DES TANGENTES ET DES NORMALES AUX COURBES PLANES
*34. l ue courbe quelconque étant donnée, on peut toujours concevoir un point qui la décrive. Quel que soit le lieu actuellement occupé par ce point, lorsqu'il en sort, e’est avec une certaine vitesse déterminée en direction. La droite qui fixe celte direction, et que nous avons désignée sous le nom de directrice, est la tangente à la courbe au lieu occupé par le point décrivant. De 16 les deux définitions suivantes, dont nous avons déjà démontré la rigueur absolue et qu'il importe d'avoir toujours présentes à la pensée dans les applications géométriques du calcul différentiel:
1" Lu courbe est la trace d’un point qui se meut sur une droite mobile, dite directrice, le point glissant sur ladroiteetla droite tournant autour du point, tous deux incessamment.
2" La tangente à la courbe est la directrice du point décrivant, autrement dit, la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse de ce point.
Soit une courbe plane S, rapportée à des axes coordonnés rectangulaires O.X, OY et déterminée par l'équation
Désignons par n un point mobile assujetti à décrire la ligne S;
|iar m le lieu choisi pour position actuelle du point u; par x, y 1rs coordonnées du lieu m. (Voir lig. ô, n° 'iti, page |;>4.)
Losquc le point u sort du lieu m, r’est avec une vitesse dirigée suivant la tangente et dont les composantes parallèles aux axes coordonnés sont respectivement, l'une x ou ilx, l'autre y ou il y. De là résulte, en désignant par a l'angle de la tangente avec l’axe des x *,
tang x —
'II
dx
Cela posé, il ne reste plus qu'à déterminer le rapport des deux différentielles ily et dx. La solution générale consiste à différencier l'équation (I). On en déduit
et, par suite,
On a donc aussi
Soient I et u les coordonnées courantes de la tangente en m à la ligne S. Il est visible que l'équation de celle droite étant, d'abord
= tang *,
Cet angle est relui que la partie iIp la tangente située au-dessus île l'axe des x fait avec la partie de eet axe diriger dans Ir sens positif.
( IM
on |xmiI l'écrire, eji général, sons la forme suivante :
+ ( Il — ij)
Si les axes coordonnés sont obliques au lieu d'être rectangulaires (l’angle qu'ils font entre eux étant désigné par 0), la seule différence consiste en ce que l’on doit remplacer tang x par le rapport de sin x à sin (« — «). L’équation (2) devient, en conséquence,
sin (a) <ly
sin -(o — f) dx
< t, comme la même substitution doit être faite partout, il s’ensuit que rien n'est changé dans l'équation (4).
Un observera qu’on peut passer directement de l’équation (ô) à l’équation (4). Il suffit pour cela de substituer aux différentielles il.r et <hy les différences ordinaires qu’elles expriment. Cette substitution s’accorde avec l'hypothèse que les composantes i, y conservent entre elles un rapport invariable, celui qu’elles affectent à l’instant précis où le point u sort du lieu m. La conséquence est que le point u ne cesse pas de sc mouvoir suivant une seule et même direction, celle de la tangente en ni à la ligne S. C’est donc une droite qu’il décrit et l'équation (4) est nécessairement l'équation de cette droite *.
Si l’on voulait procéder ici par application des principes du nu .‘>ô, voici comment ou pourrait s'y prendre.
Parlant de l'équation.
on observerait que l'équation différentielle
e,t cm iliflVmirrx nrtlinaim l'équation <r une liqnr qui tnurli* la conrlto R an
'i.'i. Ln normale nu |>oiul tu de in ligne S est In droite menée paire point perpendiculairement à la cour lie : elle est ainsi déterminée en même temps que In tangente. Si les axes coordonnés sont rectangulaires et qu’on désigne par % l’angle que In normale en m fait avec l’axe des x, on a l’équation de condition
tnng a . tang '/' -t- 1 — o.
De là résulte
tang
et ilésignant par I , u les coordonnées courantes de la normale
Au lieu de déduire l’équation de la normale de celle de la tangente, on peu! procéder directement, sons autre secours que celui de l’analyse différentielle. En effet, soient I, u, les coordonnées d’un point quelconque </ pris sur la normale en dehors du point in. Supposons le point a fixe cl prcnons-lc pour centre du cercle qui touche en m la ligne S. II est visible qu’on peut substituer ce cercle, à la ligne S sans altérer en rien la vitesse du point p au sortir du lieu m, ni par conséquent les composantes ilx et th/. Mais, dans
|K>inl m. Cela résulte de ce qu'en persistant dans sa détermination première, le rapport des vitesses rlx et dij n’est point altéré, ni par conséquent la direction qu’il détermine de part et d’autre à l'origine commune des accroissements.
Considérant la ligue dont il vient d’être fait mention, et substituant aux différentielles les différences qu’elles expriment , il vient, en désignant par / et u les eoordonnées courantes de celle ligne.
» trtf\
~ T) \Tr)
Or, dans un système quelconque d'axes coordonnés rectilignes, celle équation représente nue droite l.a ligne dont il s’agit est doue la tangente ellemême. . •
( IÜ4 )
l'hypothèse où le point ^ sort du lieu ni en restant sur le cercle mn, on a généralement
(2) . . (t — x)’ -t- (u — y)1 — uni = cous1'.
Il vient donc, en différenriaot par rapport aux variables x, y, (ô) . . . (/ — x) rlx ■+• (h — y) dy = n.
Cela posé, on a comme au n* .*>4, page loi ,
du
Substituant au rapportais valeur déduite de cette équation, on trouve, pour équation de la normale,
Si les axes coordonnés sont obliques, nu lieu d’étre rectangulaires, l'équation (2) est remplacée par la suivante
(S) ( t — x)* (11 — y)1 -+- '2 (t — x) (11 — y) cos h = a ni — cons'%
0 étant l'angle des axes coordonnés.
La différentiation de l'équation (.’>) donne
[f — x -f- (« — y) cos 0] ilx -4- [(/ — y -4 - (t — x) cos b] ily = 0.
I)e là résulte, en opérant comme tout à l'heure,
rfF
dx
cos b
Fig t-
et telle est l’équation de la normale dans un système quelconque d'axes coordonnés rectilignes.
ofi. Soient T = mt et N «■= mu les parties de In tangente et de In normale coin-
prises entre le point ni et l'axe des-x. Les
( IM
parties de cet axe comprises entre In projcrliifl) p du point ni et chacun dos deux points t et « prennent respectivement les noms de hou* -tangente et de sous-norniule. Nous les désignerons par les symboles ST, SN.
Cela posé, on parvient aisément aux formules suivantes, les axes étant rectangulaires,
T= ml = ,/ y/l +(£)*,
ST = pt = — y — ,
<hJ
On ohservern qu’en affectant du signe — l’cx|>ression de la sous-tangente, on indique le sens de sa direction à partir du point p.
s Application» particulière ».
’)7. Les formules établies ci-dessus s’appliquent au cas général où la courbe que l’on considère est donnée par son équation. lorsqu'elle est définie géométriquement et qu'on peut déterminer la vitesse du point décrivant, soit d'une manière directe, soit par ses composantes, il est souvent plus simple de s'en tenir à eeltc méthode introduite pour la première fois par Ruben al. Montrons, par quelques exemples, le parti que l’on peut tirer de res diverses ressources.
Considérons d’abord les trois sections coniques et, pour les embrasser toutes trois dans une seule et même détermination, définissons-les comme le lieu des points dont les distances à un point et une droite fixes conservent entre rl’es un rapport constant.
Prenons pour axe des g In droite fixe OY et pour axe des x In perpendiculaire OX abaissée sur cette droite du point fixe/-.
Soit a In distance O/', ni un point quelconque du lieu que l’on considère, mp la perpendiculaire abaissée du point ni sur l’axe
( IM
dos y, r lo rapport constant qui sultsistc, pur hypothèse. entre lo rayon veolcur fin ol lu distance mp.
On sait que le lieu dos points ni est une ellipse, line hyperbole • ou une pural>ole selon que I on a r < I, r> I mi o= I. I. 'équation générale dos trois lignes est, d'ailleurs, ainsi qu'on le voit aisément ,
De là résulte, pour l'équation de la tangente en »»,
x’, y' étant les coordon nées. du point ni.
Soit t le point où cette tangente vient couper l’axe des y. On a, pour ec point, ,
, x' f( I — e’) *' — «] «( x' — fl)
Il s'ensuit que l'équation île la droite tf se réduit à * x ’ — II
et, comme celle de la droite fin est
X — fl
on voit que /es droite. s mf, ft , sont rectangulaires.
‘ Pour obtenir celle équation. Il sullit île ilifferentier l'équation (2) et de remplacer r par x'. i/ par y', ilr |>ar .r - x'. iti/ par (/ —
L équation du Ja numide au |K»iul in étant
si I on désigne par n le point où celte normale \icnt couper l'axe îles a-, on en déduit, en posant y — o,
x — Un — a -t- <’x\
et, pur suite,
On a, d'ailleurs, (5). . . . : .
11 \ icnl donc aussi
fit — c*x'.
lit/ — ex'.
fn — c . mf.
L’é<]ualioii (4) exprime la propriété suivante :
II existe , vulve lu dislunce du foyer f uu point où lu uonuulc coupe l uxe îles x el le rayon vecteur fin . le même rapport yu entre rc rayon vecteur el ta distance du point m a lu droite fixe OY.
Des points m et n abaissons deux perpendiculaires, l’une my sur OX, l’autre ni sur fin. La similitude des triangles mfy, nfi donne, d'abord,
H ÏH
fn mf ’
cl, eu égard à l'équation (4),
fi = c . /'/ = c(x' — a).
De là résulte, eu égard à l'équation (3),
(h). . ntt — mf — fi — ex' — r(jçf' — «) — a . c — cons".
( la» )
Ln propriété exprimée par l'équation (.'») peut s'énoncer comme il suit :
Dans les sections coniques lu projection de lu normale sur le. rayon recteur est une quantité constante '.
Dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole on trouve aisément, |>our l'abscisse I du centre,
Fig.
ut, pour l'ei|ualion rapportée au centre.
Soient a', b' les axes principaux etc' l'excentricité, on a
b VT=7*'
et inversement
Soit O' le rentre; m’ le sommet placé sur l'axe b‘ ; m'y la perpendiculaire élevée en m' sur le rayon recteur fm'. On a
Si l'on désigne |>ai Ç l'angle que fait avec la normale en ni le rayon vecteur fm, ou a généralement , comme ou le verra plus loin, n° 03, page 175,
Soient f,f les deux foyers, et r,r' les rayons vecteurs conjugues fm, fm. On a
r = cx,
I iac* \ c
r — c (ia + i e' — x) — cl ia ■+■ — .i l = (ia — x -t- c’x).
Sa^il-il ensuite des longueurs désignées jmr les lettres T, N, ST, SN , an numéro précédent? On trouve
