L'équntioi

nu

cos C — — j mn

lorsqu’on y remplace mi par r.u, et nui par r. |/ «* -t- if *, donne

cos C ■

Vn% + y' et , par conséquent.

sin C ■

Il s’ensuit qu’il y a égalité constante entre l’angle C et l’angle p/O que fait avec l’axe OX la droite menée du point f à la projection du point m sur l’axe OY.

Celte propriété curieuse des sections coniques se reconnaît à la simple inspection de la ligure 4, page 1 56. En effet, l’angle fmn ou son égal fini ayant pour mesure la moitié de l’arc fin dans la eireonférencc circonscrite au quadrdatère /i»pO„il est visible qu’il ne diffère pas de l’angle fpm , ni, par conséquent, de son égal p/O.

Cela posé, si l’on désigne par y' l’ordonnée du point O', et que l’on considère les triangles semblables mqn, O'r/'n , on a

ÿ + ÿ' P y mn

eos1 C

’ C’est la valeur trouvée |(our la normale aux numéros 57 et 82 , paftes 15tt et 212.

” On a

et

cos C

De là résulte

( ‘iK-* )

ou, icrinii l rompt*1 des signe*:.

Celte relation très-simple, entre l'ordonnée d'un point qucleonque de la courbe et relie du centre de courbure qui correspond h ce point, peut s’énoncer comme il suit :

Dans les sections coniques, il existe un rapport constant entre le cube de l'ordonnée d'un point quelconque et l'ordonnée du centre de courbure qui correspond d ce point. Ce rapport est égal au carré du paramètre a.

Il est bien entendu que les ordonnées dont il s’agit sont prises par rapport Jt l’axe principal OX *.

84. Considérons l’ellipse rapportée à ses axes principaux. Si

* A une même valeur quelconque du paramètre a correspondent deux séries, l'une d'hyperboles, l’autre d’ellipses, et, entre ces deux séries, une parabole imermédiaire. On obtient ces lignes en attribuant successivement à c toutes les valeurs possibles à partir de zéro. Considérons un de ces systèmes. Les courbes qu'il comprend étant toutes coupées par une même droite parallèle à l’axe OX , les angles que les normales aux points d'intersection font avec les rayons vecteurs qui aboutissent aux mêmes points sont tous égaux entre eux. Les centres de courbure qui correspondent i ces mêmes points sont tous situés sur une seule et même droite parallèle it la première.

S’agit-il exclusivement d'une ellipse ou d’une hyperbole? L'angle que font entre eux les rayons vecteurs partant des foyers et aboutissant à un même point est divisé en deux moitiés par la normale. Il s’ensuit que cet angle, dans le cas de l'ellipse, et son supplément , dans le cas de l'hyperbole , sont res|>eetivemcnl égaux au double de l'angle p/Tl. En substituant ce dernier angle à l’angle des rayons vecteurs, on peut se rendre aisément compte des variations qu'ils subissent simultanément.

nous désignons par />' les demi axes et par e' l'excentricité l/ a’* — />'*, on trouve aisément

On a d'ailleurs, pour équation de la cnurlie,

et, pour ordonnée du centre de courbure point (x,y),

iT7 ‘

qui correspond

au

Soit x' l’abscisse de ce même centre. Eu égard à In symétrie *, on peut écrire immédiatement

Les équations (2) et (3) donnent »

Il X S

, ÿV ,

En substituant ces valeurs dans l’équation (I), on a, pour équation de la développée de l’ellipse,

(l>'y'T +• (fl'x')‘= c*.

Dons le cas de l'hyperbole, on a de même pour la développée, ((>'</)* — (®V)* = - c'*,

le signe de la quantité b'* étant changé.

L 'équation (1) étant composée symétriquement, d’une part en y cl li’, d’autre part en x et a , il est clair que si l’on procède, par voie de calcul, à la détermination des coordonnées y', x', elles ne peuvent différer que par la substitution des quantités x et a' à leurs correspondantes y et b'. .

Dans le en* de la para Inde, on a. comme ci-dessus ,

.v* = «lîA

et l’on trouve aisément, r étant égal à l’unité,

Ces deux valeurs substituées dans l’équation de la parabole i/s — "lux — o4,

donnent, pour équation correspondante de la développée,

«3 y'3 = - x' — II.

I« RouleUe».

«S.’i. Reprenons la cycloïdc définie au n" 7 1 . La tangente au point ni étant dirigée suivant In droite mh , on a d’après la figure Iti, page 191,

<lp l>Jf

ils ni q

De là résulte

et, par suite.

üüi.n'F,-!.,

On voit parla que dans la cycloïdc le rayon de courbure est égal en grandeur au double de la normale *.

‘ Suit O le rentre de courbure situé sur le prolongement île In normale ma,

fi