I -h xV

ete.

cos x 4- V' — I

si 11 x

(yV^—Tf (y| /—if

1 4 y V— I 4- *-■ a 4- Z-— -J. 4- etc.

= cos y 4- V' — 1 sin y = e* Y*',

etc.

= eos (ar 4- y) 4- — ! sin (i4-y) = *>('♦»)

les symboles e<-rH"s')^/— *, n’étant autre chose que les

expressions abrégées de ce que deviennent les développements des exponentielles e1, e’, e* + ’, lorsqu’on y remplace x par x v — I et y par yv — 1. Il vient donc, en premier lieu,

(3) . . . . e,^'~ . e,^ r* — elr+,)V~'

Ce qui fnontre que la règle des exposants s’étend à tous les cas, soit d’abord dans la multiplication et la division des exponentielles,

• La marche snivie pour établir cette équation permet évidemment d’v atlrilHierà xet y des valeurs quelconques réelles ou imaginaires.

soit ensuite dans leur élévation à des puissances quelconques et par conséquent aussi dans l’extraction de leurs racines.

Il vient d'ailleurs, en second lieu,

(4) (cos x -4- V — 1 sin x) (cos y -4- V — I sin y) — cos (x -4- y)

-+- V — I sin (i + y),

ce qui montre que, pour multiplier ou diviser des binômes de la forme ços x -b-V — I sin x, cos y 4- V — I sin y , il suflit d’ajouter ensemble ou de soustraire l’un de l'autre les arcs correspondants. L’équation (4) implique en outre la formule générale

(b) [cos x -4- \/ — I . sin x]’" = cos mx -4-1/ — 1 siu inx.

Cette formule est due à Moivrc. Elle fait voir que, pour élever à une puissance quelconque une expression de la forme

cos x 4- V — I sinx,

ou pour eu extraire luYacinc , il suffît d’opérer sur l’arc en le multipliant par l’exposant qui indique l’opération à effectuer.

Les résultats que nous venons d’établir en ce qui concerne les puissances et les racines des exponentielles et des binômes imaginaires COSX-+- — I, sin x, etc., peuvent s’obtenir directement en substituant aux équations (I) les équations suivantes

e* = 1 ■+- x -4- - — - etc.,

(ms)*

e*J = 1 -t- mx h — -4- etc.,

On en déduit, par voie d’identité,

ÏTà

= 1 -4- mx +

(mx)*

— b etc

Le reste s 'achève comme tout à 1 heure, et il vient généralement (C) [e‘^~,]m = e"**^-* = [cos x -4- V' — 4 sin x]*" = cos mx -4- V‘ — I sin mx,

ce qui justifie et confirme les déductions précédentes.

H est visible que I équation (3) ne cesserait pas d'avoir lieu si l’on y remplaçait x par — xV' — 1 , ce qui revient d’ailleurs à opérer sur l’identité (2) en sc bornant à changer y en yV — 1. On a donc aussi

(7) . ex. e* y~l = ei+J' — (cos y -4- V'—Â sin y).

38. En désignant par e^~ 1 cc que devient le développement de l’exponentielle er lorsqu’on y remplace x par xV — I , on a

cos x + V — \ sin x = e' l , cos x — j/ — I sin x = e-1 V ~

De là résultent les équations symboliques e*V~ +

cos x >

e»l/^T e-«|/=7 sin x

Si l’on procède en sens inverse et qu’ondésigne par cos (xV— 1), cl sin (x\S — 1) cc que deviennent les développements de cos x et de sin x, lorsqu'on y remplace x par xl^ — 1 , on a de meme

cos x V — \ — V— i sin x V — 1 = e , cos x V — I -+- V— 1 sin x V — 1 =e~‘.

et l’on en déduit

cos x V — I

sin x V' — 1 =

tes résultats coïncident, ainsi qu’il est aisé de le voir, avec ceux

( Oî» )

qu'on obtient en remplaçant x par x V — I dans les formules (I) et (2).

Les équations (3) se résolvant en deux identités, on peut y attribuer à x une valeur quelconque réelle ou imaginaire. Si l’on fait, par exemple,

x — u — zV — 1,

il vient

(5) . cos (z + u y' — 1) — Ÿ — 1 . sin (z n V'— \) e«-> l/^T— e* (eos z — V — f . sin z);

on a d’ailleurs, conformément à la première des équations (3), e* = cos nV' — I — V — I sin uv — 1.

On peut donc écrire aussi

(7) (cos z — V — 1 sin z) (eos u V — 1 — V — 1 sin uV — 1)

= cos (z m \/ — t) — V — l.sin (z -+- u V — I).

On trouverait de même

(8) (cos z -+- V — I sin z) (cos u V — I -4- V — 1 sin « V — 1 )

= cos(z -+- « J/ — 1) +-V — l.sin (z + u V — 1).

Eu égard à l'extension que comportent ces dernières formules, il est visible qu’elles permettent d’appliquer à toutes les valeurs de x, réelles ou imaginaires , les formules du n° 37.

Eu opérant sur la deuxième des équations (3) comme on l’a fait sur la première, on a.

(9) cos (z a- « V — 1 ) * V — ! . sin (z + u V — i ) = e~

"(eus s V — l.sin z).

( «tt )

La combinaison des équations (5) cl (9) conduit aux formules suivantes :

leos(c + h V— I ) = i[(e‘+ e— ) eos = — e—)sin z]

/sin (s 4- k i ) =-[(e‘4- e— ) sin c 4- V — I (e“— e~ ") cos :]

Expressions générales des logarithmes.

39. Lorsqu’on étend aux exposants imaginaires la définition donnée pour les logarithmes dans le cas desexposants réels, l’équation fondamentale

(1) Le’ = x

devient, en y remplaçant x par x 4- yV — 1 ,

(2) Le’ l/=7= x 4 -y V~\.

et c'est à l’équation (2) que se réduit la définition générale du logarithme d’nnc expression quelconque réelle ou imaginaire.

On a pour x — o

(3) L e''*/rî = yt/“*

Ajoutons membre à membre les équations (1) et (3). Il vient

Le’ 4- Le*^- 1 = x 4 -y V' — 1 , et eu égard à l'équation (2)

(4) Le'+,^/;rï = Le’ 4- Le»*'3’1

* On observera que tVx|»onentielle reste la même i>our toutes tes va-

leurs île la variable y qui diffèrent entre elles d’un nombre entier quelconque de circonférences ir. Il s'ensuit évidemment qu’à chaque détermination particulière de cette exponentielle correspondent nécessairement fte infinité de logarithmes distincts.

L'équation (4) suflit pour établir la propriété caractéristique des logarithmes et pour permettre d'étendre nu eus général d'un exposant quelconque les règles établies pour le cas des exposants réels.

Soit

Si l’on pose

;• = y'])* -4- if, o = are fg - >

la quantité r étant positive, l'équation (a) devient, ainsi qu'on l’a vu au n“ 24,

x — v [eos 9 V — I . sin O] = re*V-‘.

Considérons l'expression

rc'A '"= r [eos 9 4 — 1 . siu '»J ,

a laquelle se ramène toute expression imaginaire de la forme

Ou a

(ti). . Lr[cos« + 1/ — l.sin 9] = Lr oV — I,

Lr étant le logarithme arithmétique du nombre r.

Désignons par m un nombre entier quelconque, positif ou négatif, et posons successivement 9=2»» r, 9 = (2 »« -t- 1) rr. De là résulte

(7) L(r) = Lr + 'lin* V — I, L(— »•) = Lr + (2»« -♦ I)- V I,

ce qui donne une infinité de valeurs toutes imaginaires, une seule éventée, celle qui correspond à m— » dans la première des formules (7).

Dans le cas particulier où l’on fait r— 1 , les équations (7) deviennent

(8). . L(l) = -2mir L(— 1) = (2»n*-+- 1 )*V — 1.

Les formules auxquelles nous venons de parvenir expriment qu’il existe pour chaque nombre pris positivement ou négativement une infinité de logarithmes distincts, tous imaginaires à l’exception d’un seul. Voici comment ce résultat s’explique et doit être entendu.

On a l’équation (fi) comme expression des conventions admises, et de l’extension que comportent les règles du calcul algébrique.

Cela posé, imaginons qu'on fasse varier la quantité «à partir de zéro, en l'assujettissant soit à croître, soit à décroître indéfiniment. L’identité qui subsiste entre le binôme eos 0 ■+■ 1/ — l sin 0, cl le développement de l’exponentielle e9^-*, montre que chacune des valeurs de ce développement correspond à une infinité de valeurs de l’argument 0, celles-ci n’étant assujetties qu’à la seule condition de comprendre entre elles un nombre entier de circonférences. Si donc on prend en particulier l’une quelconque des valeurs affectées par le développement et que, conservant au développement son expression générale, on l égale à cette valeur, il est visible que l'équation résultante comprend nécessairement une infinité de racines toutes différentes les unes des autres. Ce sont ecs racines que le second membre de l'équation (fi) met en évidence alors que le premier repasse par les mêmes valeurs. L’on a, d un côté, l’argument 9 qui change incessamment et qui prend ainsi successivement toutes les déterminations possibles; de l’autre, on a une fonction circulaire de l’argument 0, laquelle n’affecte jamais qu’une valeur unique pour toutes les valeurs de l’argument qui diffèrent entre elles d’un nombre entier de circonférences.

nidations existant entre les puissances du sinus et du cosinus d’un arc, et le sinus et le cosinus des arcs multiples.

40. Faisons \oir par quelques applications les avantages que peut offrir , en certains cas, la considération. des imaginaires.

Reprenons la formule (5) du n° 37, page !)3,

(1 )• . (cos J -4- V— 1 . siu x)" = ( OS mx -4- |/H1 . sin tnx ,

et supposons que l’exposant m soit entier et positif. Le dévcloppeincut du binôme (cos a; + t^-Isi'n x)-esl limité en ce cas, et il s’effectue suivant la formule (1) du n» 17, page 4«. Égalant de pari et d'autre les parties réelles et imaginaires on a généralement

Ml («I 1 )

eos mx = eos™ x — — - cos“-‘ (x) sin1 x

\ Mt(m — 1) (mi — -2) (m — 5) (2) ( *" 1.2.3. 4

sin mx = m eos" ~ 1 mi (m — l)(w — 2) 1.2.3

eos" ‘x.siu‘x — etc.

x . sin x eos“ !xsin’x -4- etc.

S’agi t-U, au contraire, de développer une puissance quelconque entière et positive de eos x ou de sin x en fonction des cosinus et sinus des ares multiples? On peut poser

(3) | = eos x +■ V — î . 8j„ x>

| x = eos x — V ^7 . sin x,

ee qui donne, d’abord,

W- X = 2 eos x, */ — Z=2V/in.siux, ys=| puis, eu égard à l’équation (1),

y' -t- z“ = 2 eos mx , Ou déduit de là

U" — z"= 2 1/ — 1 . si

si II MX.

2"' eos'" X = (y -4- s)™ = (,f -+- z») + myz(ym-t + 2.,) Ml (mi — I)

— yV(r-‘+z"-‘;+etc,

cl, par suite ,

! COS MX ■+■ H* <'OS (,n — ') X

-2'" cos“

* - * ) + “'"tri* cos (», -t)x* -*.)

le dernier terme étant

ou bien