P + QI/-T

P ctQ seront des fonctions réelles delà variable indépendante subsistant chacune isolement et non réductibles entre elles.

La fonction donnée étant représentée par y, il vient identiquement

u = p + qi/itt,

et ce qu’il faut voir dans y ce sont deux grandeurs l'une égale à P , l’autre h Q, toutes deux réunies symboliquement, mais toifjours distinctes et toujours séparables. Il suit évidemment de là que la variation de l'imaginaire y doit être considérée comme s’identifiant avec celle des fonctions P et Q prises à part et simultanément.

On peut avoir, entre ccrtnines limites,

puis, entre d'autres limites,

les fonctions exprimées pnr P et Q rliniigcnnt en même temps qu'on passe du premier intervalle au seront! et pnr conséquent restant toujours réelles.

Il peut arriver aussi que la quantité Q s’évanouisse par suite d’une valeur particulière attribuée à la variable indépendante ou qu’elle disparaisse dellc-mèmc pour toute l’étendue d’un certain intervalle. Dans le premier cas la valeur affectée par y, quoique réelle en apparence *, ne cesse point d’appartenir au système général des valeurs imaginaires. Dans le second il y a transition d'un système à l’autre et solution relative de continuité.

Une fonction peut être tantôt réelle, tantôt imaginaire, la variable dont elle dépend restant toujours réelle : elle n’affecte ainsi qu’une partie des déterminations compatibles avec son mode d’existence. Si l’on veut l’étudier dans toutes les modifications qu’elle comporte, il faut substituer aux valeurs réelles de la variable un système qui, sans exclure aucune de ees valeurs, comprenne en

* La fonction ( — n), dans laquelle la variable x demeure reelle. offre un exemple remarquable de ce cas. On a généralement

( — n)' = nr(— f)* = (i'.[cos(2m-t- l)T;r-t- V — 1 sin (2m -t- l)Tjq

m étant un nombre entier quelconque. On voit par là que, contrairement à l’idée qu’on s’en forme généralemeut , la fonction ( — n)’ est imaginaire et continue. A chaque valeur du nombre entier m répond un système distinct de déterminations particulières. Il n’y a solution de continuité que lorsqu'on passe de l’un de ces systèmes à un autre. On voit d’ailleurs aisément qu’en désignant par k un nombre entier quelconque, les valeurs de ( — ni' qui affectent la forme

... , „ . . ... 2fr -t- I 2 k

reelle sont relies qui enrresimndent soit a .r =■ .son a r =

2ni -t- t 2m + f

outre toutes les valeurs imaginaires possibles ’. Pour satisfaire à eelte condition x étant la vnriablc, on doit poser

Il faut admettre en outre que les quantités p et y sont susceptibles d'acquérir directement et indépendamment l'une de l’autre toutes les valeurs réelles. Dès lors x devient fonction de ccs deux variables et celles ci seules sont dites indépendantes.

F.n assujettissant la variable x à franchir successivement et avec continuité toutes les valeurs imaginables, on ne détermine aucun des modes particuliers suivant lesquels lu variation peut s'accomplir effectivement. Il est permis de rester à ce point de vue général, comme aussi de considérer spécialement l’un ou l’autre de ees modes, le choix à faire pouvant dépendre des questions à résoudre et offrir ainsi le moyen d’établir entre la variable et la fonction donnée l’ordre de relation le plus propre à remplir l’objet qu’on se propose. Dans tous les cas la continuité n’est possible pour x, qu'autant qu’elle subsiste pour chacune des quantités réelles p et y, prises à part et simultanément Nous admettrons que cette condition nécessaire est toujours satisfaite.

Ce qui vient d’être dit s'applique en même temps et «le la même manière à la fonction

Il s'ensuit qu’à la variation continue de la variable imaginaire correspond une variation continue ou discontinue de la fonction, selon que les quantités P et Q restent, ou non, finies, réelles et continues.

4i>. Les détails qui préeèdentn’offrantaucunedifficulté, je crois

* Le système complet des valeurs imaginaires comprend , comme cas particuliers, toutes les valeurs réelles. Dès qu’on eulre dans ce système, il n'y a plus lieu d'établir entre les unes et les autres aucune distinction, si ce nYsl celle que nous avons déjà mentionnée, licite remarque est très-importante au point de vue de la continuité.

i mil ilo d'insister sur la distinction <| n i I importe d'établir mtr»; ir système général de tous les modes possibles de variation continue et l’un quelconque d'entre eux. Je vais, en conséquence, passer immédiatement ?i celui de ces modes que l’on. choisit habituellement pour l'attribuer à la variable imaginaire.

Il semblerait naturel d'opérer directement sur les quantités p et <[ en faisant correspondre successivement l’une quelconque des Videurs de p à toutes les valeurs de i/ ou réciproquement. Dans l'un et l'autre de ces modes p et q seraient les variables indépendantes. Il est d’ailleurs visible qu'on y réaliserait pour x toutes les valeurs imaginables. Tel n'est point le procédé généralement suivi : moins simple en apparence il offre en réalité certains avantages qui le font préférer. Voici en quoi il consiste.

Faisant

(I ) . . . . r cos 8 = p, r sin fl = y, on en déduit

r =■, \/p* -+- <r, 9 = are Ig - •

Cela posé, on remarque que quelles que soient les valeurs respectives attribuées séparément aux quantités p et q, on peut toujours satisfaire aux équations (I) en attribuant à r la valeur positive jfl -r- y4, et à Força, soit la valeur unique qui, dans l’intervalle de o à ir, remplit les conditions voulues, soit celle même valeur augmentée ou diminuée d'un multiple quelconque de la ciironférenee.

Au lieu de l'équation

il est donc permis d écrire

x = r [eos 5 4- l/ — I sin fl],

et, changeant le mode de variation, de prendrerel fl pour variables indépendantes.