Considérons le cas général des courbes dites roulettes

Soient S et S deux lignes situées dans un même plan, l'une fixe, lautre mobile, celle-ci mutant sans glisser sur In première, et entraînant avec elle un point m situé dans son plan. Le lieu des positions que le point w occupe successivement est relui que nous désignons, en général, sous le nom de roulette.

Cela posé, plaçons-nous à un instant quelconque déterminé et nommons:

mi le lieu actuel du point qui décrit la roulette.

« le point de contact des lignes S, S’.

c,c les centres de courbure qui correspondent au point a sur la ligne S et sur la ligne S'.

1 irons 1a droite mr cl prolongcons-la jusqu’à sa rencontre eu e

Fig 2i. avec la perpendiculaire élevée en « sur um.

„ La vitesse «lu point « est dirigée suivant la tangente commune aux deux lignes S, S'. Repré- J sentons-lu par uh, h étant le point où la droite eh r menée par le point e parallèlement à uni vient

'V'I-' .:■/* couper celte tangente.

" ^ / * La droite c’c tourne autour du point c', comme \/ s’il était fixe*, et, par hypothèse, cette rotation

communique au point a la vitesse ah. il s'ensuit qu’eu désignant par u la vitesse de eircula-

i/ lion du point c autour du centre c', on a

. <■ e . ci)

( I ) u = ah . -7- = ah . — - i

c'a ne

à la distance nO=am. Prolongeons le rayon me jusqu'à sa rencontre en h avec la circonférence amb. I.es jioinls h et O sc trouvent sur une même droite /itt égale à îr et perpendiculaire à LP. Il s'ensuit que le lieu des points O s'obtient eu abaissant celui des points 7i de la quantité ir. Concluons que la développée de la cycioïdese compose de deux demi -cycloïdos identiques à la première et disposées par rap|>ort à celle-ci d'une façon qu’il est très-facile de reconnaître. (Voir lig. 10, page tilt )

Il suflil de substituer aux deux lignes S, S' leurs cercles oscillateurs pour reconnaître immédiatement l'exactitude de cet énoncé.

la droite qcp étant parallèle à ne et limitée à In rencontre de In droite c’e.

Les points m et e peuvent être considérés comme tournant tous deux à la fois autour du centre instantané «. Soit v la vitesse du point m. Elle est dirigée tout entière suivant la droite mn perpendiculaire en m au rayon vecteur am, et il existe, entre elle et la vitesse u, le même rapport qu’entre les longueurs mn, ne. On peut donc écrire—,

am

— = ab .

ar

ae

am

ar

Les triangles semblables abe9 acq donnent

et, pnr suite,

nb ae.

ne nq

nm

Le point n de In droite mn étant pris sur le prolongement de la droite ce, on a, comme on le voit aisément sur la figure,

am en mn

nq ep cp

Il vient donc aussi

v = mn.

Mais, d’un autre côté, la vitesse du point de la normale am qui coïncide actuellement avec le point a est représentée par la composante «e de la vitesse ab. Il s’ensuit que la droite c'en passe pnr les extrémités des vitesses qui animent en même temps les points»! et a de In normale nm. De là résulte In déduction suivante :

Le centre île courbure cherché pour le point m est situé en O « lu rencontre îles droites mn et e'e.

La droilc ma est donnée d'avance. Le point e se détermine en tirant la droite me et élevant en « une perpendiculaire sur uni. Cela fait, il ne reste plus qu'à joindre le point c' au point e par la droite c'e. La solution est, comme on le voit, très-simple et purement géométrique. Trnduisons-la en nombres.

Désignons par R, K’ les rayons de courbure uc, ac’ ; par r le rayon vecteur uni ; par S l'angle mue. Un a , d’après ce qui précède ,

h ~ u b . —— = uh c’a

et, en meme temps,

«ni

ac

On déduit de là

et posant (5) . .

il vient

mu = r. ah .