Précisons davantage

Soit v la vitesse du point n au sortir du lien m, et w la vitesse angulaire simultanée de la directrice.

Considérons In droite mn, normale en ni à la courbe s, et supfiij. 19. .posons qu'enirninco par le point décrivant, elle glisse

i avec ce point le long de la directrice en lui ress tant perpendiculaire. Il est visible qu’en se déplaçant ainsi, la normale mn sort du lieu qu’elle occupe dans les conditions suivantes :

I" Elle glisse tout entière avec la vitesse v rendue commune à tous scs points.

2" Elle tourne autour du point »t avec In vitesse te.

On sait d’ailleurs que lu vitesse v est dirigée suivant la droite ml, tangente en m à la ligne s.

De là résultent pour le point qurlronqnc o situé sur la normale «i/i à la distance nio du point décrivant deux vitesses actuelles et simultanées, l’une égale à v, l’autre nu produit wio.tr. Ces deux vitesses ont une seule et mémo direction perpendiculaire à la normale. Elles sont d’ailleurs de même sens, ou de sens contraire, selon que l are décrit, à partir du lieu m, commence par être convexe ou concave du côté du point o, c’est-à-dire, suivant qu’il se projette d’abord sur b* prolongement du segment uni, ou sur ce segment. Supposons le point o pris du côté «le la concavité. Dans celte hypothèse, la vitesse du point o est représentée en grandeur par la différence

r — rno . tr.

Considérons, on particulier, In position que prend le point o, lorsque sa distnnee nu point m est déterminée par l'équntion de eondition ,

ntn — — •

En ee ens, on a évidemment

t> — RIO . V — O.

De là résultent les conséqnenees suivantes :

1° Lorsque le point décrirant entraîne arec lui lu normale à lu ligne décrite , il est un point de lu normale dont la vitesse est nulle. Ce point est situé du côté de la concavité, à une distance du point décrivant exprimée, pour chaque, position de la normale, par la valeur correspondante du rapport—,

2" Deux cas sont possibles selon que le rapport ^ demeure invariable sur la courbe décrite, ou qu'au contraire il varie incessamment d’un point à un autre.

Dans le premier cas, le point de la normale dont la vitesse est nulle reste toujours le même. Il s’ensuit qu'il est fixe et que la ligne décrite en est équidistante. Cette ligne est donc une circonférence de cercle ayant son centre en ce point.

Dans le second cas , le point de la normale dont la vitesse est nulle est le centre du cercle qui se substituerait à la courbe décrite si, sans rien changer d’ailleurs, l’on conservait au rapport-^- la valeur qu’il affecte à l’instant que l’on considère. Ce cercle prend par rapporta la courbe le nom de-c ebci.b oscui.atei'r. Son rayon est dit hayon de cottRMRE. Un désignant par o ce rayon, on a généralement ,

tr

T.i. Soit m une position queleonque «lu point g ; o le rentre de

courbure qui correspond à celle position; ■/ un point mobile assujelti à glisser sur la normale de manière il coïncider toujours avec le centre o du cercle osculateur.

Le rayon o étant , par hypothèse, incessamment variable , il s’ensuit que, dans le passage d'une position quelconque de la normale aux positions suivantes, le point u' s'écarte ou se rapproche du point u‘ en glissant sur la normale. avec une certaine vitesse. Soit ii cette vitesse; elle est déterminée par la variation correspondante du rapport —, c’est-à-dire pur le degré de. rapidité avec laquelle ce rapport augmente ou diminue. Il est \isible d’ailleurs qu’elle constitue à elle seule la vitesse totale du point M'- Affectons à la courbe donnée S le nom de développante et au lieu géométrique de ses centres de courbure celui de développée. Les considérations qui précèdent ont, pour conséquences immédiates, les déductions suivantes :

I" Pendant que le. point n décrit la développante aver la vitesse v, le point u’ décrit lu développée avec la vitesse

(r \ t vdv — vdic

?r / te*

2U Dans la description de la développée le point u' qlisse sur la normale uvec la vitesse u, et, en même temps, lu normale tourne uutour de ce point avec la vitesse w.

3“ Toute normale « la développante est tangente à la développée , et réciproquement toute tangente d la développée est normale à la développante.

4" Dans le passage d'une position « une autre la normale à la développante s'applique sur la développée par voie d'enroulement continu

* Le | K>i u I ,u est le |>oint qui décrit la ligne S II est supposé lixe sur la normale qu’il entraîne avec lui.

** Kii désignant par s' l’arc de la développer . on a évidemment ils' = ri'.,

A»' — ip.

.’»* L'are île développée, compris entre deux rayon» de courbure, de lu développante , a pour longueur rectifiée la différence de res mêmes rayons.

ti" Le rayon de courbure de la développée est représenté, pour le point o, par le rapport - , en même temps que celui de la développante l’est, pour le point iii, par le rapport — .

7° Lorsque les vitesses u et w varient dans un rapport constant, la développée est une circonférence de cercle et réciproquement.

8" Les développantes de cercle sont les seules lignes pour lesquelles les vitesses u et w conservent entre elles un rapport invariable.

La théorie, qui fournit d’elle même ces déduet ions si simples et si directes, suflit, ainsi qu’on vu le voir, ù toutes les applications.

Détermination analytique du rayon de courbure, du centre du rerrle oscillateur et de la développée.

7(i. Soit

l'équation de la ligne S *, dans un système d’axes coordonnes rectangulaires.

Désignons par x , y, les coordonnées du point ni, el para l'angle que la tourhantc en ce point fait avec l’axe des x.

Le rayon de courbure ayant pour expression générale

* Si résiliation do la ligne S était donnée sous la forme K(x, y) — o.

mi en déduirait aisément les valeurs des dérivées f'{x) et f"(x) qui figurent dans les formules suivantes.

cYsl-à -dire le rapport de l.i vitesse du point décrivant à la vitesse angulaire de la diree trier, l'équation (3) revient il

dx

On a, d’ailleurs,

et, par suite,

i are tg f'(x),

rv)

de.

De là résulte, en substituant cette valeur à dv, et en remplaçant du par de V I -4- f (x)‘,

[I -4- f(xf Y

En général, on désigne, par;), la dérivée première /'(x), et par 7, la dérivée .seconde /"(■>)■ L’équation (t) peut ainsi s’écrire sous celte autre forme

Lorsque la variable .r est prise pour variable indépendante et assujettie à croit re ou décroître avec uniformité, il est permis de substituer à y le rapport de la différentielle iPy au carré de la différentielle dx. S’il en est autrement et qu’on veuille exprimer le rayon de courbure en fonction des différentielles correspondantes , ou le peut, soit au moyen des formules établies au n° 38 de la deuxième partie(pagc loti). soit en procédant comme il suit : On a , généralement,

dy

« = are tg — • dx

Il vient doue

On n, d 'ailleurs, De là résulte

ilx tfxtPy — di/d*x

f/x1 -+• rfy* — du'.

‘ rfa dxtPy — rfyrf*x

77. Considérons le cas des coordonnées polaires. Les ronnulcs du n° OC, page 180, donnent d'abord

De lu résulte, en général,

et, pour le eus particulier où lu variable u croit ou dérroit uniformément, la vitesse angulaire dh étant supposée constante,

78. Pinçons -nous de nouveau dans les conditions du n* 76. L’équation de la normale au point m est , ainsi qu'on l a vu au iï’So, page 134,

(I) (/ — x)<lx -4- (u — y)dy = o.

Lorsque le point n sort du lieu m en restant sur la ligne S, la normale tourne autour du centre de courbure comme s’il était fixe. Il s’ensuit que, si l'on considère les coordonnées générales I et u comme étant ccllesdu centre de courbure, et qu'on différencie l’équation (I) dans cette hypothèse , on doit regarder ces coordonnées comme constantes.

De là résulte , .

(2). . . . (t — x)<Fx -4- (u — y'jd* y ~ dx- -4- dy\.

Les équations (I) et (2) déterminent les coordonnées du centre de courbure. Elles donnent, pour l'abscisse de ce centre,

dy(dxi 4 dif)

dxd*y — dyd'x

et, pour l'ordonnée correspondante,

dx{dxi -4- dif)

dxiPy — dytPx

La valeur du rayon de courbure déduite de ces formules est

(:>). . u = v {( — xf 4- (« — y y --

( dx 1 -4- dif y

dxdly — dytPx

L'équation de la développée s’obtient, d'ailleurs, en éliminant les variables x et y entre l équation de la courbe et les équations (I) et (2).

Supposons qu’on prenne la variable x pour variable indépendante, et que l'on ait

Les équations (5) et (i) deviennent

cl i! suffit d'éliminer .c entre ces deux dernières équations pour obtenir l’équation de la développée.

Propriétés et caritclères distinctifs dit cercle oscillateur.

Fig. iO.

79. Soient ul, al', deux courbes passant par le |>oint a et av ant, en ce point, même tangente «X, même normale aY.

Soient u, a', deux points mobiles assujettis à partir en même temps du lieu « et à décrire simultanément, l’un In courbe al, l’autre la ~y~y~ 1 courbe al', tous deux avec une même vitesse

constante v.

On suppose les points l, l' assez rapprochés du pointu pour que dans la description des arcs al , al' les directrices des points n, p tournent toujours dans le même sens et que leur rotation totale soit inférieure à 90". .

Désignons par m, ni deux positions conjuguées des points /t,u’ et par a, à les angles dont les directrices ont tourné simultanément dans la description des arcs uni, uni'.

Les coordonnées du point m étant (x, y) et celles du point ni, (jc'y), on a, d’une part,

(I) dx — - » eos a,

dy =* r sin -/ ,

et, d’autre part ,

(2). . . . dx' — v cos *' , dij = v sin

Les équations (I) montrent que l'ordonnée y croit avec l’ab-

seissc x *. Supposons l’angle jc' toujours plus grand que l'angle a dans l'intervalle que l’on considère. La comparaison des équations (I) et (2) donne dx > dx' et en mèiue temps dg' >dy. Il s’ensuit que, dans la description simultanée des arcs ont, um' , la projection p' reste en arrière de la projection p, cl que néanmoins l’ordonnée m'p' l’emporte en grandeur sur l’ordonnée mp. On a donc np' < up cl m’p' > mp.

Soit h le point de l'arc um situe sur l’ordonnée m'p'. Le point p' étant en arrière du point p, un a

mp> np'.

Il vient donc, ù fortiori,

m'p'ynp.

De là résulte le théorème suivant :

Lorsque deux courbes ont en un point commun meme tangente, celle dont lu courbure , au sortir de ce point, est ou devient plus grande que la courbure de l'autre, s'écarte davantage de la tangente commune.

Ce théorème est en quelque sorte évident « priori. Si nous l’avons démontré , c’est uniquement afin de procéder toujours avec une entière rigueur.

80. Considérons une courbe S, et son cercle osculateur en un point quelconque m.

La courbure de la courbe S est, par hvpolhèsc, incessamment variable. Il s’ensuit qu’en général, elle est croissante d’un côté du point m et décroissante de l’autre côté. Du côté où la courbure augmente au sortir du point m , elle devient plus grande que celle

’ Ou a

dy a dx . tg x.

Il s ensuit que les vitesses ity et dx sont et restent de même signe pou i louio valeur de * comprise entre o et ~ ■

du cercle oscillateur : du côté où elle diminue elle devient plus petite. Dans le premier cas, la courbe S s’écarte plus que le eerclc oscillateur de In tangente commune; dans le second, elle s'en écarte moins. De là résulte immédiatement celle première déduction :

En général le cercle oscillateur coupe la courbe au point d'osculation.

S’agit-il d'uu autre cercle ayant son centre sur lu normale du côté de la concavité et touchant la courbe S au point m ? Selon que ce cercle est moindre on plus grand que le cercle osculaleur, sa courbure, au sortir du point ni , est, en même temps et des deux côtés à la fois, plus grande ou plus petite que celle de la courbe S. Dans le premier cas, il s’écarte plus que lu courbe S de la tangente commune, en deçà comme au delà du point m. Dans le second cas, c’est précisément l’inverse. De là résulte, en conséquence, celte deuxième déduction :

Le cercle osculaleur est la limite séparative îles cercles qui touchent la courbe au point d'osculation , les uns intérieurement, les autres extérieurement.

Observons que les cercles qui touchent lu courbe S au point ni, les uns intérieurement, les autres extérieurement, touchent en même temps et de la même manière le cercle oscillateur. Il n’est donc aucun de ces cercles qui puisse passer entre le cercle oscillateur cl la courbe S. De là résulte cette troisième déduction :

Le cercle osculaleur est parmi tous les cercles menés par le point d'osculation celui qui se rapproche le plus (le la courbe dans le voisinage de ce point.

Remarque sur les courbes oseululrices.

80“* Lorsque deux courbes S, S' ont en un point commun même direction * et môme courbure, celle qui s’écarte le plus de la tangente commune, au sortir du point d'osculation, ne s’en écarte pas autant que toute autre courbe ayant même tangente et une courbure plus grande; celle qui s’en écarte le moins, s’en écarte plus que toute autre eourlte ayant même tangente et une courbure plus petite. De là résulte évidemment la conséquence suivante :

Entre (leux courbes qui ont , en un point commun, meme direction et même courbure , on tien peut faire passer aucune de courbure plus grande ou plus petite.

La courbure supposée la même au point d’osculation des deux courbes S, S' est, en général, pour chacuncdc ces courbes croissante d’un côté et décroissante de l’autre. Si d'un côté la courbure de la courbe S devient d'abord plus grande que celle de lu courbe S’, l'inverse a lieu de l’autre côté. 11 suit de là que ces courbes se c/tu peut au point d'osculation. Celte conséquence subsiste et» général. Elle est en défaut pour le eus particulier où les courbures, affectées par les courbes S, S' au point d’osculation, sont toutes deux des maximu ou des minium.

Indication générale des procédés à suivre pour lu détermination des centres et rayons de courbure des courbes planes.

81. Nous avons établi dans les numéros 7C, 77 et 78 les formules qui permettent de déterminer par le calcul les centres et rayons de courbure ainsi que les développées des courbes donl on a l’équa-

* On entend par direction d'une courbe en un point celle de la tangente en ce point , ou mieux encore celle de la directrice.

(ion, soit en coordonnées rectangulaires, soit en coordonnées polaires. L'emploi direct de ces formules constitue un procédé général , applicable a tous les cas et n’oirranl aucune diilieulté, si ce n'est, quelquefois, la longueur et la complication des calculs. C'est là, sans aucun doute, un avantage précieux. Toutefois il y a lieu d'observer que l’introduction d’un système de lignes auxquelles on rapporte celles que l’on considère, sans qu'il existe entre les unes et les autres aucun lien naturel , doit avoir très-souvent pour effet de présenter les propriétés les plus simples sous des formes complexes qui les voilent et les dissimulent. L’habitude du calcul, les artifices qu elle suggère, remédient plus ou moins à cet inconvénient, mais il faut pour cela quelque effort d'invention. Que cet effort, du moment où il devient nécessaire, s’applique à des transformations analytiques, ou à des recherches de géométrie pure, peu importe, s’il est le même de part et d'autre. Celte remarque suffit pour motiver, en certains cas, la combinaison des diverses ressources dont on dispose et l’abandon plus ou moins complet de la voie analytique pour la voie géométrique.

Le rayon de courbure est exprimé par le rapport de- lu vitesse du point décrivant à la vitesse angulaire simultanée de la directrice. On peut se donner arbitrairement l’une de ces deux vitesses, et dès lors tout se réduit à déterminer l’autre. De là résulte un procédé général, susceptible d’être appliqué de diverses façons pour toute courbe définie géométriquement.

Le centre de courbure est le point de la normale dont la vitesse est nulle à l’instant (pic l’on considère. Cela revient à dire qu'il se confond avec le centre instantané de rotation. C’est donc en commençant par tourner autour du centre de courbure que la normale sort du lieu qu’elle occupe. A ce point de vue, tout se ramène à déterminer les vitesses .de circulation de deux points de la normale. On .peut se donner la vitesse du point qui décrit la courbe; il ne reste plus qu’à chercher, pour un autre point quelconque de la normale, In vitesse simultanée qui correspond à celle du point décrivant. La droite qui joint les extrémités de ces deux vitesses va couper la normale au centre de courbure. Tel est le procédé très-simple qui réussit le mieux dans la plupart des cas, et que

l'on peut d'ailleurs appliquer, soit en s'eu tenant aux ressources offertes par la promet rie, soit en eombinant ees ressources avec celles que fournit l'analyse.

A pjdiiatioHS particulières.

1° Moellon* conique».

82. Reprenons l 'équation générale donnée pour les sections coniques au n" 57, page 156,

On en déduit

»/* ■+■ (x — a)* = è1 x *, il;/ n — (1 — r1) x

et

iix'

De là résulte

r*x . , . id -t- i f

I +p' = — {-> « — [» -e*]jr)-c* —

et par suite

(,)p=— ÿ rf? = e~ lt~‘

Ou sait, d’ailleurs, que la longueur de la normale désignée par N au n° 57, page 151), a pour expression

N = e 1/ x (2a — (I — c*) x) — cl/ «s -+- y5. On peut donc écrire aussi

Soit R le rayon de courbure qui correspond au sommet situé sur l’axe des r et pour lequel y = o; l'équation (l)donne

Il vient donc, en général, pour un point quelconque des trois sections coniques

Fig. il.

Procédons par voie géométrique, en poursuivant les déductions du n" 08, page 100.

La vitesse du point m suivant la courbe est représentée par mt,

en même temps que sa vitesse de glissement suivant le rayon vecteur fm est représentée par mf. On sait de plus qu’il existe un rapport constant entre les longueurs fn, fm, n étant le point où la normale en m vient couper la droite O f. Il s’ensuit que la vitesse du point n sur Of est représentée par fn. Par les points f et n menons deux droites, l’une fe parallèle à la normale mn, l’autre neh parallèle à la tangente mt.

Il est visible que le segment ne représente, par rapport à la normale mn, la vitesse de circulation du point n.

Les segments mt , ne pouvant être pris comme vitesses simultanées des points m et n de la normale, il suffit de tirer la droite te pour avoir en O', à la rencontre des droites te, mn, le centre de courbure qui correspond au point »t.

Si l’on prenait nh, au lieu de ne, pour vitesse de circulation du point n, il faudrait augmenter, dans le rapport de nh a ne, ou ce qui revient au même, de mh à mf chacune des deux vitesses mf, mt. La vitesse mf serait ainsi remplacée par mh et la vitesse mt par mt’, t' étant le point où la perpendiculaire * élevée en h

* On sait que les droites ft , fm sont rectangulaires.

sur mil virnt couper la tangente ml. Cria posé, l'on conclurait, connue tout à l'heure, que le rentre de courbure, cherché pour le point m, est en O', ?» In rencontre des droites t'h et mil.

Arrêtons-nous îi cette dernière déduction qui fournil, pour la construction des centres et rayons de courbure des sections coniques, le procédé suivant :

Tirer le rayon vecteur et la normale qui aboutissent au point in ilonné sur la courbe. Déterminer le point n où lu normale vient couper l'axe Of. Par ce point élever sur la normale une perpendiculaire et la prolonger jusqu’à su rencontre en h avec le rayon vecteur. Par le point h élever sur le rayon vecteur une perpendiculaire et la prolonger jusqu’à sa rencontre en O’ arec la normale. Le point O' ainsi déterminé est le centre de courbure qui correspond au point m.

Désignons par C l’angle foin, et rappelons-nous que la projection mi de la normale mit sur le rayon vecteur /in est une quantité constante, égale au produit c.u. Ou a,

mi = mil . eos S, mn — mh . cos S, mli = mO’. eos C.

En multipliant ces trois équations, membre ?i membre, on en déduit

mO’ = o

mi eos* -

c.a eos* 5

L’angle C étant évidemment nul lorsque le point m est pris sur l’axe Of, l’équation (’i) donne, comme ci-dessus,

11 vient donc aussi

cos’ C