CHAPITRE

DIFFÉIIE.NT1F.LLES DE l'aRC ET 1)E l'aIKE D’UNE COURBE PLAJSE.

Rectifications et quadratures.

6b. Soit MM' une coürbc plane. Supposons d'abord qu’elle soit

Fig. 9.

rapportée à des axes .réordonnés rectangulaires OX, OY, et désignons par s lu longueur d’un arc quelconque Mm mesuré sur la courbe à partir du point M.

Soit u. un point mobile assujetti à décrire la ligne MM’ et sortant du lieu w à l’instant que l’on considère. La v itesse actuelle du point /u est dirigée suivant la droite int tangente en m à la ligne MM'. Représentons celte vitesse par le segment mm', et du point ni abaissons les perpendiculaires mp, m'a sur les droites mp, mq menées par le point m parallèlement aux axes OX, OY. Les segments mp, mq sont les composantes orthogonales de la vitesse mm' ; on a, d’ailleurs, par définition,

mp — x = dx ; mq = y = dp; mm’ = i = ds.

Le triangle mm'p rectangle en p donne, en conséquence,

r/a* = f/x* -t- dy1.

cl, par suite,

Dans la description de la courbe MM' par le point u, ce point glisse sur la tangente, et la tangente tourne autour de ce même point, tous deux simultanément. La rotation de la tangente n’a d'autre effet que de changer incessamment lu direction du point P : elle n'altère en rien la vitesse de ce point considérée comme grandeur, ni par conséquent l’étendue linéaire décrite en vertu de cette même vitesse. Cela posé, tandis que le point p décrit la courbe MM', concevons un autre point p' mobile sur une droite fixe, et animé d’une vitesse qui passe à chaque instant par les mêmes degrés de grandeur que celle du point p. Il est visible que les longueurs décrites simultanément de part et d’autre, l’une par le point p, l'autre par le point /i' , sont constamment égales. Concluons qu’il suffit de considérer la vitesse ils déterminée par l'équation (2) comme étant celle d’un point qui se meut en ligne droite, pour obtenir au moyen de l’équation (3) la rectification de l'arc décrit par le point p sur la courbe MM' dans le même inter- * vallc.

Veut-on préciser davantage? Tout se réduit à considérer le mouvement simultané de deux points qui décrivent eu même temps des segments rectilignes, l'un avec la vitesse constante (Ijc, l'autre avec la vitesse incessamment variable

(4) *-rf..VI+(c)*

Le premier de ces point? est la projection du point m sur 1 axe OX. Le second est le point p\ Tandis que le premier passe de l’abscisse quelconque x — a à l’abscisse n+ir et décrit ainsi la longueur sx , le second décrit une longueur égale à celle de l’arc a s compris entre les points de la courbe MM' qui correspondent respectivement aux deux abscisses « et a + sx. La vitesse de ce

second point dépend ù chaque instant de la position du premier,

c'est-à-dire de l'abscisse x qui détermine en même temps cette

du

position, et la valeur correspondante de la quantité — . On a d’ailleurs, en général,

.Soient a, C les angles que la tangente en m fait avec les axes OX, O Y ; la simple inspection du triangle inni'p donne immédiatement

.... dx . dy

(II) eus * = -— ) <«S% = -r-‘

«s ils

06. Supposons en second lieu que la ligne MM' soit rapportée à un système de coordonnées polaires, avant le point O pour pôle et la droite OX (mur axe. Supposons, en outre, qu’on prenne pour composantes orthogonales de la vitesse min', d’une part, la vitesse de glissement du point « sur le rayon vecteur Oui, d’autre part, la vitesse de circulation de ce même point autour du *■ pôle U. L’une de ces vitesses étant dr = mp, m'p, on a évidemment *

Fig. 10.

et l’autre, rds

(/s1 — dr* -4- r* </»’.

I>e là résulte

<*> *-*vMî) ’

et, par suite,

(3) . . . . AS- ASM 6S*',\/,t + [t)

Un ilcsignc ici |«ar $ l'angle que le rayon vecteur (lia fait avec l'ave OX.

La rceli lien lion s obtient iri, comme tout à I'Iipupp, en eonsnlérant deux points qui décrivent simultanément des segments rectilignes, l’un avec la vitesse constante do, l’autre avec la vitesse incessamment variable

sur la droite à décrire par le premier point on fixe une origine correspondante à 0 — o. Cela posé, tandis qu'il passe de la position o' à la position o' \o et qu’il décrit ainsi la longueur as, le second point décrit une longueur égale à celle de l’arc as compris entre les points de la courbe MM' qui correspondent respectivement aux deux nngles 6' et 6' -t- La vitesse de ce second point dépend à. chaque instant de la position du premier, c’està-dire, de l’angle * qui détermine en même temps cette position et la valeur correspondante de la quantité r* -t- On a d’ailleurs, en général,

Soient *, et y les angles que la tangente en m fait avec l’axe OX et le rayon vecteur O m, on a

. , ' rdo

tg (* — o) = tg . r== ~ir •

cl, par suite,

do

i. = 9 •+• arc tg r. — dr

(i7. Soit On jh un triangle limité par «leux droites fixes 0«, am Fiij. II. et par une droite O ni mobile autour du point O.

I' étant la surface du triangle On»», h la perpendienlaire abaissée du ]>oint O sur la base ma, cl x cette base, on a généralement

hx

Représentons par mm' la xilcssc x ou ilx du point m et aehevons le triangle mm'm" dont les rôles mm", m'm" sont respectivement dirigés, l'un perpendiculairement, l'autre parallèlement à la droite Om. Si nous tirons les droites Om’, 0/m", il est visible que les triangles Omm', O mm" sont équivalents, puisqu’ils ont meme base Om, et leurs sommets m', m" situés sur une même droite parallèle à cette base. De là résulte en premier lieu la déduction suivante :

La différentielle dll ayant pour expression numérique le produit— on peut la représenter indifféremment par l'aire de l’un ou l’autre des deux triangles Omm', Omm".

Prenons pour expression de la différentielle dû l’aire du triangle Omm", et observons que dans re triangle la base mm" est la vitesse de circulation communiquée au point m par la rotation de la droite Om autour du point O.

Soit 06n un second triangle limité comme le premier, avec cette seule différence que la droite ont soit remplacée par la droite 6m : un" étant la vitesse de circulation communiquée au point a par la rotation de la droite Om autour du point 0, son extrémité n" aboutit nécessairement à la droite Om"; et la différentielle de l’aire 06m est représentée parle triangle Omm" en même temps et de la meme manière que celle de l’aire 0 atn est représentée par le triangle Omm".

Concluons qu’en désignant par A l’aire du quadrilatère amnl> on a, pour expression de la différentielle d\, l’aire du trapèze mm"n"n.

Ce résultat est indépendant des directions suivies pafr les points m et n à l’origine de leur déplacement simultané. La conséquence est qu’il subsiste en général et qu’il s’étend ainsi de lui-méme au cas où les droites am, In seraient remplacées par des lignes quelconques situées dans un même plan et passant, l'iiue par le point

m, l'autre par le point n. Voici (railleurs l’énoncé qu'il fournit, sous forme de théorème :

La différentielle de l’aire engendrée par segment de droite gui se meut dans un plan entre deux lignes quelconques est égale au produit de re segment jnir la vitesse de circulation de son point milieu.

Cet énoncé général comprend le cas particulier où la droite mobile se meut par translation. On peut d'ailleurs prendre ce cas à part, et le traiter directement ou par la réduction à l'absurde. Suivons de préférence ce second procédé qui offre l’avantage d’étre en même temps très-simple et d’une application générale A tous les cas analogues.

Soit z une ordonnée mobile dans un plan et limitée par deux Fig. It. droites fixes ab, cd. L’ordonnée z, représentée r /, par mn conserve par hypothèse une direction

^ ; constante; elle engendre ainsi l’aire trapézoïdale

umne. Soient A cette aire, et li une droite menée c1— ^ par le point «» parallèlement à cd.

"■ ~ ^ I, 'ordonnerez croit ou décroît selon qu’elle va

de gnuehe à droite ou de droite à gauche au sortir du lieu quelconque mn. Dans le premier cas, la différentielle d\ ne peut être inférieure à zù , û étant la vitesse de circulation commune iï tous les points de la droite mn. Elle est donc égale ou supérieure A ce produit. Supposa ns-la représentée par

Il en résulte évidemment que , dans le second cas , elle est représentée en grandeur par

(s — Ré-

cria posé, imaginons qu’après a\oir fait eroitre l’aire A d’une quantité quelconque aA, on la fasse décroître de cette même quantité, l'ordonnée s et la vitesse à repassant eu sens inverse par

( la* )

les mêmes valeurs. /, hypothèse ml mine implique la conséquence absurde exprimée par l’équation

aa - A*(S + ,) « a,/m;+ A“(= - ,),

et consistant , au point de vue des équivalents numériques , en ce que les longueurs décrites simultanément par deux points animés respectivement, l’un d’une vitesse plus grande (z >>) ri, l’autre d’une vitesse plus petite (z — *) ü , seraient égales entre elles. Concluons qu’on a nécessairement

et, par suite,

V— <>, i\\. — zi/.

Ce résultat subsiste indépendamment des directions suivies par les points m et n à l’origine de leur déplacement simultané. Il est donc tout à fait général et s’étend ainsi de lui-même au cas où le segment mn est intercepté entre deux ligues quelconques. Celle remarque suflit: elle montre que le théorème formulé ci-dessus s’applique à tous les cas possibles, la direction du segment uni pouvant être constante ou bien incessamment variable.

68. Considérons l'aire A engendrée par l’ordonnée y d’une courbe plane MN rapportée à deux axes O.X, OY. Soient mp cette ordonnée, * l’angle XOY, cl dx la vitesse du point p sur l’axe OX. La vitesse de circulation commune à tous les points de l’ordonnée y est évidemment dx. sin a. De là résulte , en général ,

dA = y . sin » . dx,

et . si les axes sont rectangulaires ,

(2) d\ — y . dx.

On n d’ailleurs, dans le premier cas,

(ô) sA = a.t . sin r . M*+iry,

pt, dans le second ,

(4) i A AxM’+i,y.

On voit par les formules (3) et (4) que l’aire comprise eglre une courbe plane, l'axe des abscisses et deux ordonnées quelconques, est équivalente à celle du parallélogramme ayant pour base I intervalle \x compris entre les ordonnées extrêmes , et pour coté adjacent l'ordonnée moyenne intermédiaire.

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une aire A engendrée pur le rayon vecteur d’une courbe plane rapportée à des coordonnées polaires. En désignant, comme ci-dessus, par r, le rayon vecteur, et par S, l’nngle compris entre ce rayon et l’axe, la vitesse de circulation du point milieu du rayon r est évidemment -j do. On a donc

(j) il A — — ih:

iJ

et, par suite.

(fi) aA = - ûS . A '' r .

On voit par la formule (fi) que Paire compris^ entre une courbe plane et deux rayons vecteurs est équivalente nu secteur circulaire que ces rayons comprennent entre eux et dont le rayon a pour carré la moyenne arithmétique des valeurs affectées par r' dans l’intervalle ao. On peut dire aussi qu elle équivaut nu rectangle ayant pour hauteur cette moyenne et pour base la moitié de l are qui mesure l’angle so dans le cercle aynnl l’unité pour rayon.

(.a substitution à des aires quelconques d’autres aires équivalentes et susceptibles d’être transformées directement en carrés constitue ce qu’on nomme, en général, la quadrature des aires.

fit). Au lieu de procéder comme nous l’avons fait, dans les deux numéros qui précèdent, il est plus simple d'emprunter le secours ■lu théorème suivant:

Lu différentielle d’une fonction ne change point , en général, de grandeur , mi ai* seulement de signe, lorsgue la différentielle de la variable chunge de signe sans changer de grandeur.

On pourrait croire, nu premier abord, que ee théorème, en quelque sorte évident , est toujours la conséquence immédiate et nécessaire de l’équalion fondamentale

dg — f'(x) . dx ;

ee serait aller trop loin. La dérivée f'(x) jk*uI prendre accidentellement deux déterminations différentes, selon qu’à partir de l'origine fixée par la valeur particulière attribuée à x, cette variable change en croissant ou en décroissant; c'est ainsi, par exemple, que si , sans cesser d'ètre continue, la fonction g f(x) représente le contour d'un polygone quelconque, la dérivée /’(x) affecte en général deux valeurs distinctes pour tous les sommets de ce polygone. Les points susceptibles de fournir ainsi des valeurs multiples sont nécessairement séparés les uns des autres par des intervalles plus ou moins grands. Ln discontinuité qui se manifeste en ees points n’est que l’interruption accidentelle de la continuité qui subsiste en dehors.

Considérons l’équation générale

comme représentant une ligne s rapportée à deux axes coordonnés rectangulaires et décrite par un point mobile n-

Le rapport des vitesses dg et dx, égal à la dérivée f{x) n'est autre chose que la tangente de l’angle que la directrice du points fait avec l'axe des x. Il peut arriver pour certaines positions du point n que lu directrice change brusquement de direction. Il est évidemment absurde et impossible qu'il en soit ainsi constamment sur une étendue quelconque de la ligne décrite. Il faut donc nécessairement que ectle direction soit, en général, constante ou bien continûment \ariable. Dans un cas, comme dans l’autre, la directrice n affet le jamais pour une même position du point n qu’une

seule et même détermination applicable à In fois aux deux sons suivant lesquels le point n peut se mouvoir dans la description de la ligne s. il s’ensuit que la dérivée f'(x) ne comporte, en général, pour chaque valeur de x qu’une seule et même valeur, indépendante du sens dans lequel s’effectue la génération que l’on considère. De là résulte comme conséquence le théorème formulé ci-dessus. Voici, d’ailleurs, les solutions très-directes et trèssimples fournies par ce théorème pour les cas traités précédemment. Elles sont un exemple des ressources qu’il offre dans les différents cas d'application.

Soit U l'aire engendrée par le rayon vecteur Oui qui tourne autour du point O et dont l’extrémité se meut sur la ligne amb.

Du point O comme centre, avec le rayon Orn = r, décrivons l’are de cercle cme. Si le point »i se déplaçait en restant sur cet are, on aurait évidemment

if = - AO,

et par conséquent aussi

(I) rfU ’ = -dt.

Cela posé, lorsque le point m sort du lieu qu’il occupe en restant sur la ligne amb, selon qu’il va de m vers b ou de m vers a, il est visible que la différentielle dû ne peut être, ni moindre dans le premier cas, ni plus grande dans le second, que la quantité ^ do. Or, en général, elle a même valeur absolue dans chacun de ces deux cas. Il faut donc nécessairement qu elle soit égale à ~ do. On voit ainsi que l’équation (1), établie d'abord dans l’hypothèse r = cons,‘, subsiste, en général, pour le cas où le rayon vecteur O»» varie incessamment.

Désignons par r’ la partie du rayon vecteur Oui limitée à la ligne

Fig. 14.

u'm'h' et par lT' l’airr qn’engendre U* segment r'. On a , eomme tout à l’heure,

(2) dl’ = — de.

De lit résulte, en désignant par A l’aire engendrée par le segment >«»«',

(3fc' . . . tl\ «= d*>.= (r — »■') dh.

L’équation (3) a pour traduction l’énoncé suivant, déjà formulé n" (i7, page 183 :

/.a différentielle de Cuire engendrée pur un segment de droite gui se meut dans un plan entre deux lignes quelconques est égale un produit de ce segment pur lu vitesse de circulation de son point milieu.

<>t énoncé u’csl pus restreint au cas où la droite mobile se meut en changeant de direction, et par conséquent en tournant autour de son centre instantané de circulation *; il s’étend de luiuicmc au cas particulier où cette droite se déplace en conservant une direction constante. On peut d ailleurs procéder, pour ce cas et pour tous les cas analogues, en suivant toujours la même marche.

Soit A l'aire engendrée par le segment mn supposé mobile dans /•V;/ un plan, et compris entre la droite cd et la ligne

^ amb. Par le point m menons la droite hui parallèle à cd et désignons par g le segment mn, par

a ^ 1 « l’angle constanl mnd, par x la distance eu.

Si le point m restait sur la droite //, on aurait c et évidemment

■s A = g . 4:r . sin r,

La substitution du centre instantané de circulation au centre iuslautané de rotation n'a d'autre effet que de supprimer le glissement de la droite mobile sur elle-même. La suppression de ce glissement n'altère en rien l'étendue décrite par le segment que l'on considère.

( la» )

cl, pur conséquent aussi,

il\ = ydx . si» «.

Cela posé, puisque le point in sort du lieu qu'il occupe en restant sur la ligne amb, selon qu’il vu de m vers b ou de m vers a, il est visible que la différentielle d A ne peut être moindre , dans le premier cas, ni plus grande, dans le second, que la quanlilé ydx sin x. Or, en général, elle a même valeur absolue dans chacun de ces deux cas. Il faut donc nécessairement que l’on ait, en général,

(!) d\ = ydx . siu «,

lu quantité y n’étant plus assujettie à demeurer constante comme elle l'était dans l'hypothèse où nous avons d'abord raisonné.

l’artaul delà , il est aisé de voir comment l'équation (!) est directeinent applicable au cas où l’on remplacerait la droite cd par une rourlte quelconque située dans le plan de la ligne amb.

70. Montrons, par quelques exemples, comment, en certains cas, la quadrature des aires planes et la reclilication des fourbes peuvent s’effectuer sans autre secours que celui des notions précédemment acquises.

Supposons , en premier lieu , que lu courbe .MX du n* 08 , page 18!, étant représentée par une équation de la forme

'J = ’rW.

la fonction -,(x) soit la dérivée d’une fonction connue f(x) , de telle façon que l’on ait

De là résulte

f (* ■+■ xx) — f(x) = jx.M ;rl7''(x), et, par conséquent,

aA = axMI r %(x) = /(x -+- ix) — /(x).

( HW )

L'hypothèse que nous venons de faire sc réalise (ouïes les fois que la fonction -r(x) est la dérivée d une fonction élémentaire. De là une série d'applications dont il suffit d’indiquer les suivantes.

La dérivée de la fonction — - étant, en général, xm, il s’ensuit que dans le cas d'une courbe MÎS représentée par l'équation

il vient immédiatement

aA = axM^

+ àx (x + j*),+i — x"

Soit m positif. La quadrature prise entre les limites o et x donne

aA =