XI
Désignons par X la valeur x -+■ ax et par Y la valeur correspondante (x va: P; l'équation (1) se réduit à la forme trèssimple*’
XV — xij ni + I
Lorsque m est négatif et égal à I , la formule (I) tombe en défaut. Cela tient à ce que ee n’est plus nue fonction algébrique, mais bien la fonction logarithmique Lx, quia pour dérivée-- Kn ce cas on a , d'une part,
et, d autre part,
axM
Les dérivées des fonctions sin x et e‘ étant respectivement
cos x et e*, il s'ensuit que dans le cas d’une courbe MN représentée par l’une ou l’autre des deux équations
<J — sin x , </ = «'•
On a, pour le premier cas,
a A = sin (r •+- \x) — sin x, et, pour le second ,
71. Supposons, en second lieu, que la courbe MN soit définie géométriquement. Il est alors des cas où la solution peut s'obtenir d’une manière directe et très-simple.
Considérons d'abord la ligne MN comme étant une eycloïde, c’est-à-dire la courbe engendrée par un point d’un cercle qui roule sans gl&ser sur une droite fixe.
Soient amb une position quelconque du cercle roulant; LP la droite sur laquelle ce cercle roule sans glisser; ab le diamètre aboutissant au point de contact a; QH une parallèle à la droite LP passant par le point b.
Le point décrivant étant par hypothèse en ni, sa vitesse actuelle résulte de la rotation qui s’établit autour du centre instantané a. Il s’ensuit qu’elle est dirigée suivant mb et qu’on peut prendre ce segment pour la représenter en direction , sens et grandeur. Du
point mi abaissons deux perpendiculaires, l’une y == tnp sur la droite QR, l'autre x= mq sur le diumetre ab. La première décrit l’aire A comprise entre la eycloïde et la droite QR, la seconde décrit en même temps le demicercle amb, représenté par B.
Cela posé, il est visible que les composantes de la vitesse mb, respectivement pcrpendiculaircsaux droites ub, QR, sont l’une mq , l’autre mp.
i-'nj. m.
( If-' }
Ou a donc, en meme temps,
d,V = y . mq — mp . mq, tlti — .v . mp — mq . mp.
De là résulte
et, eu égard à légalité constante de ces deux vitesses Simultanées,
\A = aB.
Ou voit ainsi qu’en désignant par m, ni deux points de la cycloïdc, et par p,p', q, q' les projections de ces points sur les droites QR et ub, il y a toujours équivalence entre l’aire nim'p'p et la portion du dcini-ccrcle amb qui se trouve interceptée par les droites mq, m'q'.
S'agit-il de l’aire totale comprise entre la eyeloîde et fh droite LP pour une révolution tout entière du cercle roulant? Le rectangle construit sur le développement de ce cercle pris pour base , et sur le diamètre ub = 2r pris pour hauteur, a pour surface 4rr /•’. Il faut d’ailleurs en soustraire la surface du cercle amb égale à 11 reste donc pour l'aire cherchée 5 m*, c’est-à-dire trois fois celle du cercle roulant.
Sans rien changera ce qui précède , représentons-nous le cercle amb comme demeurant fixe, tandis que le point m décrit la cycloïdc cl sort de sa position nclucllc avec la vitesse mb.
Le point m entraînant par hypothèse la droite mq, soit /u le point où cette droite coupe la demi circonférence amb. Les points m et u sont actuellement en m: dans leur mouvement simultané l'un décrit la eyeloîde, l’autre la dcmi-cireonférencc amb; tous deux d’ailleurs restent sur la droite mq qui se meut avec le point m, sans changer de. direction. 11 suit de laque 1a vitesse du point /u se projette sur ub comme celle du point m , c’est-à-dire en qb. Tirons le rayon cm et, du point b, abaissons sur cm la perpendiculaire bc, qui coupe eu t la droite mq. Dirigée suivant 1a tangente en m au cercle amb, la vitesse du point n est parallèle à bc. Nous
savons, en outre, que sa projection sur ba est égaie à qb. Concluons que cette vitesse est représentée par ib. Cela posé, considérons le point p comme glissant sur la corde mb, tandis que celle corde tourne autour du point 6. La perpendiculaire abaissée du point i sur bm étant in, la vitesse de glissement du point u sur mb est nb. Mais, d'un autre côté, le triangle mcb est isocèle; et les droites mq, be sont respectivement perpendiculaires, l’une au rayon cb, l’autre au rayon cm. On voit donc que le point n est le milieu de la corde mb et que la vitesse de glissement du point u sur mb est précisément la moitié (le la vitesse du point in sur lu eyeloïdc.
Soit ni" le point où la droite mq' vient couper la demi-circonférence amb. On voit, par ce qui précède , que l'arc cycloïdal în'm « , pour longueur rectifiée, le double excès de (u corde m"b, sur la corde mb. On déduit aisément de là que la cycloïdc a pour dcuiilongueur 4 r, cl 8 r pour longueur totale.
Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, en ce qui concerne la rectification de la cycloïdc, on peut poser
ds — mb — V in/, dg — bq = ij.
ds = V ir . y *. y*=\/ir. y * .dy et par suite, la rectification étant faite entre les limites y — o,
â* = bq . V ir . M * y 1 — i V^ïry = imb *.
La formule (I) du a° 70, page 100 donne, eu general,
Ou la résulté, l>our /«= — -,
M„ y 4 = if/ *•
Fig. Fi.
Les résultats auxquels nous sommes parvenus pour leensoù la ligne .MN est une eycloïde peuvent se résumer d’une manière très-simple.
Soit b le sommet, ou ce qui revient hu même, le point milieu delà eycloïde. Traçons le eerele roulant dans la position où le point décrivant se trouve en
/? — — — b, et menons parée point la tangente
bQ cl le diamètre bn.
Cela posé, Ht étant un point quelconque de la eycloïde, si de ce point on abaisse deux perpendiculaires mp, mq sur les droites l>Q, lut et qu'on désigne par m* le point où la droite mq vient couper le demi-cercle am'n'b, on a les énoncés suivants :
L'aire pbnm est équivalente à l'aire bn'm'q.
L'arc bnm est égal en longueur au double de la corde bm\
72. Prenons pour ligne MN la courbe connue sous le nom de Limaçon de Pascal.
Soient c le centre d’un cercle au rayon rO ;
Fig. 18.
a,k un point quelconque de la circonférence de ce eerele, lim la tangente en ce point, m le pied de la perpendiculaire altaisséc du point O sur la tangente àm. La courbe, dont il s’agit, est le ;:-'f lieu des points m.
Prenons, pour pôle, le point O, ' et pour axe, le prolongement du rayon cO. Traçons deux circonférences de cercle, l’une ayant K) pour diamètre, l’autre ayant son centre en O et cO pour rayon. Soient n et ;< les points où le prolongement du rayon vecteur hiO vient couper ces deux circonférences. Par le point c élevons sur rO une perpendiculaire cB.
Le ravon vecteur m O étant représenté par r, et l’angle müb pars, l’équation polaire du limaçon est très-simplement
r — mu — Oh=«(I cos S) = 2m sin! ~ ■
On a d’ailleurs, pour la quadrature, conformément h la formule (;i) du n ' f>8, page I8!j,
(/A = — fl h,
et, pour la rectification, conformement à la formule (2) du n* fifi, page 1 80 ,
*-*.Y/hh.(£)’
L’équation (I) donne
fj (j
r* — 4a* sin‘ - = 4u* sin* «* sin* o.
Tirons les droites pli, pc, en. Les angles r<)p, cbp sont resperlivement égaux, l’un à 9, l'autre à -. De là résulte, d'almrd,
rp = 2« sin — » c« = « sin 9 , puis, substituant,
<lk = - ( rp — c« ) du.
Observons ici que les angles Brp, Br« sont respectivement égaux, l'un à - , l’autre à 9. Si donc il s’agissait des aires décrites par les rayons vecteurs rp, en (le point r étant pris pour pèle et la droite rB pour axe) on aurait en désignant ces aires l’une par A', l’autre pur A”,
, I — 5 ilu , en dA ==Sr}J ~À' UA —— • du.
La conséquence évidente est que l’on peut écrire il A = 2 dX — il . A",
Pt , par suite ,
aA = 2 aA' — aA".
Parlons de 8 — o. I/aiee du limaçon comprise entre le rayon v eeleur Ont et l’are qu'il sous-tend , est égale à deux fois le segment circulaire intercepté par la corde rp dans le cercle cpb, moins une fois le segment circulaire intercepte par la corde en dans le cercle rnO.
Allons de 0 o à’ 9 = n. On a ru' pour le douille du premier . segment et — pour le second. Il s’ensuit que l'aire totale comprise entre le limaçon et son axe 00' est égale à 3 — -, c’est-à-dire, à trois fois la surface du cercle c«0. L’aire correspondante du demi-cercle O/iO' étant 2-^-, on voit que l’aire comprise entre le limaçon et le contour de ce demi-cercle est précisément égale à la surface du cercle c/iO.
On a généralement, ainsi qu'il est aisé de le voir sur la figure,
9 — sin 9
20 — si il 2o
Il vient donc, en substituant
— sin 9
sin 29 ___
S agit-il maintenant de la rectification? On a
r1 -+- ^ ^ j = 2h’ (1 — cos 8) = 4«’ sin’ - •
De là résulte
ds = 2n sin - . d 9.
O» a d’ailleurs, en désignant par z l’excès du diamètre cl> sur la rordc bp.
z =■■ in | \ — eos — | :
et, piy suite,
ilz
Il vient donc aussi,
a sin - • tl'i.
dx = 2»/r,
et. conséquemment.
AS
Concluons que l’arc Oem a jrnur longueur rectifiée le double excès du diamètre in sur la corde bp. Cela revient à dire que l’are de limaçon compris entre le point O' et le point m est égal en longueur au double de cette corde. Il s’ensuit que le développement total de l’are Ow/O' a lu pour longueur.
I.es résultats obtenus successivement, en ce’qui concerne 1a cycloïde et le limaçon de Pascal , offrent une analogie remarquable. Nous verrons plus loin, ainsi que nous l’avons déjà signalé dans un travail purement géométrique *, que l'analogie s’étend jusqu'aux développées de ces courbes.
Ou observera qu’en désignant par n' le point où la droite ch vient couper la circonférence du cercle r«0, Ton peut substituer les cordes n' O, O II, Oh uux cordes en, cp, bp, et s'en tenir au tracé des deux circonférences O'/iO, cm' O, pour figurer cl exprimer les solutions précédentes. La droite ch, parallèle au rayon vecteur O /m, suflit pour déterminer les deux points n’ et h. Le reste est d’ailleurs très-facile. S’agit-il, par exemple, de l’are O’w ?.On voit qu'il a pour longueur rectifiée le dotdde «le la corde 07».
* Voir 1rs lltillelinx <lc l'Académie rnt/ale de Behjiipie, 2mr «‘rie, Ionie V, n” (!.
La rectification de l’arc O'w s'obtient directement rie In manière suivante :
Lorsque le point m sort du lieu qp’il oeeupe, c'est en restant sur les droites O m, hm qui sont rectangulaires et qui tournent avec une même vitesse angulaire, l'une autour du point O, l'autre autour du point. A. Prenons cette vitesse angulaire égale a l'unité. Il s'ensuit que la vitesse actuelle du point m a pour composantes orthogonales deux vitesses représentées en grandeur, l'une par O»», l'autre par hm, et qu’en conséquence elle-même est représentée en grandeur par l’hypoténuse Oh. Mais, d’un autre côté, la vitesse du point h (lorsqu'on la- fait tourner d'un angle droit) se trouve représentée en direction, sens et grandeur, par le rayon ch. Si donc on nbnisse du point csur la corde O'Ii une perpendiculaire cy, il est visible que la vitesse de glissement du point h sur la corde O'h est représentée eir grandeur par ry *. Cela posé, la vitesse ry est évidemment moitié de la vitesse Oh. De là donc résulte immédiatement l'énoncé formulé ci-dessus.
La quadrature de l'aire lime O comprise entre la tangente hm , l’arc de limaçon meO et l’arc de cercle Oh s’obtient plus simplement encore que la rectification de l’arc O'm. Il suffit d'observer que le segment km reste toujours égal et parallèle au segment eu. La conséquence évidente est qu’il y a constamment équivalence entre l’aire lime 0 et le segment sous-tendu dans le cercle O/ic par la corde en. Celte déduction s’accorde avec la mesure trouvée plus haut pour l'aire du limaçon.
* Le |»oiiil h peut être considéré comme glissant sur la corde 07/. en même temps que cette corde tourne autour du point 0'.
