I-V-W.+1 + etc
etc.,
et il y a convergence, puisque par hypothèse m est plus grand que I.
• Il est visible que la série (4) est une progression géométrique décroissante ou croissante selon que l'ex|>osani m est, ou non, plus grand que l'unité
Dans lr second cas, il \ iont
»„ -4- «„+ 1 -4- «„ + i-4- etc. on 1 H i- de.
ti n+ I n ■+■ 2!
et il y a divergence, ainsi qn’on l'a vu tout à l'Ueureel qu'on peut d'ailleurs le reconnaître directement *.
4" Supposons que, dans la série (I), le rapport d’un ternie au précédent finisse par converger vers l'unité, tout en lui restant inférieur. On a , en ce cas,
et si l'on allriltuc à n des valeurs toujours croissantes
Considérons la série (3) où le rapport d'un terme an précédent n pour expression générale
in ni (m — îj I in\m — !)(/« — 2)
— -i- ete.
ir
Lorsque le produit 11 x a pour limite un nombre plus grand que
’ On a .
-t- etc.
Il sVnsnil une la série - ,
, etc., est évidemment divergente.
l'unité , on peut écrire pour loin degré de grandeur
toute valeur de » qui dépasse un ecr-
I in (ut — 1 ) (m — 2) t
— i- . - etc.
ni étant plus yrarnl que I.
Divisons par n les deux membres de l’inégalité (S) et ajoutons 1 de part et d’autre. Il vient
lll ( lll — I ) I I . 2 H*
ele.>
et, par suite,
L’inégalité ((i) fait voir que dans la série (1) les termes finissent par décroître plus rapidement qu’ils ne le font dans la série (3). Or, rclle-ei est convergente pour toute valeur de ni supérieure à l’unité; il faut donc que la première le soit à fortiori toutes les fois que l’on a
lim /».*> I.
Lorsque le produit n* croit avec ii sans jamais dépasser l’unité, ou a pour toute valeur de n qui excède un certain degré de grandeur
n% ou I.
Il en résulte
1+ « ou I h — cl par suite ou •
La dernière inégalité fait voir que dans la série ( I ) les ternies
( IM
fi Dissent par décroître moins vite ou, tout oh plus, aussi vite qu ils le font dans la série
— 5 - > r > etc.
Or, eclle-ri est divergente. Il faut doue qu'il en soit de meme de la série (I), lorsque le produit «a croit avec » sans jamais déliasser l’unité.
Indépendamment des règles exposées ci-dessus et choisies parmi les plus simples , il en est encore une que je vais établir comme application de la .théorie des valeurs moyennes à la convergence des séries dont les termes sont tous positifs.
Soit «„ le terme général de la série (I). Si l’on pose
on peut admettre qu’à partir d’une certaine valeur « = m, la fonction f(u) ne cesse pas de décroître continûment et de converger vers zéro à mesure qu'on attribue à h des valeurs do plus eu plus grandes. Cela posé, il est visible que l’on a , d une part
et, d’autre part,
+ I v s. li1" . (
m "n> "m-i-t, ««ifl “„> “m+t> «lC.
De là résulte, en premier lieu,
(7) M“^'o„-i-M”+îon4->C^t «„-» etc. <«„ +«■+,+ «» +» +■ etc-, et, en second lieu,
(8) Mm !/h.+ W»+i m,+ jtf*4 cU*.^ etc.
On a d’ailleurs, en désignant par F(«) la fonction dont la dérivée est /■(»),
(51) M” ' >C+îw.-»-ete.+ M'.. tw.= (p— m)M£w,= F(p)— F(w).
Combinons l'équation (9) avec les inégalités (7) et (8). Nous aurons en même temps
(10) . F(/>) — F(m) <«„ etc. ■+■
et *
(11) . F (p) — F (m) > um+t + umi.t + etc. -+-
La simultanéité des inégalités (10) et (I l)montrc que la série (I) est convergente ou divergente, selon que la fonction F(«) converge ou non vers une limite déterminée pour des valeurs de »
indéfiniment croissantes. ,
Considérons, en particulier, la série
(,) ’’ F ÿ’ ï' tU'’
Ou a
fl-)-;?’
et, par suite,
Il en résulte, conformément à ce qui précède, que la série (12) est convergente ou divergente selon que l’exposant r est, ou non, plus grand que l'unité. ■
Remarque relative aux /fériés dont les termes ne sont /ms tous de même signe. — Etant donnée une série dont les différents termes se succèdent sans cesser île présenter des cliangemenls de signe, on peut la transformer en prenant tous ses termes positivement. S’il \ a convergence après cette transformation, la convergence s’étend d'elle même à la série donnée. Celle-ci, d'ailleurs, peut être convergente alors que sa transformée ne l est pas. C’est ainsi, par exemple, qu'une série dont les termes finissent par converger vers zéro et par prendre alternativement des signes contraires est
( lit )
toujours convergente, tandis quelle peut devenir divergente pur eeln seul qu’on donne le même signe à tous ses tenues. Telle est, en particulier, la série
Il 11
I , — > — > — » eh'.
2 5 4 îi
On observera que, dans le cas où les Alternances de signe s’appliquent à l'ensemble de plusieurs termes, on peut grouper les termes qui se succèdent sans changer de signe, former de chaque groupe un terme unique et ramener ainsi lu série donnée à une série dont les termes sont alternativement, l’un positif, l’autre négatif. Pour qu'il v ait convergence il sudil alors que dans la transformée les termes finissent par converger vers zéro à mesure qu’ils s’éloignent davantage.
( lii )
