THÉORIE GÉNÉRALE UES MAXIMA ET MI.MMA

50. Nous avons déjà vu ce qu'on entend par valeur muximu ou minimu d’une quantité continûment \ ariable. La valeur maximu se distingue et se caractérise en ce qu’elle es* plus grande que celles qui la précèdent et la suivent immédiatement. L’inverse a lieu pour lu valeur mi ni mu : ce qui lu distingue et la caractérise, c'est qu’elle est plus petite que celles qui s’y rattachent, de part et d’autre, par voie de succession continue. A la quantité qui varie substituons, par la pensée, le segment de droite qui la représente comme équivalent numérique. Pour que ce segment prenne une valeur muximu ou minima, il faut que la vitesse du point qui le décrit change de sens, devenant négative de positive qu’elle était ou cessant d’étre négative pour devenir positive. La conséquence évidente est que les valeurs muximu ou minimu d’une fonction correspondent aux changements de signes de la fonction dérivée, les uns impliquant les autres et réciproquement.

Eu général, la continuité subsiste cl si la dérivée change de signe c'est en passant par zéro. Ce sera donc, le plus souvent, en égalant à zéro la fonction dérivée qu’on déterminera les valeurs de la variable qui rendent muximu ou minima la fonction primitive. Déjà nous avons traité celte question en procédant <i priori et d'une manière directe. Résolvous-la de nouveau en nous appuyant sur la formule I du n“ 7, page 22.

Soit une fonction quelconque

ou suppose que, pour uuc valeur a de la variable x, une ou plusieurs des dérivées successives f'(x), f"{x), etc., s’annu-

lent en même temps, la première de celles qui ne s’annulent pas étant la dérivée de l'ordre n , f“{x).

Désignons par h une quantité quelconque prise positivement et aussi petite qu’on veut.

Si dans la formule (1) des numéros 7 ou 10, pages 22 et H, on remplace n par n — 1 , x par a, et qu’on ait égard à l’égalité

— x)~ir\x) = /i “ ~ 1 >1 1 (I — ■+■ uh),

ou a , en général , l'identité

et, par suite,

Cela posé, voici les conséquences pour toute valeur «le h infét Heure à une certaine limite :

1” La quantité /"(a) donne son signe à chacune des deux fonctions

Ml (F — *)—/■(« -t- nk), Ail (! — ti)*“,/’*(u — uh).

2" Les difTércnees f(a •«- /*) — /'(«), /'(« — h) — f(a) sont toutes deux de même signe ou de signe contraire, selon que l’indiee n est pair ou impair.

3* Pour que la valeur a de la variable x rende maxima ou minima la valeur correspondante /(«), il faut qu’elle annule 18 dérivée première f(x), et, si elle annule en même temps la dérivée seconde f"(x ), il faut que la première des dérivées successives qu’elle n'aunulc |>oiut soit d ordre pair.

4° Eli admettant que la valeur a de lu variable x annule la dérivée f'(x) et que la première des dérivées suivantes qu’elle n'annule point soit d'ordre pair, la valeur f\a) est mas > ma ou minium selon (|uc celte dérivée d'ordre pair est négative ou positive pour x—a.

Coueluons que la marche à suivre , pour déterminer les valeurs minimu ou maximu d’une fonction quelconque

consiste, en général, à résoudre l'équation

et, si celte équation admet des racines réelles, à s’assurer, pour chacune, que la première des dérivées successives quelle n 'annule point est de rang pair. La substitution se fait d’abord dans la dérivée seconde f"(x), puis, s’il y a lieu, dans les dérivées suivantes , .jusqu'à celle qui ne s’annule point. D’après l'ordre et le signe de cette dernière dérivée, on juge s’il y a ou non muximum ou minimum, et lequel des deux, le tout conformément aux indications précédentes.

51. Lorsqu'il s’agit d’appliquer la théorie qui précède, il est souvent plus simple de s'en tenir exclusivement à lu considération de la dérivée première et de rechercher, en opérant sur elle, si elle change ou non de signe en passant par zéro. Cela revient à considérer la formule générale

(I). . . . f{a±h) — /•(«) = ± AM! f(a ± uh).

On voit par celle formule, ainsi que nous lavons montré d’abord par un simple raisonnement, que la condition du maximum et du minimum se rédtlit à ce que la dérivée change de

signe en passant par la valeur /'(«). Il y a maximum ou minimum, selon que ee changement a lieu du positif au négatif, ou inversement.

L’emploi de la formule (I) ou, ce qui revient au même, la recherche des valeurs de la variable auxquelles correspondent des changements de signe de la fonction dérivée présente l'avantage d’èlrc applicable à tous les cas possibles. En général, avons- nous dit, la continuité subsiste, et si la dérivée change de signe, r’est en passant par zéro. 11 est des cas, cependant, où la fonction reste continue sans qu’il en soit de même de sa dérivée, celle-ci pouvant changer de signe en passant par la forme £ ou même sans passer par celte forme et sans s’annuler.

Eu posant et résolvant l’équation

on détermine les valeurs de fa variable auxquelles correspondent les changements «le signe que la dérivée peut subir en passant par la forme £. Il suffit ensuite de recourir à l’équation fl) pour reconnaître si ce passage est ou non accompagné d’un changement de signe, et, par conséquent, s’il y a ou non maximum ou minimum dans la valeur correspondante de la fonction donnée.

la» détermination des valeurs que la variable ne peut franchir sans que la fonction dérivée change de signe semble se compliquer et devenir très-difficile, lorsque le changement de signe ne corrcspond pas nu passage par zéro ou par l'infini. En général , les difficultés ne sont point considérables cl, presque toujours, il suffit d’une étude attentive sur la dérivée pour résoudre complètement la question des valeurs maximu et mini ma de 1a fonction que l’on considère.

32. La fonction dont on cherche les valeurs maxima ou m iuima peut être implicite et déterminée par plusieurs équations simultanées. Kieu n’est changé po\ir cela dans les règles à suivre :

( ai )

le calcul seul devient plus compliqué. Soit, pour exemple, uue fonction z déterminée par les deux équations

On en déduit

dF d F dy dF

dx dy dx dz

df <lf dy df

dx dydx dz

Posous

cl éliminons • U vient

dF df~ dF (lf

dx dy dy dx

La combinaison des équations (1) et (4) détermine les valeurs cherchées pour x, y, z. Le reste s’achève , soit en différenciant les équations (2) et (3) de manière à obtenir la valeur de la dérivée seconde soit en déduisant de ces mêmes équations la valeur

générale de la dérivée première^. Dons un cas comme dans l’autre on applique les principes exposés ci-dessus et l’on reconnaît s’il y a maximum ou minimum.

Soit encore, pour exemple, une fonction u déterminée par les trois équations

En opérant comme tout à l’heure et posant — == 0, on a

(l’abord

rfF

djt

rfF

dx **"

11 reste ensuite à éliminer les quantités ~ et ^ de manière à obtenir l’équation de condition qui s'ajoute aux équations (5) et fixe avec elles les valeurs cherchées pour les variables x, y, z, u. Indiquons à cet effet un procédé d’élimination, souvent plus avantageux que le procédé direct.

Après avoir multiplié l’équation (7) par le facteur >. et l'équnlion (8) par le facteur ft, ajoutons membre à membre les équations (G) (7) (8) et égalons i'i zéro les coefficients des quantités y- y . De là résulte

rlx ’ dx

(/F df dt

(-)— hu.— - = 0,

dx dx dx

df df df

dy X dy P dy

rfF df df

hi-f + u-f-

dz dz dz

et Uéquation de condition cherchée s’obtient en éliminant à et p entre les équations (9), (10), (1 1).

Le reste s’achève comme nous I’a\ons dit ci-dessus.

33. Considérons le cas où la fonction donnée dépend de plusieurs variables. Ainsi que nous l’avons déjà fait voir et que nous l’avons rappelé au n° 22, page 54, le cas général se ramène trèssimplement à celui d’une seule variable indépendante. Il suffit pour cela d’introduire, par la pensée, une variable auxiliaire prise pour variable indépendante; et, afin que toutes les autres en devieu-

nent fonction, de concevoir au besoin une ou plusieurs relations arbitraires que l'on ne détermine point aussi longtemps qu’on le juge convenable et dont, pourtant, il est (ôqjours permis de disposer.

Soit, pour exemple, une fonction de deux varinbles

Désignons par t la variable auxiliaire prise pour variable indépendante et posons

U vient

La condition du maximum ou du minimum exigeant, en générai, que la dérivée f\() soit égale à zéro, on a d’abord,

Or, s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum absolu de la fonction z, il faut que la relation (2) subsiste indépendamment de toute détermination particulière des fonctions arbitraires -T(t) 'P(t). Il en résulte que cette relation implique les deux équations simultanées,

et que de là se déduisent les valeurs des variables x, y susceptibles de rendre maxima ou minima les valeurs correspondantes de la fonction.

Les valeurs fournies par les équations (3) exigeant, en certains cas, qu’on les substitue dans les dérivées successives f"\l) , etc., il vient d’abord

(iy + 2

Observons que la dérivée seconde /"(*) se présente ici sous une forme particulière. Celle forme est précisément celle qu’elle affecte, en général Jorsque, disposant jusqu’à un certain point des fonctions r{l), ^(0, on les suppose toutes deux linéaires, c'està-dire du premier degré en t. La même simplification se reproduirait pour la dérivée troisième si les valeurs déduites des

équations (3) annulaient les dérivées partielles

et ainsi de suite , pour toutes les dérivées successives.

Cela posé, on voit qu’en ce qui concerne les substitutions a faire

dans la suite des dérivées /”( 0. f"\ 0. clc” 11 csl l‘crrais dc «“P* primer d’avance les termes où figurent les coefficients différentiels ?"'(/), +'"(0. ctc- si la suppression est permise,

en même temps que la substitution devient nécessaire, c’est parce que chacun dc ces termes se trouve affecté d’un facteur qui s évanouit, et non point, parce qu'on dispose en aucune façon des fonctions arbitraires ?(t), On parvient au même résultat lorsnu on traite à priori les dérivées Ÿ'(l), *'(l) comme des quantités constantes, et tel est le point de vue auquel on se place habituellement. Mais procéder ainsi , e’est dépouiller la solution de la généralité qu’elle comporte; il parait donc préférable dc suivre la marche que nous venons d indiquer *.

• La théorie des valeurs ma. rima ou minima des fonctions de plusieurs variables peut s’établir en se fondant sur les formules (5) et (6) du n» » , page 57. Lorsqu’on procède ainsi , il importe d’avoir égard à l'observation développée cidessus. Ces formules ne subsistent, en effet, qu’avec une certaine reslr.ct.on , provenant de l’hypothèse admise en ce qui concerne la forme des fonctions f(t) = a -4- ht , f (0 = b + kl. Ainsi , par exemple , s’il s’agissait d une surface

ayant i»our équation

par cela seul <|u’on supposent y fonctions linéaires suit que la variable y devient fonction linéaire de la

de la variable / , il s’envariable x. La cousé-

En divisant par •.£'(/)* le second membre de l’équation (4), on le ramène à la forme

VWl* /«Pf\ « y (0 / \ (<Pz

L/tJ U** y

Dans le cas du maximum ou du minimum absolu, ce second membre doit satisfaire à la double condition de ne point s'annuler et de conserver un seul et même signe indépendamment de toute valeur particulière attribuée au rapport — . Il faut donc que l’on ait

[£çl < (

iPz

rfx*

ce qui exige avant tout que les dérivées partielles soient

toutes deux de même signe.

Cela posé, deux cas sont possibles selon que les valeurs obtenues pour x et y par la résolution des équations (3) satisfont nu non à l'inégalité (ii). Dans le premier cas, il y a maximum ou ni >ni muni absolu, suivant que les dérivées partielles sont

négatives ou positives. Dans le second cas, il n'y a plus, en général, que maximum ou minimum relatif, ou bien encore la marche de la fonction n'offre rien de particulier.

Lorsque les trois dérivées du second ordre s'annulent en même temps que les deux dérivées du premier ordre, il faut recourir aux dérivées f"(t), etc., et poursuivre le cours des déductions en appliquant les règles du n" 30.

34. Les détails dans lesquels nous venons d’entrer en prenant pour exemple upc fonction de deux variables

quence est que les résultats se présentent comme n’étant applicables qu’aux sections planes faites dans la surface perpendiculairement au plan des ri/.

( «fi )

s'appliquent exclusivement un cas où la dérivée* /'(<) change de signe en passant par zéro. En général on a , conformément à l’identité (6) du n° 22, page 57.

F (x ±h, y db k) — F(x, y) = ± h F, (x ± hu, y ± ku) ± k M* F, (x ± hu, y ± ku),

et, s’il s'agit d’un changement de signe que la dérivée subisse en passant par la forme ^ , c’est û cette dernière formule qu’il faut avoir recours, en procédant comme aun°31.La question se complique ici de In présence simultanée de deux fonctions dérivées susceptibles de prendre en même temps ou séparément la forme - . Toutefois , comme on dispose arbitrairement de chacune des quantités h et k et qu’on peut annuler l’une ou l’autre à volonté, il est visible qu’on doit procéder d’abord en opérant ainsi, c’est-à-dire en annulant, l’une après l’autre et séparément, chacune de ces deux quantités. La continuité qui subsiste, par hypothèse, dnns la fonction exige que chacun des produits

/iMl F, (x ± hu, y) , ArM* F ,(x,y±k).

converge vers zéro , le premier a» ec h , le second avec k. Ce n’est d’ailleurs qu’en passant par zéro ou par l’infini que chacune des deux dérivées partielles F^x,^), F,(x, y) peut, en général, changer de signe. Ce sera donc, presque toujours, en résolvant le système des équnlions simultanées

ou bien encore

= 0, Fy(x,ÿ)==o,

qu'on déterminera les valeurs des variables x, y, auxquelles peuvent eorrespondre les maxima ou minima cherchés.

Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il ne suflit pas que l’un ou l’autre de ces systèmes fournisse des valeurs réelles, ni que ces valeurs substituées dans les deux produits

ifc h >1,* F, (x ± hu , k) , ± k M* F, (x , y db ku .) ,

leur donnent un seul et même signe pour toutes valeurs des quantités h et k inférieures à une certaine limite. Il faut en outre que celte dernière condition ne cesse pas d être satisfaite, lorsque à ces produits l’on substitue les suivants :

± h Mi F, (x ± hu, y ± ku) , db k M* F, (x db hu, y ± ku).