Soif

l’équation d’un cercle ayant son centre a l’origine et rapporté h des axes coordonnés rectangulaires.

Imaginons qu!on se donne une droite quelconque

(2) y = ax ■+■ b

siluée dans le plan du cercle (1) et rapportée aux mêmes axes. Imaginons en outre qu’on se propose de déterminer les points communs à ce cercle et à cette droite.

S’il est lin point commun à ces deux lignes, l'abscisse de ce point doit satisfaire à l’équation

(3) x* -¥■ (ai -4- 6)’ — r*.

De là résulte, conformément aux règles du calcul algébrique,

— nb ± |/(a* h- \ ) r* — 6*

L'équation (3) impliquant l’équation (4), il s'ensuit que la valeur cherchée pour i se présente sous la forme

et cesse, par conséquent* d’être numériquement assignable toutes les fois que l'on a

Le second membre de l’inégalité (fi) exprime, ainsi qu’on le voit aisément, la longueur de la pcrpcndicula ire abaissée du centre du cercle (1) sur la droite (2). L’inégalité, lorsqu’elle subsiste, indique que cette perpendiculaire est plus grande que le ravon du cercle. La conséquence est qu'en ce cas la droite ne peut pas rencontrer le cercle , et si la solution cherchée semble faire défaut, c’est qu’on est en présence d'une impossibilité qui se révèle sous la forme d’une imaginaire.

Il peut , au premier abord , paraître singulier que là, où la solution qu’on cherche n’existe pas, l’algèbre semble aller au delà de ce qu’on demande, et fournir, sous une forme rigoureusement déduite, un résultat purement illusoire. Un examen plus attentif du rôle assigné à l’algèbre permet de reconnaître que les solutions, qu’on dit imaginaires , au point de vue restreint du problème mis en équation, ne diffèrent en rien, relativement à cette équation, des solutions réelles qui résolvent en même temps le problème donné cl celui qui résulte de sa traduction algébrique.

Dans l’exemple que nous avons choisi et traité ci-dessus , on voit tout d’abord que s’il y a rencontre du cercle cl de la droite, l’abscisse du point commun à ces deux lignes doit satisfaire à l’équation (5). On pose, en conséquence,

(5) jt* ■+■ («x -+- b)* = r*,

et l’on est assuré d'avance qu'il n’y a pas de solution possible en dehors de celles qui satisfont à cette équation.

Cela posé, remarquons bien ici que, du moment où l’on a traduit par l’équation (5) le problème dont il s’agissait, et où l’on demande à l’algèbre de fournir, comme équivalent de cette équation, une transformée quelconque, et en particulier la plus simple de toutes, celle où l’inconnue x se trouve entièrement dégagée, il ne s’agit plus que du problème purement algébrique dont voici l’énoncé :

Étant donnée l'équation (3), trouver une expression de l'inconnue x qui rende le premier membre identique au second, lorsqu'on la substitue à x et qu'on effectue , suivant les règles de l'algèbre, les opérations indiquées.

En présence de ce nouveau problème , substitué au premier comme conséquence implicite de l'application de l’algèbre à la solution cherchée, il est absolument indifférent que la transformée de l’équation (3) donne pour x une valeur numériquement assignable ou une expression imaginaire de la forme

x=pd=q V — \ .

Dans un cas comme dans l’autre il y a solution réelle de l’équation (3) par cela seul qu’en substituant il x l’expression définitive h laquelle on est parvenu , l’on rend le premier membre identique au second.

On a dit des valeurs imaginaires quelles étaient mystérieuses. Peut être est-ce uniquement à In juxtaposition des deux mots valeur et imaginaire qu'il faut attribuer celte erreur de qualifica-

lion. Les expressions imaginaires ont algébriquement In même réalité que les valeurs réductibles en nombre. Si celles-ci se distinguent des autres par rapport au problème qu’on se propose de résoudre, c’est que ce problème apporte à l’équation par laquelle il se traduit, et sur laquelle on opère, une restriction qui exclut tout ou partie des solutions purement algébriques.

Application des règles du calcul algébrique aux imaginaires.

36. Lorsque l’on attribue à une quantité quelconque une valeur imaginaire et que l’on écrit, par exemple,

x — p-+-qV— i,

il doit toujours être bien entendu qu’il s’agit d’une identité, la quantité x se composant nécessairement de deux parties distinctes, l’une réelle et égale à p , l’autre imaginaire et représentée par gV' — I. Rien n’est cbangé d'ailleurs dans l'application des règles du calcul algébrique, si ce n’est qu’elles acquièrent un sens plus général. C’est ainsi, par exemple, que le produit V — 1 .V — I, équivalant à (1/ — I )4, s’effectue purement et simplement par la suppression du signe (j/-)’ dans la dernière expression. On a donc, conformément aux règles ordinaires, et avec un sens plus étendu,

l/ITT. V~\ = (|/“rj* = — J .

I) vient de même

(v/zr7)s= — |/i7j, (i/3T)‘:=i, (v/iTT)« = i/zrf,

et, ainsi de suite indéfiniment, les résultats obtenus se reproduisant tous de quatre en quatre suivant le même ordre.

Supposons qu'on «il entre des quantités réelles cl imaginaires une équation de la forme

(1) . . . A B - A' -+- B' \- Il en résulte

et , par suite ,

Les quantités A, A', B, B' étant toutes réelles, par hypothèse, l’équation (2) exige que l’on ait en même temps

Telle est done aussi la conséquence impliquée par l’équation (1). Concluons qu’une équation de eette forme ne peut subsister qu’uutant que les parties réelles sont respectivement égales et qu’il en est. de même des coefficients des parties imaginaires.

Relations existant entre les exponentielles et les fonctions circulaires.

37. Considérons les fonctions e*, e\ Lorsque les voleurs x, y sont toutes deux réelles, on a, en série convergente,

etc.,

«’+* --I+I+I/+ —z—ï— +■ . etc.

Dr là résulte identiquement

(2) • [< + * •+- V -4- + clr. j

= 1 + i + j+ — — 1- rlc.

L'identité des deux membres de l'équation (2) ne peut être troublée lorsqu'on remplace x par xV' — I , et y par y l/ — I . Mais, dans relie hypothèse, on a, toujours identiquement,