ST

nj \/ x' [il « — (I — C*j x'j

N = r \S ir -4- y’J (I — c1) x’ «.

De là résulté

rr' = -. j ['-‘.c1 + i)ix — x* ] = («* -+- ;/*),

el, par suite,

(2). , . . . . rr' ««s1 1 = -- — — couslr — //*.

La propriété exprimée par l'équation (2) peut s’énoncer comme il suit , eu ce <|ui concerne l’ellipse cl l'hyperbole :

Le produit îles projections des rayons vecteurs sur la normale est le uu'tnc en chaque point. Il a pour mesure le carré du demi-ti.ee perpendiculaire à ta liijne des foyers.

Dans le cas de la paialsdc , il est aise de voir qu'au lieu de l'équation (2), l'on a plus simplement

r cos1 • =— = cous1'.

Dans ce cas, en effet , les longueurs mf, mp étant égales (lig. I, page loti), la tangente ml est bissectrice de l'angle fmp.

Il suit de la qu'eu désignaul par h le |Hiint d'intersection des droites ml, fp et par /, la projection de ce |xMiit sur Of,on a les eousé<|uences suivantes : Les points h et k sont les milieux respectif* des segments fp, fO. Les angles pfm, mpf, pfO sont égaux cuire eux el à l'angle désigné ci-dessus |>ar C.

Les triangles /7on, fhk, tous deux rectangles, l'uu en h, l’autre en k, donnent les relations

fh = r . cos C. kf’szfh. eos ;.

De la résulte, eu remplaçant kf par jy *

lit . eus » — r eos- » = - •

o8. Conscrv uns les notations précédentes et jvrocédons pur voie géométrique.

Lorsque le point in sort du lieu qu’il occupe, lu droite /m tournant autour du point /'et la droite mp se déplaçant sans changer de direction, un rapport constant subsiste, par hypothèse, entre les longueurs que le point in décrit simultanément sur chacune de ces droites. Il s'ensuit que ce même rapport s’établit entre les vitesses simultanées qui animent le point ni, l’une suivant fin , l’autre suivant mp. Un sait d'ailleurs que ce rapport est précisément le même que celui de la longueur fin à la longueur mp. La conséquence est que si l'on prend la longueur mf pour représenter en direction, sens et grandeur la \ ilesse actuelle du point m sur la droite fin, on doit prendre en même temps la longueur mp pour représenter en direction, sens et grandeur la vitesse du point in suivant la droite mp.

Cela posé, le point m étant considéré d’abord comme restant sur la droite fui , il est \ isible que sa \ itesse totale n pour composantes rectangulaires : 1° lu vitesse de glissement mentionnée tout à l’heure et représentée par mf ) 2° une \ itesse de cire ulalion normale à la première et, par conséquent, parallèle à la droite fl menée pur le point f perpendiculairement à fin. Concluons en premier lieu «pic le segment de droite, qui représente en direction, sens et grandeur la vitesse totale du point m, aboutit quelque part sur la droite ft.

Si maintenant nous considérons le point in comme restant sur la droite mp, le même raisonnement nous fait conclure que le segment de droite, «pii représente eu direction, sens et grandeur la vitesse totale, du point m, aboutit «piehpie part sur la droite pO menée par le point p perpendiculairement à la droite mp. Il s’ensuit que, située à la lois sur chacune des droites fl, pO, 1'exlréiuilé de ce segment ne peut être qu'en t, à leur intersection. C'est donc suivant mt qu'est dirigée lu vitesse actuelle du point m et, pur conséquent aussi , lu tangente en ce point.

On observera «|ue , pour parvenir à ce résultat, nous aurions pu nous borner à invoquer la règle générale du «piadrilatèrc «les vitesses, règle exposée à la page 12 de la I" partie, ir 14.

Cette première propriété des sections coniques fournit un tracé très-simple de la tangente eu un point quelconque m.

On élève en f sur le rayon vecteur fin une perpendiculaire i/uel'on prolonge jusqu'à sa rencontre eu t avec la droite OY. La droite lin est lu tangente cherchée.

Les angles mpl , infl étant droits, le quadrilatère mpl/ c st inscriptible dans la circonférence de cercle ayant ml pour diamètre. Il s'ensuit que si l’on tiré la droite fp, le triangle fmp est semblable au triangle nfm, inn étant lu normale au point in. Lii effet, les angles mfn, pmf sont égaux comme alternes internes. D’un autre côté, les anglcsm pf, finit sont égaux entré eux, puisqu'ils le sont à un même troisième (lin, le premier comme ayant même mesure dans le cercle ftpm, le second comme compris entre des côtés respectivement perpendiculaires à ceux de l’angle fini. De là résulte immédiatement .

fn = fut . — - = c . fin.

Le reste s’achève comme au n” î>7, page I ’>7 . par voie purement géométrique et donne, en conséquence,

(2) mi = c .u — cous1'.

On peut observer, d’ailleurs, qu’eu abaissan l du point n sur in la perpendiculaire ni , un forme deux triangles rectangles, l’un «tin semblable au triangle mft, l’autre uif semblable au triangle fOt La comparaison des deux premiers, donne

•n» fl

in fin

celle des deux seconds,

in <)/' u

De là résulte, en multipliant membre à membre,

mi a

ut, eu égard à l'équation (1),

(3). mi = c . a = eons1'.

Les équations (I) et (3) fournissent les énoncés suivants applicables aux trois sections coniques;

t" Le rayon vecteur du point m eut moyenne proportionnelle entre lu distance de ce point <1 la droite OY et ta distance du jwint f au pied de la normale;

2° Lu projection de la normale mn sur le rayon vecteur fm est une quantité constante.

ü'J. Considérons encore les sections coniques, mais séparément et en adoptant pojir chacune sa définition ordinaire. Pour plus de simplicité nous procéderons exclusivement par voie géométrique.

S’agi tril d abord de la parabole? Elle est définie : le lieu des points équidistants d’une droite et d’un point tous deux fixes. Dès lors rien ne change dons la solution précédente, si ce n’est que I égalité des longueurs mf, mp implique celle des triangles ni fl, mpt, et par conséquent aussi celle des angles fini, pmi. De là résultent plusieurs propriétés dont il sullit que nous énoncions les sui-

vantes:

Sans rien changer aux notations précédentes, transportons 1 axe pjy s des y en A milieu de Of et sommet de

la parabole; prolongeons la tangente mt fÇ , ' jusqu’à sa rencontre en s avec l’axe prin-

\ / / . \ eipal /AU pris pour axe des abscisses :

i yS fC if-., i \

fi --.: \ / P--A 1° La tangente ml est dirigée sui- A 0 A ■ /• ' / * vanl la bissectrice de l’»igle pmf. Elle

est parallèle à la bissectrice de l’angle mfq;

2° Le triangle stnf est isocèle : il donne fm — fs. De là, et eu

égard à fin — mp, résulte d’abord fs •*= mp = O q, et ensuite A q = As. La nous- tangente sq est donc, double de l'abscisse Aq;

5" La normale étant dirigée suivant la bissectrice du supplément de l’angle pmf, il s'ensuit que la sous-normale uq est égale à la projection mi de la normale inn sur le rayon vecteur fin , et <|u'en conséquence elle est constante et égale à O /’<= «.

S’agit-il ensuite de l’ellipse? Elle est définie : le lieu des points dont les distances à deux points lixes, nommés foyers , forment ensemble une somme constante.

Soitm un point de l’ellipse; f, f, les foyers. Tirons les rayons vecteurs fin, fin.

Dans la description de l’ellipse le point m peut être considéré comme glissant sur l’un ou l’autre des deux rayons vecteurs fut, frn, tandis que ce niêmi/” rayon tourne autour du foyer qui lui correspond. Il s’ensuit que sa vitesse j totale a pour composantes : 1" la vitesse de glisscmrnldu point ni sur le rayon vecteur que l’on considère ; 2" une vitesse de circulation perpendiculaire à ce même rayon. Cela posé, puisque les deux rayons vecteurs forment ensemble une somme constante, il est aisé de voir que les vitesses de glissement du point m sur ces rayons sont égales cl de signe contraire. De là résultent, conformément à la règle du quadrilatère des vitesses, les conséquences suivantes :

riy. H.

1“ Lu vitesse totale du point m et, pur conséquent , lu tangente en m à l'ellipse sont dirigées suivant lu bissectrice de l'angle que l'un des rayons vecteurs fuit avec le prolongement de l'autre;

2” La normale en m est dirigée suivant la bissectrice de l'angle que font entre eux les deux rayons vecteurs aboutissant en ce point. * »

Soit u le point où la normale en m vient couper lu droite ff. I/égalité des angles finit, f ’inn , donne la proportion

fui

fn fin

( Hii )

Eu désignant (Mir '2u lu somme des rayons vecteurs, ou eu déduit celle autre proportion

fin 'lu

— cons,r.

L'équation (I) montre que le rapport des longueurs fm, fit demeure invariable et que, par conséquent, re même rapport subsiste entre les vitesses île glissement du point m sur fm et du point n sur fl”.

Désignons par r la première de ces vitesses, et par u la seconde. On a d’abord

fin

Du point n abaissons sur fm la perpendiculaire ni et considérons les déplacements simultanés des points m et t sur la droite fm, le point m restant sur l’ellipse, la droite fm tournant autour du point f, le point n glissant sur ff et entraînant avec lui la droite ni assujettie à rester perpendiculaire au rayon vecteur fin.

Soit a la vitesse angulaire de la droite fm autour du point /. Lu vitesse de circulation du point m est u.fin. Soit ^ l'angle finn. Cet angle est égal a celui que la vitesse totale du point m , dirigée suivant la tangente ml, fait avec la perpendiculaire élevée en m sur fm. L’est d'ailleurs suivant cette perpendiculaire qu’est dirigée la vitesse de circulation u.fm. On a donc, ainsi qu’on le voit aisément,

co . fin mi * •

e in

■ On déduit de là, eu égard à l'équation {'2) ,

l.a vitesse totale du point m ayant |H>ur composantes rectangulaires les vitesses celui, fm, le rap|Mirt de la première de ces composantes à la seconde n'est autre chose que la tangente de l’angle ” que la vitesse totale du |>oiu( m fait avec la composante -o. fin.

Observons ici que In il roi le in, assujettie à rester perpcndiciilaire au rayon vecteur fin, tourne nu tour du poii^t u avec la vitesse u et communique, en conséquence, au point i une vitesse a. in dirigée suivant fin. La droite in est animée, en outre, d’une translation dirigée suivant ([' pour le point « et représentée par u. Ln vitesse qui résulte de cette translation pour le glissement du pointi sur fm est évidemment u eos ?, * étant l’angle mfn. On a, d’ailleurs,

u eos « — m —

De là résulte, pour la vitesse totale de glissement du point i sur la droite fin,

a. in -+- u . cos «,

mi, ee qui revient au même, eu égard aux équations (2), (S), (4),

mi A fm

(n (n fn

L’équation (o) montre que les vitesses des points m et i sur la droite f m sont égales et de même sens. De là se déduit la conclusion suivante:

La projection île la normale mn sur les rayons recteurs fm, fm est constante.

S’agil-il enfin de l'hyperbole? Elle est définie : le lieu des points dont les distantes à deux points fixes, nommés foyers, diffèrent entre elles d’une quantité constante. Les déductions sont les mêmes que pour l’ellipse. Le seul changement consiste en unr inversion des directions respect i ves affectées par ln langrn te et par la normale.

La tangente en m est dirigée suivant la bissectrice de l'angle que fonlentreeux lesdeux rayons vecteurs aboutissant en ce point.

La normale eu m est dirigée suivant la bissectrice de l'angle gue l’un des rayons vecteurs fait arec le prolongement de Vautre.

( l«fi )

Les propriétés signalées pour l’ellipse subsistent et se démontrent de la même manière pour l’bvperlmle.

Dans le cas de la paral>ole avant pour équation

le ealcul donne, pour équation de la tangente,

et, pour la sous-tangente et la sous-normale,

ST. = 'ix' , SN — p — cons1'.

Dans le cas de l’ellipse un de l’hyperbole gyant pour équation «y ± 6’xa = o1/»*,

le cnleul donne |>our équation de la tangente u*yy' ± li'xx' = aV>*.

GO. Considérons, en dernier lieu, les deux eourbes connues, l’une sous le nom de logarithmique, l’autre sous celui de eyclo'iile. Soit d’abord la logarithmique ayant pour équation

(I) x = a . log— ,

ou, ce qui revient nu même,

y = me".

Le calcul donne :

1° pour équation de la tangente,

2* pour équation dr la normale ,

P0"*’ la sous-tangente et la sens-normale,

ST — a = cons1'., SN = — •

Soit ensuite la cycloîde. Elle est engendrée par un point d’une

circonférence de cercle qui roule snns glisser sur une droite fixe et qui s’y développe ainsi tout entière.

Soit m une |)09ition quelconque du |>oint générateur.

Représentons par nmb le cercle roulant, et parOX la droite fixe suivant laquelle il se développe.

Soit n le point où le eerelc et la droite se touchent. Si nous prenons la longueur On égale à l’are nin, le point O sera l’origine de In cycloîde. Plaçons en ce point l’origine des coordonnées, les axes étant rectangulaires et dirigés respectivement suivant les droites OY, OX.

Du point in abaissons sur le diamètre nc6la perpendiculaire «u/. En désignant par r le rayon cm du eerelc roidant, par x l’abscisse Op du point m, on a, pour équation de la cycloîde,

x = On qp pn=r arc ens — T V '■Iry — y*.

Lorsque le point m sort du lieu qu’il occupe en restant sur la cycloîde , c’est par rotation autour du point» que son mouvement commence. Il suit de là que les droites $nb, mn sont, l’une la tan-

gcnte, l'autre 1» normale en ni. La sous-tangente est pt, la sonsnormale pn. Partant de ces données géométriques, oa trouve :

I" pour équation de la tangente,

2° pour équation de la normale,

On a de même

, « / Sr

N = V '2nf,

sw y/, y'

S.N » V'irxf —

Ces résultats s'accordent avec ceux que fournit l’application des formules générales établies précédemment.

Extension (les résultats précédents an cas des coordonnées ]wl aires.

(il. Proposons-nous de résoudre pour le cas des coordonnées polaires les questions traitées ci-dessus pour un système de coordonnées rectilignes.

Soit m un point quelconque d’une ligne S. Les coordonnées qui pjg $ déterminent le point m dans le système, polaire m\ sont au nombre de deux :

L’une est la distance du point m à un point lise O désigné sous le nom de pèle. Cette disj tance est ce qu’on nomme le rayon vecteur du point m. Nous la représentons par r.

L’autre est l'angle que le rayon vecteur 0*« : / fait avec une droite fixe 01 désignée sons le nom

(• Ifill )

d’axe polaire, ou simplement d'axe, ni menée par le point O. .Nous représentons cet angle par 9. »

Cela posé, l’équation de la ligne S exprimée en coordonnées polaires est nécessairement de la forme

Soit mm' In vitesse du point m au sortir du lieu qu’il occupe sur la ligne S. Du point m' abaissons sur Om la perpendiculaire mm". Le point m glissant sur la droite O m, tandis que celte droite tourne autour du point O, les composantes de la vitesse mm' sont respectivement, l une la vitesse de glissement

mm" — r — dr, ’

l’autre la vitesse de eireidation

mm" =±= rb — r.db.

Désignons par y l’angle m'mm" que In vitesse mm' fait avec le prolongement du rayon vecteur Om. On a tout d’abord

On sait, d'ailleurs, que la tangente en ni à la ligne S est dirigée suivant la vitesse mm'.

Par le point O menons une droite nOl perjicndiculaire au rayon vecteur O»», et prolongeons, jusqu'à leur rencontre avec cette droite, d’une part la tangente m'mt , d’autre part la droite mn, supposée normale en m à In ligne S.

Les longueurs que l’on désigne ici sous les noms de tangente, normale, sous-tangente et sous-normale, et que l’on représente comme ci-dessus par les lettres T, N, ST, SN, sont les suivantes,

T — ml, N — mn . ST = O/, SX = O/t. .

Il en résulte. ainsi qit'oiHe voit aisément sur la figura.

T = — = r V I -4- tg*y=f v/l + »'* (4~) *

COS y ▼ \III7

N = -7— — = 1/ 1 h1 tg‘ y — \/ r* -4- ,

sin y Ig y v WH 1/

ST = r Ig y = r* ^ , dr

SN = r rot y = — di

et la valeur «lu rapport se déduit de l’équation différentielle

Si, dans ecttc équation, on désigne par r', 9' les coordonnées du point m, et qu’on remplace Itfs- différentielles dr, du par les différences qu elles expriment, il vient

(5). . . (r — r') F^(r', e') -4- (9 — o'JF^r', 9') = o,

c’est-à-dire l’équation de la courbe connue sous le nom de spirille d’Archimède.

Lorsque l’on substitue l’équation (5) à l'équation (4), en conservant aux dérivées partielles F), (r', 9'), (r',9') ainsi qu’aux gran-

deurs r', 9' les valeurs qu’elles affectent au point m, on n’altère en rien les composantes de la vitesse mm'. Il s’ensuit que l’équation (S) exprime, en général, celle des spirales d’Archimède qui touche en m la ligne S*, et pour laquelle les accroissements simttl-

’ Quel que soit le système de coordonnées que l'on considère, l'équation qu'on obtient en diiTérentiant celle d’une ligne quelconque est toujours l'équation linéaire correspondante à ce système. Elle exprime ainsi, parmi les lignes que l'equation linéaire représente, celle qui louche la ligne donnée au point pris pour origine commune des accroissements

lani-s sr, su, conservent cnlrt' eux un seul et même rapport, celui qui s'établit entre les vitesses r, », an point m de In ligne donnée.

A ppl irai ions particulières.

Ci. Appli({uons a quelques cas’ particuliers les formules établies ci-dessus.

Soit d abord la spirale d'Archimède. Ramenée à sa forme la plus simple, l’équation de cette ligne est

r — no .

De là résulte

tgy = - = 9, SX — a.

Il s'ensuit que la sous-normale est constante et que l’angle y, nul pour a = o, croit constamment avec fl, de manièreà converger vers la limite y à mesure que l’angle fl ^devient de plus en plus grand

Soit , en second lieu , la spirale hyperbolique ayant pour équation

De'là résulte

<gr= =— «, ST== — a.

Ici donc c’est la sous-tangente qui demeure invariable. L'angle y subit d’ailleurs, au signe près, les memes conditions que dans le cas de la spirale d'Archimède. •

La spirale hyperbolique offre l’exemple d’une courbe qui se rapproche indéfiniment d’un point, en tournant autour de ce point et sans jamais l’atteindre.

Soit, ni troisième lieu. In spirale logarithmique avant pour équation

r = tu . e" .

Il vient

tg y — «,'T — c V \ -t- u1, N

ST — r.u. , SN

Ou voit ainsi que celle spirale eoupc en chaque point, sous un seul et même angle, le rayon vecteur correspondant.

Les valeurs de la sous-tangente et de la sous-normalc font voir en outre que les extrémités I et n de ces lignes ( vojr la ligure du numéro précédent, page 108), sont situées respectivement sur des spirales identiques avec la première. Pour obtenir ces spirales dans leurs vraies positions, il faut faire tourner la première autour du pèle pris pour origine, le déplaeenfenl angulaire étant égal à l'angle — « log « s’il s'agit du point I , et à -+- n log a s'il s'agit du point ». Dans le cas particulier où la quantité a est égide à l'unité, les trois spirales se confondent.

Lorsque l’on attribue à l'angle 9 des valeurs négatives de plus en plus grandes, le rayon vecteur converge vers zéro. Il s’ensuit cpie la spirale logarithmique est, comme la spirale hyperbolique, une courbe qui tourne autour d'un point, en s'en rapprochant toujours et sans jamais l'atteindre.

Soit, pour dernier exemple, les trois sections coniques. Les notations restant les mêmes qu’au n* î>7, page li)î), si Ion prend le point / pour pôle et OX pour droite fixe, on peut écrire immédiatement, comme équation générale des trois sections coniques.

r = c(« reos 9),’ on, ce qui revient au même.

1 — r cos o

De là résulte

ou , désignant par g la perpendiculaire abaissée du point m sur la droite OX,

Oii voitainsi que dans les sections coniques , le produit'dc la perpendiculaire abaissée d'un point sur la ligne des foyers par la tangente de l'angle que la touchante eu ce point fait avec le rayon vecteur est une quantité constante.

Soit : l’angle que fait avec la normale en m le rayon vecteur [m. Les angles étant compléments l'un de l'autre, on a

eos f— sin y ,

et, eu égard à l’équation (I) ,

» « eos* C— -■ ,

Ainsi se trouve établie la relation dont nous avons fait usage au n" 37 (voir la note qui se rapporte à ce numéro, page 138), et qui nous a conduit, pour l'ellip^c et l'hyperbole, à l'équation générale

r.r eos j> =

couslr = I/1.

Des ajssymploles considérées comme positions limites îles tangentes dont le jwinl de contact s'éloigne indéfiniment.

03. Lorsqu'une courbe a «les branches qui s’étendent à l'infini, s’il arrive en méinc temps quelles se rapprochent indéliuimeut de quelques droites, ou désigne en général ces droites sous le nom

d ’astijmptotes. A ce point de vue I on peut dire aussi des assymptotes qu’elles sont les limites des tangentes dont le point de contact s'éloigne au delà de toute dislanee assignable.

Soit

(équation d’une courbe susceptible d’avoir une ou plusieurs assymptotes et rapportée , par hypothèse, à un système cpielconquc d'axes coordonnés rectilignes.

L’équation générale d’une tangente à cette courbe étant

la question se réduit a chercher ce que devient, eu égard à l'équation (1), la droite représentée par l’équation (2), lorsque l’on attribue à l’une ou l'autre des variables x, y une valeur indéfiniment croissante. Si celle droite ne cesse pas d’être réelle, etqu’elle tende vers une ou plusieurs positions déterminées, chacune de ces positions fournit une assymptole.

On observera qu’il ne suffit pas toujours d’éliminer de l'équation (2) l’une des variables x, y et d’attribuer à l’autre une valeur infiniment grande. S’il existe une assymptole parallèle à Taxe de même nom que la variable éliminée, elle échappe à la recherche faite dans ces conditions et, pour la mettre en évidence, il faut répéter d'opération , en éliminant à son tour celle des deux variables quei’on avait d'abord conservée.

Nous avons supposé tout à l’heure que la courbe dont on cherchait les assymplotes était rapportée à des axes coordonnés rectilignes. Supposons maintenant que son équation soit exprimée en coordonnées polaires. Les directions des assymplotes sont déterminées pur les limites vers lesquelles l’angle <> peut converger lorsqu’on attribue au rayon vecteur r des valeurs indéfiniment

Uaus cette équation i et u sont les coordonnées coma ni es de la tangente, x et y eélles du point de contact.

grandes. Soit * l’un de ces angles limites. La perpendiculaire abaissée d'un point (|uclconqnc de In courbe sur la droite uitftiéc l>ar le pôle sous l’angle 8 = x a (tour expression générale.

r sin (8 — «).

La limite vers laquelle cette expression peut converger lorsque l’on donne à r des valeurs indéfiniment croissantes détermine la distance de l’assymptote au pôle et sa position relative.

Applications particulières.

61. Recherchons, pour exemple, les assymptoles de quelques courbes.

Soient d’abord les sections coniques ayant pour équation, comme au n* 57, page 156,

(1) . . . - . . y* -t- (x — u)* = c1 or’.

L'équation générale de la tangente devient, après réduction,

(2) . . yy’-<-x[(l — r’)x' — o] 4- a (« — x') = o.

Passant à la limite, les équations (I) et (2) donnent respectivement, la première ,

lim —, = ± \/]* |,

la seconde ,

(3) x (I — r*) ± yV c* — 1 *= a.

On voit ainsi que c’est uniquement dans l’hypothèse r > I , c’est-à-dire dans ld cas de l’hyperbole, que les sections coniques admettent des assymptoles. Ces assymplotes, représentées par l’équation (5) sont au nombre de deux; elles se coupent sur l’axe des x au point dont l’abscisse est — - et sont disposées’symctriqucmcul par rapport à cct axe.

Si l’on prend, au lieu de l'équation (1), l'équation polaire du il0 82, page 172,

1 — c eos 6 «= — > r

l'on en déduit

• liin (1 <• eos a) = o ,

ce qui exige comme tout à l'heure que l’on ait <•> I et ce qui donne, en désignant par .x la limite de a,

cos % — - »

cl, pur conséquent,

Ig a = ± |/r* — I .

Si l’on opère ensuite sur le produit

r sin (a — *) — r [s*11 ,J cos * — siu v. cos a] ,

on trouve

lim »• . sin (a — a) =? ± — ■■ ■ ■ »

ce qui exclut la valeur c — I et s'accorde avec les résultats précédents.

Soit encore la logarithmique représentée, comme au n° GU, page IGG, par l'équation

; y = ui . em,

On a, pour équation générale de la tangente,

ou , cc qui revient au même ,

/ x\ mx' -

y = me ( 1 h — I e •

Passant à 1a limite pour des valeurs de x' supposées négatives et indéfiniment grandes, on trouve, pour asymptote,

Ce résultat est d’ailleurs évident « priori.

Soit, en dernier lieu, la spirale hyperbolique représentée au u" 62, page 171, par l'équation

Il vient

lim O — o.

Un a ensuite

. .. /« lu3 \

Inn r sin h — uni . r ; etc. I = «.

On voit doue que celle courbe a pour asymptote une droite parallèle à Taxe et située au-dessus de ect axe à la distance a. Terminons ce sujet par une remarque touchant la courbe

ii — a sin — •

Celle courlie a l’axe des x pour asymptote. Elle présente en ou Ire l’exemple singulier d’une ligne qui se rapproche indéfiniment de l’axe des y sans jamais l’atteindre, sans cesser d’osciller toujours entre les limites y — y — — «.