COS X

selon ijuc ni est pair ou impair.

On ti de même ,

cos mx — »h eos (mi 2) x j

T (- « r si»'* Æ = 2 1 -4- W(m~-^ eos (Ml - 4) X - ele., \

ou bien

sin mix — mi sin (mi — 2) x

r(-0 ’ si.rx=2 } + MîLzlî,in(m-*)*-ctr,

selon que Ml est pair ou impair, le dernier terme étant

( loi )

dnns le premier en s . el

rfc — sin x

dans I(‘ second *.

Résolution îles équation* binômes.

il. Considérons l'équation binôme

où le nombre « esl supposé cnlicr et positif **.

Si nous désignons pur r la rneine arithmétique l u, il vient

Posons

x — re^/~' = r [eos 0 -e |/ — I . sin 6] ;

substituons celle valeur dans l'équation (2) et supprimons le fneteur commun r”. On trouve ainsi, pour transformée des équations

O) cl (2),'

(ô) eos no Ÿ — 1 . sin n9 = ± 1.

* On observera que, dans les formules qui donnent le développement de la puissanee m de sin .r, les lermcs sont alternativement positifs et négatifs, il s'ensuit que le dernier esl positif ou négatif, selon que les termes sont en nombre pair nu en nombre impair.

" S'il en était autrement, on pourrait toujours ramener à ee eas le cas plus général d’un exposant quelconque.

Ia‘ second membre es( il positif? Ou salisfait à 1 équation (ô) en posant n®=2HUr , mi étant un nombre entier quelconque. Delà résulte, pour ce cas,

m T 2»i* ./ — ? ■ 2 mrl

(4). . . x=r cos hl — l.sin

On a de même, pour le ens où le second membre est négatif.

: = r £cos

II est d’ailleurs aisé de voir qu’il suffit d'attribuer au nombre m les valeurs successives 0, 1 , 2. ...(« — I) ou 1,2... «pour épuiser la série des valeurs distinctes et différentes que l’inconnue x comporte dans les deux cas.

Les solutions fournies pnr les équations (4) et ( î») s'étendent d’elles-mêmes aux équations de la forme,

xtm -+• bx“ -+- c = o.

On prend d’abord la transformée

cl rien n’est à changer si les valeurs obtenues pour x" sont réelles. Supposons ces valeurs imaginaires et représentons les par

x * = a (cos a zt V — 1 . sin a).

En faisant, comme tout à l’heure,

. r = Va, x — r(cmü±V — 1 sin <), il vient

(fi). . . eos »9 ± — | çjn ne — cos a rfc V' — I. sin a.

Cela posé, selon que cos « esl positif ou négatif, on satisfait à l’équation (6), en faisant ou n 8= (2 m -+- 1) n-t-a,

ce qui donne

[« 2»«?r , , t -t- 2mr~l

cos ± V — 1 • s>n J

dans le premier cas, et

(8). x = rl cos