COS X 1/ — I

Prise directement In dérivée, de sin .cV — 1 est, d’après les règles ordinaires

l ~T. eos x t/- I =VA“ '■ **— , — •

D’un autre côté, si l’on opère sur le binôme dérivée

on a, pour

Kieu doue n'est changé dans le résultat, soit qu'on opère dune manière directe, soit qu’on suive lu marche générale.

S’agit-il de la formule

(cos x -4- l/— i . siu x)'" = eos nue -4-1/ — I . siu mx /

Il est visible à priori que, subsistant par voie d’identité, elle ne peut avoir pour chacun de scs deux membres qu’une seule et même dérivée. On peut d’ailleurs le vérifier directement, ou bien le déduire de ce qui précède en observant que l’on a

[cos x -4- 1/ — 1 . siu x]"' = c-

Considérons en dernier lieu la fonction zm = (x -4- y 1/ — 1 )'" — / r” [eos mi -4- V' — I . sin t«oj.

On a directement

il(zm) — nizm ~ 1 . il z — mz“~ 1 . (dx -4- il y V1' — I)

= m(x -4- y \/ — 1 )~ — * (t/x -4- tlyV — I), d(z'”) ==. ni . [rc'JV~*]m 1 (e® ^ 1 .ilr - 4- e® ^ ' 1 rdi \/ — 1 )

= ni (x V/ —ï)- 1 (e® y=*dr + e® ■'crrrf» V/^T).

Eu égard aux équations de condition

x — /• eos », y — r siu >i , «® l ~ 1 ^ eos 0 -4- 1/ — I sin 9 ,

il vient

, ' (/x -v- ytlg ( Xili/ — ydx

cl Ton en déduit

,;9V'~ + = + ,ly l/— T.

Il y ii donc identité de pur! et d'autre et les règles de la différcnliation ne cessent pus d'être applicables aux expressions symboliques des imaginaires de la même manière que si le symbole \/ — I était en réalité un facteur numérique.

/le/ irvsenliition géométrique des imaginaires.

48. Nous ne terminerons point ce sujet sans ajouter quelques mots sur la construction géométrique des valeurs imaginaires cl sur les avantages spéciaux que ce mode de représentation peut offrir en certains cas *.

Soient I et w deux coordonnées rectangulaires, si l’on pose, en général,

toute valeur de l’imaginaire P-t~(jl/ — I fixe la position d’un point, cl, réciproquement, tout point du plan des coordonnées répond à l une des valeurs de celte imaginaire.

On voit ainsi que toute expression imaginaire considérée dans l’ensemble des déterminations qu’elle comporte, et abstraction faite des solutions de continuité qu’elle peut offrir accidentellement,

* On peut variera l'inlini les différents modes que couqiorte la représentation géométrique des imaginaires. Nous ne nous Occupons ici que d’un seul mode choisi parmi les plus simples et les plus élémentaires ; le lecteur qui voudrait étendre et poursuivre ces recherches peut consulter aveu li uil les travaux de M. Maximilien Marie déjà cités eu note, a" 2ü, page 00.

( HJ» )

d§ns les cas d impossibilité fortuite, est exactement représentée par la suite infinie des points que comprend une surface plane.

Cherchons quelle est, par rapport & la génération de celte surface, le sens exprimé par les divers modes de variation Continue sur lesquels notre attention s’est portée plus particulièrement, dans les numéros qüi précèdent.

Soit, d’abord ,

si l’on fait correspondre « chaque valeur de p toutes les valeurs de q, oïl a pour chaque valeur de p une droite perpendiculaire à l'axe des abscisses, et c’est parle déplacement de cette droite, transportée parallèlement à elle-même, que la génération dn plan s'effectue. Lorsqu’on procède inversement, c’est-à-dire en faisant correspondre à une valeur de q Unîtes les valeurs de p, puis en donnant à q toutes les valeurs possibles, la génération a lieu par le déplacement d’une droite parallèle à l’a.xc des abscisses.

Soit, ensuite ,

x = r [cos 0 t I/— - I . sin v] — l + u [/— I .

Ile là résulte

I = r eos 8, u = r sin 6, et, suivant qu’on élimine r ou 9,

« = G tgO,

ou bien

Dans le premier cas, chaque valeur de 8, se combinant avec toutes les valeurs de r, fournit une droite qui pusse par l’origine cl fait avec l’axe des abscisses un angle égal à 8. Lorsque 0 varie, celte droite tourne et c'est par sa rotation autour de l’origine que le plan se trouve engendré.

Dans le second cas , il y a combinaison directe de chaque valeur de r avec toutes les valtitès de o. Chacune de ces COinbihrii-

sous donne une circonférence de cercle iiyunt sou centre à i origine et In quantité r pour rayon. Lorsque r varie à sou tour, la circonférence se développe progressivement, et lu génération du plan s'effectue.

49. Considérons en particulier quelques fonctions simples et, pour abréger, adoptons exclusivement, en ce qui concerne la variable x, le mode de variation continue qui se traduit par la rotation d une droite tournant autour de l’origine des coordonnées. On sait que, dans celle hypothèse, chacune des valeurs de l'argument 8 se combine directement avec toutes les valeurs que comporte. le module, c’est-à-dire que pour une même valeur quelconque attribuée à o, le module r est censé prendre toutes les valeurs possibles à partir de zéro.

Soit , eu premier lieu, la fonction xm. On a

x = r [eos U. \/ — 1 . sin # ] ,

et, par suite,

x" = r"' [eos mil l/ — t . sin mi# ].

On voit ainsi que, de part et d’autre , c’est par la rotation d'une droite tournant autour de l'origine que se traduisent les variations continues simultanées de la variable et de la fonction. Si l’ou prend pour unité la vitesse angtdaire qui correspond à la variation de la variable, celle qui en résulte pour la variation simultanée de la fonction est représentée en sens et grandeur par l'exposant m.

Soit, en second lieu, la fonction Lr. En posant, comme tout à l’heure,

x — v [cos 9 -v- V — f . siu s] — re‘‘ l ’,

il vient

Lu* = Lr -i- 8 1/ — 1 = t -r- i/ 1/ — I .

Il s’ensuit qu'eu se combinant avec toutes les valeurs de r, chaque valeur attribuée à o donne une droite parallèle à l'axe des

abscisses el silure à la distance o <le cet axe. Ici donc, tandis que le système des valeurs imaginaires se réalise, pour la variable, par la rotation d'une droite qui tourne autour de l’origine des coordonnées , e’cst par le déplacement continu d une droite assu- , jettie à rester parallèle à l’axe des abscisses que ce système se réalise en même temps pour la fonction. Lorsqu’on restreint la variation de l’angle 0 entre les limites o et '2-r (ce qui permet d’olilenir, en ce qui concerne la variable, le système complet des valeurs imaginaires), les positions extrêmes de la droite qui correspond aux valeurs imaginaires de la fonction sont données par les équations

et la surface engendrée se réduit à la bande qué comprennent entre elles ces positions extrêmes. On voit ainsi que la réalisation du système complet des valeurs imaginaires, par la variation conliniie#de la fonction, exige impérieusement que l’on ait pluie successivement à 6 toutes les valeurs possibles et qu'on les prenne chacune positivement el négativement.

Ces exemples suiliscnt. Par eux on saisit clairement ce qu'exprime tout mode de variation continue susceptible d'être attribué à la variable imaginaire. Ils mettent d’ailleurs en évidence la relation qui s’établit entre l'un quelconque de ces modes et celui qui lui correspond dans la varintion simultanée de la fonction. De part et d’autre, il y a d'abord à considérer le mouvement d’un point et par suite la génération de deux lignes répondant, l'une à la variable, l'autre à la fonction : puis vient, avec ou sans changement de forme, le déplacement de ces lignes. De là résultent deux aires planes qui s’engendrent simultanément et se correspondent de la même manière que leurs génératrices respectives. Par hypothèse ( l’un de ces deux systèmes est essentiellement continu, c’est-àdire que dans le mouvement du point qui décrit une position quelconque de la génératrice, comme dans eclui de la génératrice qui décrit une portion d'aire quelconque, il n’y a jamais ni lacune ni saut brusque. Tant que l’autre système remplit les mêmes conditions, il v a continuité relative.

( MH )

En résumé, «oil une fonction quelconque réelle ou imaginaire , In variable peut être ussujcltic à varier continûment entre certaines limites. Quelle que soit , en ce eas, la détermination particut lière du mode de variation, il reste caractérise par l’absence de tout changement brusque, et la fonction varie, en général, de la même manière. Aussi longtemps que celte condition, supposée remplie par la variable, l’est également par la fonction , on dit de celle-ci qu’elle est et demeure fonction continue de la variable que l'on considère.

!)0. Étant donnée une expression quelconque imaginaire P + Q l/~ t .

Prenons pour axes coordonnés rectangulaires les deux droites Fiy. /. OT, OU, cl désignons par ni le point déterminé par les équations %

I étant l’abscisse cl u l’ordonnée de ce point.

I ■+• u 1/ — I = re® V~ ' = r cos 8 +- [/ — 1 . r sin 8 ,

l’on en déduit

(2) . . . . r == t/f* -t- »*, tang 0 = - ,

et, lorsqu'on passe du système des coordonnes OT, OU, nu système polaire dont le pèle est en O et la droite fixe en OT, le point «i se trouve déterminé par les équations (2) comme il l’était d'abord par les équations (1), le module r étant le rayon vecteur du point ut, et l’argument » l’angle de ce rayon avec la droite OT. Supposons le point ni situé sur In circonférence de cerclé décrite

il u point 0 comme centre avec un rayon égal à l'unité, et considérons un second point »»' situé sur celte même circonférence. On aura, d’abord, r=t et, par suite,

x — cos o , 1/ = sin 9.

Du point ni' abaissons sur O in la perpendiculaire m'p’ et désignons par 9' l’angle ni'Op'. On a

O p' = cos b', tn'p' = sin h’.

Soient u' les coordonnées du point ni'. F.n abaissant du point ni' sur la droite OT la perpendiculaire iii'ij, il lient

t' = O q xrr O p' cos b — m'p' sin 9 , m' == m'q = Op' sin b + m'p' cos 9.

Cela posé, puisque l’expression symbolique, qui détermine le point »«', est indifféremment

l/ — I ou bien ens ( b 9') -+- V — I . sin (9 -4- 6'),

il s’en suit que l’on a

cos ( » + b') = /' = cos 9 cos 9' — sin 9 . sin b\ sin (b -+- 9') = u'— sin 9 eos 9' -4- eos 9 . sin b'.

Si, d’ailleurs, on multiplie entre elles les deux imaginaires cos 9 + sin 9, cos 9' + V — 1 sin9', on trouve pour pro-

duit

cos 9 eos 9' — sin 9 sin 9' l/^~l [sin o cos 9' + cos 9 sin 9'].

On peut donc écrire, en général,

[cos 9 -4- 1/ — 1 . sin 9] [cos 9' -4- v — I . sin 9']

= eos (9 -4- 9') -4- \/ — 1 . sin (9 -4- b').

Concluons que In multiplication dos expressions «lo In forme eus 9 -+* V'— 1. sin«, cos 9' + V — ï. sin 9', «‘effectue on ajoutant les angles. <•

l)o là résulte In formule do Moivre *

[eus <i + l/ — I sin 'i]"‘ = oos ih'i -t- l ^ — I si

sin vio.

S'agit-il ensuite des racines de l’unitc? Voici comment on on obtient la représentation géométrique.

Soit une circonférence de cercle ayant l’unité pour rayon et Fig. i divisée en n parties égales à partir du point o.

\ Si de l’un quelconque des points de division , v du point in par exemple , on abaisse sur le diamètre qui correspond au point o la perpenv f diculaire mp représentée par u — sin m . —

/ et qu’on désigne par ( = cosm . — la distance

rp comprise entre le centre du cercle et le pied de celle perpendiculaire, il est visible que l’expression imaginaire.

>ÏÏ.

t -t- m l ^ — I . = cos m

— • -t- v — I . sin ni — , Il u

est une des racines n*m” de l'unité. On a, en effet,

f- âT"!*1 y

I eos m r- — I sin m — = cos 2«ur u- V — \ sin 2 mr — I .

Prolongeons la perpendiculaire mp jusqu'à sa rencontre en tu’ avec la circonférence de cercle déjà divisée en « parties égales. I,e point m' est comme le point ni un des points de cette division. Il

’ Démontrée d’abord pour le cas d'un exposant entier cl positif, la formule de Moivre s’étend sans difficulté au cas d’un exposant quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, commensurable on incommensurable.

s'ensuit qtu* les racines n*mr‘ de l'unité qui correspondent aux «leux points ni, m' ont, pour somme,

2rp — 2 ens ni — ,

i*t, pour produit.

(/ + w l/I f) (< a \/- - | ) iU- u1 = I .

Désignons par z l’inconnue du facteur du second degré qu il faut égaler ü zéro pour obtenir chacune de ees deux racines. Ce facteur est évidemment ,

1 — 2: eos m *- I .

Prenons sur le diamètre or le point a , situé comme on veut à gauche du centre r. Posons

ra = z,

et tirons la droite nm. On n

uni = ni fi

i «/» = sur m h — eos ni — J

■ = c1 — 2r cos ni 1- I .

La conséquence est qu’en désignant par ij„, j/t , y, , etc., , les distances comprises entre le point a et chacun des points de division, o, \ , 2, etc., h — I marqués sur la circonférence , on a généralement

Si, sans rien changer à ce qui précède, on doublait le nombre des divisions, il faudrait écrire

[Ti) ... . z* — i =* yn . y, ..y,....

On mirai», d'ailleurs, en môme temps rl de la même manière, ainsi qu’il osl aisé »lr le voir,

Les équations (S) rt (4) rxprimrnl Ir théorème île Cotes.