, en substituant aux valeurs moyennes que fou considère les développements dont elles sont les limites d’après leur définition.
• Journal rte mathématiques pures et appliquées, tome XI , 184(1.
Conditions remplies pur les séries de Taylor el de Mucluurin lorsqu'elles sont convergentes.
2t. Considérons nue fonction quelconque
Au lieu de s'en tenir au système des valeurs réelles que la variable x comporte, on peut attribuer à cette variable une valeur quelconque, réelle ou imaginaire, représentée par
Dans cette expression de la variable imaginaire, p et g sont des quantités réelles dont on dispose, si la variable est indépendante, et qui, dans tous les cas, sont considérées comme impliquant la continuité ou la discontinuité de la variable qu elles déterminent, scion qu’elles demeurent toutes deux continues ou quYllcs cessent de l’être, soit ensemble, soit séparément.
Posons
(3) . . . . p -+- g V' — I = r(cos 9 -*-|/ — I sin 9).
On déduit de celte équation
(t) cens 9= p, r sin 9 = g,
et, par suite,
Uing 0 = — *
Quelles que soient les valeurs réelles p et g, il est visible qu’on peut toujours satisfaire à l'équation (3) en attribuant h r et à 6 d'autres valeurs également réelles, les valeurs fournies par les équations (l) et (3). On voit en même temps que la continuité des
quantités p, q implique celle des quantités r, 6; et réciproque* ment.
La quantité r, supposée toujours positive, est dite le tnotlule de l'expression imaginaire p 4- q V — I . L'angle 5 est dit l'argument de cette même expression. Ou n d'ailleurs ‘ .
((») . . . x = r (cos fi 4- i . sin fi) == re®^-1 .
Prenons x pour variable indépendante imaginaire. Remplit çons-la dans f(h-*-x) par re’>^~', et, mettant en évidence les partira réelles et les j^rties imaginaires, effectuons leur séparation dans l'équation symbolique
(7) . , . . f{h + re9l/rT) = t (r, fi) 4- V~\ i (r, »).
Concevons en outre que l'argument 9 varie continûment de 0 à
Cela posé, si les fonctions y(r, 9), o) restent linics^et léelles et qu’elles ne cluingent point brusquement de détermination numérique pour toutes valeurs du module comprises entre deux limites quelconques déterminées, la fonction f(h 4-x) est et demeure continue entre ces mêmes limites. Dans le cas contraire, il y n discontinuité sinon pour les, valeurs réelles, du moins pour les valeurs imaginaires.
La séparation effectuée dans Icquation (7) peut offrir quelque difficulté. Néanmoins elle est toujours possible. S’agit-il seulement des fondions développables en séries convergentes suivant les .formules de Taylor ou de Moolaurin? Rien de plus simple que de constater ô priori la possibilité de la séparation. En effet on a , par hypothèse **,
(X) . . . . /’( li + 1) - a + lix rxi etc.
Voir uii besoin le chapitre VI, n° 53 et suivants, pour la théorie des quantités imaginaires et le sens qui s'attache à leur emploi.
Si le développement effectué eu série d’après la formule de Taylor se présente d'altord sous la forme
ftf4-*) = f t-r) 4- y f (X) 4- ~ f"(. l) 4- etc.,
De là résulte
f(h ■+■ rc9*/~‘) — a l>re 1 -+- crV6 ■+• etc., e'est-à-dire en remplaçant e"® 1 par cos ni ■+- V — 1 sin n%
f ^ ( a -4- br cos 8 -4- cr* cos 20 etc.
f(h+-)a . /' | 1/ — | (6r sin 5 + er* sin 20 -t- etc.
Il vient doue
(9) . . . -r(/-, 0) = a 4- fcr eos 0 ■+- rr* eus 20 -4- etc,
(10) . . . i>[r, 0) = br sin 0 -t- rr* sin 20 +- etc.
Prenons dans la série (8) un terme «usez éloigné du premier pour qu'il de* ienne aussi petit qu'on veut, et qu'en outre les termes •suivants soient tous de plus en plus petits à mesure qu'ils s’éloignent davantage. Deux cas sont possibles selon que ecs termes ont un seul et même signe, ou qu'au contraire, leurs sigucs ne cessent pas d alterner suivant une loi quelconque.
Dans le premier cas, il est visible que la convergence de la série (H) implique celle des séries (U) et (10) et pur conséquent la continuité des fonctions y(r, 0), 4>(r, 0) pour toute l’étendue de l’intervalle précédemment indiqué.
Dans le second cas, la même conséquence subsiste, à cela prè> que la continuité peut s'étendre, d’un coté, jusquà une certaine limite supérieure, tandis que de (.autre côté, celte même limite devrait être exclue. Soit en effet x — xt la plus grande des valeurs pour lesquelles la série (8) ne cesse pas d'être convergente. Représentons pur px'i le terme désigné ci-dessus comme satisfaisant à la double condition d’être aussi petit qu’on veut et de n’avoir après lui que des termes supposés de plus en plus petits à mesure
il suffit d’y remplacer A par x et x par A |>our lui donner celle autre forme, f (A -v- j) = /'(A) -4- y f\li) -4- ~ f"(h) -+- etc.
qu’ils s'éloignent davantage. Si nous remplaçons la variable x par px,, p étant une fraction, et que nous prenions positivement tous les tenues compris dans.la suite infinie
p. r" -4- (fx*+{ 4- etc. , il est clair que nous pontons écrire
p(px,)u + (/(px,)’*1 -t- etc. < px*,[p" p’"1'1 -h etc.] < — 1 px".
Or, si rapprochée do I que soit 1a fraction n, on peut toujours prendre I* nombre n assez grand pour rendre la quantité px r uussi petite qu'on veut. 11 s'ensuit que si l’une ou l'autre des séries (îl) et (10) cessait d'être convergente pour x = x, (les termes n’v changeant pas de signe comme dans la série (8)), il suRirait, pour rétablir la ■convergence, d’attribuer à r une valeur quelconque px, moindre que jr, *.
Concluons que dans toute fonction développable eu série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable la continuité subsiste nécessairement à partir de r = o pour toute valeur inférieure à une certaine limite R.
2a. Indépendamment de lu continuité qui subsiste pour chacune des deux fonctions r(r, 0), (r, 6) , il y a lieu d’observer que
ces mêmes fonctions remplissent en outre certaines conditions particulières plus ou moins remarquables. ta principale consiste
Voici un exemple de ce cas. On a, comme nous l'avons vu au n» 1 K, page ’W,
* jj* j*J
/■(x)=r log (l-t-ac) = x — z- 4- — - - etc.;
et celle série ne cesse pas d’èlre convergente pour X — I Si l’on pose $ — r dans la série (9), correspondante au cas dont il s'agit, il vient
f (r, •) = — r-j- — — etc. — log(l— r).
et celle série, qui devient divergente pemr r— I, reste convergente pour toute valeur de r inferieure à l'unité.
( Ci )
cil ce qu’elles reprennent mêmes valeurs uiix deux limites 9 = o, 6 — 2k. 11 est visible en effet que l'un a toujours et nécessairement
Voilà donc une condition nouvelle, tout à fait distincte de la première et résultant comme elle de ce que la fonction donnée f\h -i- x) est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable x. Celte condition en implique une autre qu’il convient d'indiquer, non pas seulement parce qu'elle est curieuse, mais surtout à raison du jour qu’elle jette sur les déductions ultérieures. *
Imaginons qu’on prenne pour facteur l’expression imaginaire
(1) . . . e~ cos «6 — V' — ï sin «fl, *
cl qu’on multiplie par ce facteur les deux membres de l'équation
il vient
(3) f{h -+■ >es*/l) = ?(r, fl) cos «e p (/•, fl) sin «fl
— V — 1 [>(»’, 9) sin ni — p (r, fl) eos «#].
Ou a d’ailleurs, comme au n"24,
? (*', 0) = a -h br cos 0 ■+■ cr cos 20 -i- etc., p (r, fl) = Itr sin S -i- rr* siu 2fl •+■ etc.
De là résulte, en substituant ces valeurs dans l'équation (3) et en réduisant
« cos ni br eos (« — 1)9 __ [ e r* eos (« — 2)fl -4- etc.,
(•>) e' 1 f(li + re‘ ^ ~ ') = } -i /»•“ -r- 71" + ' cos fl -1- etc.,
f / «siii»fl4-àrsin(«— 1)9
— V — 1 j + ci3 si 1 1 (« — 2)fl -f- etc., „ ( -+- 0 — tjr**1 sin fl — etc.
Cela («osé, si l'on observe que, pour loutc valeur entière du nom lue m , l'on a généralement et évidemment
(6) . . M‘ cos mx = o, M„ sin mx — o;
il s’ensuit que la convergence des séries qui figurent dans le second membre de l'équation (b), implique comme conséquence nécessaire le résultat suivant :
(7) . M!V’8^Y(A + re®^)==MÎV>',,==/'- reprenons, de part et d’autre, dans chacun des membres de
l’équation (7), la dérivée de l’ordre n par rapport à r. En vertu de la règle du n° 23, page 39, il faut, pour le premier membre, substituer à la fonction /[li la dérivée de l’ordre »,
g.op f "(h -t-re8^"1). La dérivée du second membre est d’ailleurs 1 . 2... h .p. Il vient donc
(8) . . . m! r /'* (A +• ce® V-* ) = 1 . 2 . . . « . p.
I/équalion (8), où le second membre est indépendant de r, montre que le premier n’en peut pas dépendre, il est donc permis de poser r = o et d’écrire , en conséquence ,
De là résulte, eu prenant successivement pour n les valeurs 1, 2, 3, etc.,
f[h)+Tm
/"(/i) 4- etc.
On voit ainsi comment la formule de Taylor peut sctublir à priori par la considération des imaginaires, les cocflicicnts qui se succèdent dans la série convergente
f(x 4- h) = «+ bx 4- ex * *4- dxs 4- etc.,
ne pouvant avoir d’autres valeurs que celles qui leur sont assignées par la loi de formation qui les régit dans cette même formule.
( 6ti )
En restreignant au plus petit nombre possible les conditions qu’une fonction doit remplir pour être développable en série convergente suivant la formule de Taylor ou suivant celle de Maclaurin, nous voyons, d'après ce qui précède, qu’il en faut au moins deux.
La première consiste en ce que la continuité doit subsister d partir de r = o , pour toute valeur du module inférieure d une certaine limite R.
La seconde exige que, dans cet intervalle, chacune des fonctions ÿ(r, fl), t//(r,0) prenne pour 6 = 2n même valeur que pour S — 0.
Ces conditions nécessaires étant supposées remplies, nous allons démontrer qu’elles sont suffisantes.
Conditions à remplir pour qu'une fonction soit développable en série convergente suivant un des types réductibles aux formules de Taylor et de Maclaurin.
2(i. Théorème. — Toute fonction est développable en série convergente suivant la formule de Taylor ou de Maclaurin, tant que le module de lu variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre mêmes valeurs aux deux limites 0=0, 0=2ir *.
Soit une fonction continue 0) y = /-(A -*-*).•
Remplaçant x par re ^ ou peut écrire
* O théorème intportaut a été donné , pour la première lois , |>ar M. Cauchy, sous une Tonne qui laissait prise à quelque iucerlitude. .Nous avons cru devoir en modifier l'énoncé |>our lui restituer toute la rigueur et toute la généralité qu'il comporte. (Voir le Journal de mathématiques pures et appliquées, tome XI, 1840, et Ionie XII, 1847.) M. Maximilien Marie a rencontré cette même question dans sa Nouvelle théorie des fonctions de variables imaginaires. Il rectifie ce que leséuouces antérieurs avaient de vicieux ef s'accorde avec M. Tcheliiclicir et moi sur le point principal. (Voir le Journal déjà cité , deuxième série, 1" tome V (1860), n" 97 et 98 ; 3» tome VI (1861). Note finale).
(2) . . . f{h re0^') = p y }/— 1.
Considérons le produit
e-.9|/rr + re9V'“)î
équivalent à
(P -h Q V — 1) (cos «fl — V' — \ sin n s),
cl dans lequel n est un nombre entier positif.
La dérivée de ce produit, prise par rapport à l’argument fl, est
V~\ [re ' (-'»8 ^./'(A^re9^) — . f(h + ré^ j.
Supposons que chacune des fonctions réelles P et Q prenne mêmes valeurs respectives aux deuxliroitcsfl — 0, fl = 2ir et quelle ne cesse pas d’être continûment variable entre ces mêmes limites.
Il s’ensuit que le produit e~"®l •+• re 6V~') remplit ces mêmes conditions, et que l’égalité subsistant entre la différence
e~ur^~* . f (h -+- reiT^'~‘) — f\h + r) = o et l’expression
v> . r \re-<'-'»V-'.r(h + re»V-*) )
V \ ne-9 l^î. f(h + re^) j
implique, comme conséquence, l'équation suivante :
(3) r M!* e-(- "9^-7. f(h + re8^"7) = n Ml* tr*9*'-' f[h -f- re8^~). Posons, pour simplifier,
(t) . . . F(r) = M \T <rn9V~ .f{h-*-rt9V~').
Il en résulte, conformément à la règle üu n" 25, page Î>‘J,
(5) . . . F'(r) = M0,V(-',9l'r7. f'(h + re'V^),
et, substituantdansl’équation (5) les valeurs fournies par les équations (4) et (5),
(«) rF'(r) — «F (r).
Opérons sur l’équation (ü) et sur celles qui s’en déduisent, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à r. On trouve ainsi
! rF" r = (« — 1) F'(r)> î rF’" (r) = (u — 2) F”(r),
j rF*- 1 (r) = 2 . F* ~ * (r) ,
et , en dernier lieu,
Fi* *fr* I / »
L’équation (8) n’étant possible qu’autant que la dérivée de l’ordre «, F*(r), est une quantité constante , on a nécessairement
(9) F* (r) — cons1*.
Si , d’ailleurs , on multiplie membre à membre les équations (6) cl (7), il vient
(10) . . . . r F*(r) = 4 . 2 . . . « . F (r), et, eu égard à l’équation (9),
C étant une constante.
Substituons dans l’équation (4) la valeur fournie par I équation (I I). On a, comme conséquence des déductions qui précèdent,
(12) . . C r" = M*r f(h re61*^).
Cela pose, imaginons que le module r puisse varier depuis o jusqu’à une certaine limite R sans que les fonctions P et Q cessent de remplir les conditions précédemment indiquées. En ce cas, la constante C conserve, pour tout cet intervalle, une seule et même valeur; il vient donc, en prenant la dérivée de l’ordre » par rapport à r,
\ . 2 . . . » . C — p (h 4- rc9^).
Le premier membre de cette équation étant indépendant de r, il s’ensuit que le second n’en dépend pas non plus, et qu’on peut V poser »•= o, sans en changer la valeur. De là résulte
Celte valeur transportée dans l’équation (12) donne, en remplaçant r par R,
(ir>) . — ^ L = -L m*t e-« V~ . fU -4- Rc4^").
Considérons la série
+- etc. -t- x”
etc.
et désignons par P', Q' les valeurs maxima affectées parles fonctions P et Q, lorsqu'on y remplace r par R et qu’on fait varier !'nrgumenl 8 depuis o jusqu’à 2 r. On a évidemment*,
(18) M \* . Re^/r'HMÎT(P*-osn04-Qsin»8)<P'4-Q'.
* L'équation (15) exige que la partie imaginaire du produit ,.9|/rr /•(A t- 1'-|)=:(P + qP- 1)(cos ii 8 — V —1. sin n»)
s’évanouisse dans la moyenne
m!t t~ 4- Re9 t/rTj.
Il en résulte que la partie réelle représentée généralement par le binôme P cos «8 4- Q sin ni est la seule que l’on ail ii considérer dans la formation de celle même moyenne.
Remarquons en outre que, par hypothèse, les quantités P' et Q' sont nécessairement finies.
En vertu de l'équation (13) et de l’inégalité (13), la série (14) est nécessairement convergente pour toute valeur de la variable x inférieure à R. La conséquence évidente est qu’on peut écrire, suivaut la formule de Taylor,
(16) . f(h -4- x) = f(h) 4- ^ f\h) -4- — f"(h) -4- etc.
Si d'ailleurs on pose
ce qui donne en général
il est visible qu’il y a identité entre la formule (16) et eette autre formule dite de Maclaurin
F(x)=F(o)-t — F’(o)-v- — F”(o) etc. -4- — — F"(o) -4- etc.
Résumant ce qui précède, nous sommes en droit de conclure que les deux conditions énoncées h la fin du rt” 23, page 66, et reconnues nécessaires pour la possibilité du développement, sont en même temps suffisantes. De là résulte le théorème qu’il s’agissait de démontrer, et qu’on peut compléter comme il suit :
Toute fonction est déveloj)pable en série convergente , suivant lu formule de Taylor tfude Maclaurin , tant que le module de la variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction cesse d’être continue ou de prendre même valeur aux deux limites 4 — 0 , 0 = 2*-. Lorsqu’on dépasse la plus petite de ces valeurs, la série devient divergente ’.
* Il est bien entendu que la fonction considérée est censée n'admettre ]>our chaque valeur de la variable qu’une valeur unique, correspondante il une branche distincte et isolée. C'est relie valeurqui, par hypothèse, concourt exclusivement à la formation de Ions les coefficients de la série.
27. Los résultats qui précèdent comportent une extension qu’il convient d’indiquer.
1" Cas. — Lu condition relative aux deux limites o = 0,8 = 2» étant supposée remplie, il peut arriver que la continuité cesse lorsque le module s'annule. En ce cas, si l’on prend au lieu de la fonction le produit de cette fonction par une certaine puissance de la variable et que l’on pose, par exemple,
la première condition ne cessera pas d’être remplie. On voit en outre que la fonction F(x) sera continue en même temps que / (x -a- A) et pourra l’être encore pour r=o. Il viendra donc , en admettant que l’exposant n soit convenablement déterminé,
x-f(h + x) = F(o) + j F'(o) + — F"(o) -a- etc., et l’on peut en déduire
f(x -a- A) = x"F(o) ■+■ — j — F'(o) -e* ■ — — — F"(o) -a- etc.
2'”' Cas. — Les fonctions P et Q ne prenant pas mêmes valeurs respectives aux deux limites 8 = o, 8 = 2», cette condition peut avoir lieu aux deux limites 8 = o , 8 =. 2m». En ce cas, tous les calculs, tous les raisonnements qui précèdent demeurent applicables, pourvu que l’on remplace 2» par 2m», et l’équation (8) du n° 24, page 61 , par l’équation suivante :
(I). . . . f(h +■ x) = a -a- 6x™ -a- ex™ -a- etc.
Posons
et
Il vient
F(m) = n -t- Am 4- "Cm* -a- etc.
Par hypothèse , la série a bu ■+• eu* etc. , est convergente à partir de u = o. On a donc, conformement à ce qui précédé,
a = F(o), b = F'(q), c = F''(o), etc.
De là résulte
/(/» •+• x) — F(u) = F(o) + x"F'(o) - — — F"(o) -+- etc.
ô""- Cas. — En admettant les mêmes choses qu’au cas précédent, supposons en outre que pour établir la continuité a partir
de o, il faille multiplier f(x +• h) par a*. Si l’on pose, comme tout à l’heure,
x = um et
.-rf(h + .r) — X(u) ,
il viendra d’abord,
etc.
et, par suite,
f(h -t- x) = x-75. X(o) -v- — X» + -X» ■¥■ etc.
Le théorème du n* 2f> se trouvant ainsi généralisé , nous dirons maintenant :
Toute fonction est développable en série convergente suivant un des types réductibles aux formulesde Taylor ou de Maclaurin, tant que le module tle lu variable reste moindre que la plus petite des râleurs pour laquelle le produit de la fonction, par une certaine puissance de la variable, cesse d'être continu ou de prendre même valeur aux deux limites 6- — o, 9 — 2m-.
Ajoutons que le nombre ni se détermine par In condition des limites et In puissance ^ de la variable par In eondition de continuité à l'origine de» valeurs du module.
28. Les considérations développées ci-dessus s'appliquent de la même manière ou développement des fonctions en séries convergentes ordonnées suivant les puissances descendantes de la variable. Bornons-nous au cas le plus simple, celui où la fonction donnée f(h -h x) reste continue et satisfait en outre à In condition des limites pour toute vnleur du module supérieure a une certaine quantité R.
Si l'on pose
et
f(h -4- x) = flh ■+■ -= F(u),
de même qu’en remplaçant x par re9*’'-1, l’on n,' par hypothèse, f{h + x) = f(h réV=i) = p + Q V~\\
de même, en remplaçant u par r'e9^/~r= i vient néces-
sairement (le signe du radical étant seul changé)
La conséquence est que, pour toute valeur du module r' inférieure i) la fonction F («) reste continue et prend même valeur aux deux limites « = o, 9 = 2t. Il suit delà qu’on peut écrire immédiatement
F (u) = F(o) — F'(o) -4- F"(o) -4- etc.
et, par suite,
f(h -4- x) — F(o) -4 F'(o) -4- F" (o) -4- etc.
29. Terminons ce sujet |>nr une application particulière, et proposons-nous, pour exemple, de rcclierclier dans quels ras la fonction (l -+- a-)" peut être développée en série .convergente suivant les formules de Taylor et Maclaurin \
En remplaçant la variable x par re9* l’on a
(1 -+- x)m = [{-+- = [I -v- r cos 8 -v- V/~— I .»■ sin 8]™.
Faisons
(1). . . 1 -»- r cos 8 = p eos a, r sin 8 = p sin a;
il vient
(2) (l-t-.r)’”— o'"[cosa4-l/ — 1sin«]"’ = p™(eosm* 4V — I sin nia).
et l'on a en môme temps
(3). . p = V I 4- r* 4- 2r cos 8,
tg* =
r sm 8 1 4- r cos 8
De là résulte
r sin 8
». = are tg — ■ >
1 4- r eos 8
et, par suite,
La moindre valeur du trinôme 1 4- r*4- 2r eos 8 est évidemment celle qui correspond à 8 ==r, c’est-à-dire ( 1 — r)'. Elle n’est jamais . inférieure à zéro.
r(r 4- eos 8)
I 4- r* 4- 2r eos 8
* La distinction élaMie entre ces deux formules est plus apparente que réelle. Le développement 1 4- mx 4- W^1 1 x* 4- etc., pouvant être con-
sidéré comme elfe tué suivant la formule «le Taylor ou suivant la formule de Maclaurin , selon que l’on représente par f(\ 4-a1) ou par Kljrtla fonction donnée (t +x)u\
Cela pose5, soit d’abord
La simple inspection des équations (4) et (5) met en évidence les résultats suivants :
L’angle 9 croissant à partir de zéro jusqu'à 2ir, désignons par 9' et 9" les valeurs de cet angle comprises, l’une dans le deuxième quadrant, l’autre dans le troisième, et déterminées toutes deux par l’équation de condition
cos 9 — — r.
L’angle a. supposé nul pour 9 = p croit jusqu à la valeur are tg r comprise dans le premier quadrant et correspondante à 9= 9'. 11 décroît ensuite et s'annule pour 9= 7t. De 9 — jt a 9=2r l’angle a prend négativement les valeurs qu’il a prises positivement de 9 = o à 9 =■ r. Il décroît ainsi jusqu’à la valeur arc tg p7j==p comprise entre o et — % et correspondante a 9 = 9". 11 croît ensuite jusqu’à s’annuler de nouveau pour 9 = 2*-.
Il suit de là, conformément aux e'iquations (2) et (3), que, quel que soit l’exposant m entier ou fractionnaire, positif ou négatif, la fonction (I +■ a)" ne cesse pas d’étre continue et de prendre même valeur aux deux limites 9 — o, 9 = 2*:. Elle est donc développable en série convergente d’après la formule de Taylor ou de Marlanrin, pour toute valeur de x inférieure à l’unité.
Soit maintenant
En procédant, comme tout à l’heure, on reconnaît d’abord que l’angle a ne cesse pas de croître avec l’angle 9. On voit ensuite qu'il passe en même temps que 9 par les valeurs o, n, 2tt. Il suit de là que la continuité subsiste en général, mais que la condition des limites cesse d’être remplie pour toute valeur fractionnaire de l’exposant ni. La conséquence est que la série devient divergente, lorsque, l’exposant m étant fractionnaire, on attribue à x une valeur plus grande que l'unité.
Soit, en dernier lieu,
L'équation (h) se reluisant à
â% — — <fa.
on voit que l'angle a eroil avee 8 et moi lit5 moins vite. De là résulte généralement
On a d’ailleurs
sin 8 = o sin *.
On voit done aussi que la quantité e ehnnge de signe en passant par zéro pour 8- — r. Positive d'abord, elle devient ensuite et reste négative.
En s’annulant pttur 8 — - la quantité p interrompt la continuité toutes les fois que l'exposant m est négatif. Elle la laisse subsister dans le cas contraire. On voit en outre que la condition des limites ne cesse pas d'étrc remplie pour toute valeur entière et positive de l'exposant m, les deux facteurs pm et cos ma prenant tous deux même signe et conservant chacun même valeur absolue aux deux limites a = o, a = r. il suit de là que c’est exclusivement dans le cas où l'exposant m est entier et positif que la série subsiste pour des valeurs de la variable plus grandes que l’unitc. Cecas est aussi le seul où la variable r peut, en croissant à partir de zéro, franchir la valeur I sans solution de continuité. Lorsque l’exposant m est négatif, la fonction (I -t- a:)" prend In forme J pour r = 1 et i = r. Lorsqu'il est fractionnaire et qu’on passe, pour 8 = 2rr, d’une valeur de la variable r, moindre que l’unité, à «me valeur plus grande que l’unité , les valeurs correspondantes de la fonction (I x)”' sont respectivement (t r)“ et (I ■+■ r)m [cos 2w; r -+- V' — I sin 2 m r ] *. On voit donc qu’elles subissent nécessairement un changement brusque de détermination.
* Ne |>as perdre de vue que, par hypothèse, m est rractionuaire et qu’en général , les valeurs de l'angle a qui correspondent à 8 =r 2t sont respectivement o ou 2t, selon que le module r est plus |ielit ou plus grand que l'unité.
