IN

Veut-on u attribuer à r que des valeurs positives et restreindre entre les limites o et Ür la variation de », cela suffit pour réaliser un mode de variation continue où la variable x passe successivement par toutes les valeurs imaginables. Cela ne su dit point, en général, si l’on veut que In fonction acquière elle-même toutes les déterminations qu'elle comporte. Soit, pour exemple, la fonction

y = xH — r [eos î+l/ — I . siu o]

= r j^cos - V— 1 • sin ~ J ■

Il est visible que pour n'cxelurc aucune des déterminations dont elle est susceptible, et, en particulier, pour lui faire exprimer les diverses racines de l'unité, il est indispensable d’assigner comme limites à la variation de 3 des valeurs prises de plus en plus grandes à mesure que y augmente.

46. Lorsqu’on entre dans le système des valeurs imaginaires, il est à observer que, sauf les cas d’impossibilité fortuite, il n'est pour la fonction , de même que pour la variable, aucune détermination particulière que toutes deux n'admettent nécessairement. La seule chose qui change d'une fonction à une autre, c’est l’ordre dans lequel ces déterminations se succèdent, ou bien encore le degré de périodicité. Supposons en effet que la variable soit prise1 pour fonction cl réciproquement. La fonction, prise pour variable, reçoit immédiatement toutes les valeurs possibles. D'un autre côté, à chacune de ces valeurs il en correspond une que la variable, devenue fonction , acquiert forcément. Si donc agissant directement sur la variable on lui fait prendre successivement toutes les valeurs possibles, il faut que la fonction renqdisse elle-même celte condition générale. De là résulte le principe suivant :

Toute variation limitée îles quantités r et 3 qui ne permet pas de réaliser dans la fonction le système entier des valeurs imaginaires est , par cela seul, nécessairement incomplète.

Appliquant ce principe à la fonction particulière

Lx = Lr (eos 3 -v- 1/ — I . siu S) — L re'‘l "* == l.r o Y' — |.

ou reconnaît immédiatement que la variation de H ne peut être complète par rapport à la fonction qu’autant qu'elle est illimitée.

L’exemple que nous venons de choisir est très-propre à montrer comment, en certains cas, la série des valeurs imaginaires est à peine entamée par la variation continue de la fonction, taudis qu’elle est déjà complètement épuisée par celle de la variable. L’explication de ce fait est toute simple: il dépend delà multiplicité des valeurs qui, dans la fonction, correspondent à une seule et même détermination de la variable imaginaire. L’inverse est également possible; nous citerons, pour exemple, la fonction

xm = r" [cos 4 -+- l/ — 1 . sin 4]" = r™ [cos mo -+- [/ — 1 . sin ml].

Essentiellement continue pour toute valeur entière et positive de l’exposant wt, cette fonction est eu même temps périodique, et, par elle, la série des valeurs imaginaires est m fois épuisée, lorsqu’elle ne l’est qu’une fois par la variable x.

La variable x demeurant continue, imaginons que, pour tonte valeur de r comprise entre deux limites déterminées la fonction varie périodiquement suivant un certain mode et qu'au delà de ces limites ce mode change brusquement. 11 estclairque ces limites ne pourront être franchies sans qu’il y ait, en général , changement brusque de détermination et par conséquent solution de continuité. Si donc une fonction a d'abord un certain degré de périodicité, puis qu’elle le perde brusquement ou que, ne l'ayant pas, elle l'acquière tout à coup, la discontinuité surgit en même temps. Cette remarque explique ,peul*étre l'erreur où l’on est tombé en faisant dépendre la continuité de la périodicité et confondant ainsi deux caractères essentiellement distincts *.

’ Voir plus loin la note jilaceo à la suite du n° oit.

( Ml )

Application du calcul différentiel aux imaginaires.

VI. Soit y une fonction quelconque imaginaire définie par l'identité

Pour appliquer à celte fonction les règles du calcul différentiel, il sullit d'opérer successivement sur la partie réelle et sur la partie imaginaire en traitant le facteur symbolique V — I comme un facteur constant. De là résulte

cl l'équation (2) définit la différentielle, de la même manière que l’équaliou (I) définit la fonction.

On voit par ce simple aperçu que les règles établies pour la différentiation et la dérivation des fonctions réelles s'étendent d'elles-inemes aux fondions imaginaires, et qu'aucune difficulté ne peut surgir dans leur application lorsqu’on a pris le soin de ramener nu type fondamental

l'expression imaginaire sur laquelle il s’agit d’opérer.

Veut-on procéder directement, sans passer par l’intermédiaire d'aucune transformation? Il faut s'assurer d'abord que celle voie plus rapide et plus simple peut être suivie légitimement. Tout se réduit ainsi à quelques vérifications faciles et d’ailleurs peu nom- -breuses.

Soit pour premier exemple lu fonction Elle est par

l’identité

(•»} . . . . e* ^ = cos x -t- V — I . sin x.

Si I’oii opère directement sur c’^-1, en traitant le l'acteur sviuboliquc Ÿ — i comme un facteur constant, on a pour la dérivée,

v/irr.

Or, en vertu de l'équation (5), il vient identiquement

e ' . V — î = — sin x 1/ — 1 . eos x,

et celle expression de la dérivée n’est autre que la dérivée du second membre de l'identité (3). Il est démontré par là qu’on a généralement

de- '/r7= V— \ . e* l/zr. <lx

la règle restant In même que s’il s'agissait d’un exposant réel.

Soit, pour deuxième exemple, la fonction. L. e'\ Elle est, par l'identité *

(i) Le’ l/“r= x V' —T.

Traitée directement elle a pour dérivée ,

et telle est aussi la dérivée que l’on obtient eu opérant sur le second membre de l’identité (4).

Soit, pour troisième exemple, la fonction sin xV — 1. Ainsi qu’on l’a vu par les formules (-i) du n” 38, page 1)4, on a identiquement

sin x 1/ — I