CHAPITRE I

l.N 1 ElUOtÉTATIO.X CÉMJIALE l»K L Küt'ATIO.V IIIEEEUENÎIELLE df/ = / '(*) . dx

AVEC EXTENSION Al X DlKKKItKNTI ELLES UES OUBLIES SUPÉUIELiiS.

'•* *• îi’0‘entx ct U grandeurs quelconques, dépendant l'ime de I a u lie cl liées entre elles pur la relation,

Lorsqu’on suppose ees grandeurs incessamment variables cl qu'on désigne, par i ou dx pour la première , par y ou rfy pour lu seconde, leurs difFérenticllcs respectives, on a, en général.

.y == x » rw >

ou ce qui revient au même

(*) dtj • - fV) . dx.

Soient p cl y les points qui décrivent les longueurs quelconques, ou, plus. simplement , les segments de droite substitués comme

équivalents numériques aux grandeurs x cl y. On sait que les différentielles dx et dy ne sont autre chose que les vitesses respectives et simultanées des points décrivants p et q. Si, d’ailleurs, ou désigne par ajt et xy deux aecroisscments qui se correspondent à partir d'une origine quelconque déterminée, la valeur attribuée à la variable x restant la même dans les équations (I) et (2), on a, en même temps,

(3) xy = xx . . f'(x).

Lorsque l’on attribue à x une valeur quelconque déterminée, on fixe par cela seul, d’une part, l’origine des aécroissemeuts ax et ai/, d’autre part, le rapport qui s’établit à celle origine entre les vitesses simultanées des points p et q. Imaginons qu’avant fait cela, on assujettisse les points p et q à conserver les v itesses qui les animent à l’origine des accroissements considérés : les longueurs qu’ils décrivent dans celte hypothèse conservent entre elles le même rapport que leurs vitesses respectives, devenues constantes. Lu conséquence est que l’équaliou (2) comporte en même temps deux interprétations distinctes, les différentielles c/.r cl dq pouvant être indifféremment, soit les vitesses des points p et q ii l’origine des accroissements ax et ai/, soit les longueurs décrites simultanément parées points, dans l'hypothèse où ils conservent les vitesses qu’ils ont à cette origine.

Plaçons-nous à ce dernier point de vue. La comparaison des équations (2) et (3) s’accorde avec la déduction précédente en faisant voir que, pour une même valeur quelconque attribuée à dx et à xx. il y a identité entre la différentielle dy et ce que devient l'accroissement ai/, lorsque, au lieu de rester incessamment variable dans l'intervalle ajc, la dérivée f(x) est assujettie à conserver, pour toute l'étendue de cet intervalle, la valeur qu’elle v affecte à l'origine.

Delà résulte le principe suivant :

Lorsqu 'un attribue à la variable \ line râleur quelconque déterminée et qu’on fixe, par cela même, lu valeur correspondante

de la dérivée f(x), les différentielles dy , d\ peuvent être considérées comme des différences ordinaires, ayant même origine que les accroissements effectifs ay,i x, et conservant entre elles au rapport invariable.

b'2. Le principe qui vient d’étre établi s’étend de lui-même aux différentielles de tous les ordres, la variable x étant prise pour variable indépendante et assujettie à croître ou à décroître uniformément. En effet on a, généralement, d'une part,

d"y = /'"(x) . dxn,

et, d’autre part,

\ny =*x. àx“ /'"(x) *•

Il s'ensuit que si l’on attribue de part et d’autre nue seule et même vnleur aux deux quantités dx et xx, il suffit, pour identifier 1a diflércntielle d'y avec la différence ordinaire du meme ordre \“y de soustraire la dérivée de l’ordre n , f'(x), aux cliangemeuts qu'elle subit dans l’intervalle xx et de l'assujettir à conserver, pour toute l’étendue deect intervalle, la valeur qu’elle y affecte à l’origine. Ce résultat peut se formuler de la manière suivante :

Lorsqu'on attribue à la variable x une valeur quelconque déterminée, et qu'on assujettit la dérivée de l'ordre n, P(x) â conserver pour toute l’étendue de V intervalle x\ la valeur qu’elle affecte à l’origine de cet intervalle, les différentielles d"v, dx" peuvent être considérées connue des différences ordinaires ayant même origine que les accroissements effectifs ày , xx et conservant entre elles un rapport invariable.

Il est bien entendu , d'ailleurs, que si les différentielles d'y et dx' sont considérées comme des différences ordinaires, lu pre-

* Voir au besoin, |>our ce qui concerne les différentielles des ordre.' su|ic-

rieut ', le chapitre I** des applications analytiques, te 8, pages 2d et suivantes.

( IW )

inièrc est uuc différence de l'ordre n , lundis que lu seconde est lu |iuissancc de la différence tlx ou ax.

33. Les considérations développées dans le n° 31 conduisent à plusieurs déductions que nous croyons devoir indiquer, tout en avertissant le lecteur qu’il peut passeroulre et les laisser à l’écart, s’il éprouve la moindre difficulté à les bien entendre. Ces déductions ont, à nos yeux, une certaine importuner et nous pensons qu’elles offrent, non-seulement et pour certains cas, un secours utile, mais aussi et généralement, un intérêt métaplasique trèsdigne d’attention. Quoi qu'il eu soit, elles s’écartent assez des idées généralement admises pour soulever des objections spécieuses’, et d’ailleurs, il nous est aisé de poursuivre sans nous appuyer sur elles. Si donc nous les indiquons, c'est en laissanlau lecteur toute liberté d’en prendre ce qu’il vomira, rien même, pour peu qu’il les juge autrement que nous. Voici ces déductions dont l’énoncé suffit, soit parce que nous les avons déjà démontrées ailleurs, soit parce qu’il est très-lacile de les établir comme conséquences des principes fondamentaux exposés dans le cours de cet ouvrage.

I” Dans toute fonction continue, y=^=/’(x),la génération simultanée des accroissements a y et ax commence, eu général, suivant nue raison de proportionnalité incessamment variable. Cette raison est exprimée par la valeur particulière que la dérivée /v(x) affecte à l’origine de ces accroissements.

2" Lorsqu’on considère la raison de proportionnalité exprimée par la dérivée f'(x) comme affectant dans .l'intervalle Ax toutes scs déterminations successives, f équation correspondante

. ai/ = a*. acA' /■'(*)

exprime ta loi variée qui régit le développement continu de la différence ordinaire ai/.

3" Ou peut se placer à un point de vue différent , fixer l'origine des accroissements que l’on considère et supposer que, au lieu de varier incessamment dans l’intervalle ax, la raison dont il s’agit conserve, pour toute l'étendue de cet intervalle, une seule et même détermination , celle qu’elle y affecte à l'origine. L'équation cor-

( fût )

respondantc à cette hvpollièsr «si I équation différentielle rfy = f'(x) . rfi.

Elle exprime la loi uniforme tpii régit le développement continu <le l arcroisscincnt différentiel rfy, les accroissements «/y et ih r n'étant autre eliose <|iie des différences ordinaires qui conservent entre elles un rapport constant.

4“ A partir de toute origine commune, il y a identité entre le mode Ir auditoire suivant lequel commence In génération de l'accroissement effectif ay et le mode permanent suivant lequel s’accomplit la génération de l'accroissement différentiel rfy.

Quel que soit l'énoncé fourni comme traduction directe et è<f nival ente de l’équation différentielle „

dy — f(x).dx,

par cela seid que la condition exprimée a lieu d’une manière permanente et invariable dans la génération des accroissements différentiels ils et rfy, on peut affirmer, sans autre intermédiaire, qu’elle subsiste transitoirement à l’origine «les accroissements effectifs ai et ay.

ti° Soit y une fonction continue «le x à déterminer d'après les «tonnées suivantes :

1“ Une grandeur incessamment variable et représentée mimériquement par »(jr) intervient dans la génération continue «le l'aecmisscmcnt*ay.

2° Si «*ettc grandeur cessait d’étre variable et «pie, tontes choses restant d'ailleurs les mêmes, elle fût assujettie à conserver une seule et même détermination, celle qu’elle affecte à l’origine de l’intervalle ai. l’accroissement de la fonction pris dans relie hy- , politise, aurait pour mesure le produit f(x) ai, i étant la valeur quelconque choisie pour origine de l’intervalle ai.

Cela posé, l’on a comme traduction directe des données du problème,

rfy — . rf.r ,

( ISO )

ri. de cf île équation différentielle, on déduit immédiatement, stj — sx «r â ?(x), ce qui résout In question proposer.