III 4- I

On a, d ailleurs, cl évidemment,

R eos 0 — -

De là

résulte, eu substituant.

ni -+- I mi -+- 2

Cette formule s'applique au cas où les cercles S, S' sont extérieurs l'un à l'autre. S’ils étaient placés l'un dans l'autre, toutes choses égales d'ailleurs, on trouverait de même

il i - I

tu — 2

87. On observera que, dans la rotation simultanée des deux droites am , uc, autour du point a, les vitesses communiquées aux points a' et ni sont entre elles dans le même rapport que les longueurs au et uni. Si donc ou désigne la première par u , en même* temps que la seconde est représentée par nui, il vient

h' — nui .

uni

Or, on a trouvé ci-dessus

nui — r . ub .

R -v- R' RR'

Ulll

— . ub.

Il s’ensuit donc que l'on a très-simplement

u' = ali.

Ce résullul peut s'énoncer de lu manière suivante:

Lu liyne S entra inuni avec elle toux tes points de son plan, le point a' est celui dont la vitesse est précisément éi/ule à relie du centre instantané a.

il est d’ailleurs entendu que celte égalité implique, de part et d’autre, l’identité de direction, sens et grandeur.

La vitesse ub détermine ainsi qu'on l’a vu la vitesse ae. Si l'on suppose que la vitesse nui soit donnée en même temps que la vitesse ub, il s'ensuit que le centre O de courbure est absolument déterminé. Cela posé, imaginons que, sans rien changer d’ailleurs,

( in )

ou substitue, (l’uue pu ri à la ligne S, la circonférence de cercle ayant son centre en a', et ua' pour rayon ; d’autre part , à la ligne S', la tangente commune ul>: il est visible qu'en roulant sur cette droite le cercle ua communique au point m ainsi qu'au centre instantané de rotation « leurs vitesses respectives tnn, et ah, ou ce qui revient au même, d’autres vitesses conservant entre elles le même rapport*, llieu donc n’est changé par là dans la détermination du centre de courbure cherché pour le point m. En se plaçant à ce point de vue, on peut désigner le point a sous le nom de rentre instantané de roulement. Il suflil ensuite de faire la substitution indiquée pour ramener la question générale à scs termes les plus simples, la courbe fixe étant remplacée par une droite et la courbe mobile par le cercle de roulement qui lui correspond à l’instant que l’on considère.

Lorsqu’on rameur le cas général des roulettes à celui d’un cercle roulant sur une droite I), la construction du n"8(i, page 221, se réduit aux termes suivants :

Soient ah la droite D ; a le centre instantané de rotation ; a' le centre du cercle roulant; m le point qui décrit la roulette ; e le point de rencontre de la droite mu' avec la perpendiculaire élevée en a sur le ra\ on vecteur am. Cela posé,

Le centre de courbure cherché pour le point ni est en O « lu rencontre du rayon recteur ma et de lu perpendiculaire abaissée du point e sur la droite ab.

Elevons en m, sur am, la perpendiculaire mi. Pur le point a' menons la droite sy parallèle à ma, et lirons la droite ts. Il est aisé de voir que

* Soit ah la vitesse »lu centre iuslanlané a. CeUe vitesse est eu meute temps celle du centre a'. De lit résulte évidemment pour la vitesse e du point m

. . am

v = ab . — = nm.

Fig. il.

si l’on représente par ml la vitesse du point m, celle qui anime en même temps le point de la normale situé actuellement en a est représentée par as. La» conséquence est que le prolongement de In droit» <» passe nécessairement par le centre O de courbure déjà déterminé. Cette déduction se vérifie d’ailleurs sans difficulté. En effet, soit i la projection du point a' sur le rayon vecteur am ; on ,a d’abord, conformément h la formule (8) du n" 80, page 222,

r mi

ou , ec qui revient au même,

tnO am

am vu

S’agit-il ensuite du point O, considéré comme l’intersection des droites ts, ma? il vient

m O vit ion

ou, remplaçant <js par am, et y a' par mi,

' wO am

am vu

La simultanéité des équations (I) et (2) prou\e la proposition énoncée ci-dessus. Elle fournit, en outre, un second moyen de construire le centre de courbure cherché pour le point »i.

Prolongeons la droite a' a d’une longueur an” précisément égale à au’, il est visible qu’au lieu de procéder comme tout à l’heure, on pourrait faire précisément l’inverse, c’est-à-dire substituer, d’une part, à la ligne S une droite, d’autre part, à la ligne S' la circonférence de cercle ayant son centre en a" et au" pour rayon.

88. Les résultats obtenus dans les numéros 80 et 87 peuvent s’établir directement en procédant de la manière suivante :

Considérons une ligure plane et de forme invariable qui se déplace dans son plan d’un mouvement continu.

Soient a le centre instantané de rotation qui correspond q,unc Fig. ii. position donnée de la figure mobile F; «6 leategmcnt de droite qui représente en direction , sens et grandeur la vitesse actuelle d’un point mobile assujetti à coïncider constamment avec le centre instantané a ; u la vitesse angulaire avec laquelle lu figure F tourne aulourdu pointa à I instant que l’on considère.

\. Si l’on élève en « sur ah une perpendiculaire al cl

0 qu'on désigne par a' le point de cette droite qui emprunte à la rotation établie autour du centre « une vitesse précisément égale à ah , on a •

Soit mn la vitesse qil cmprunte à celle meme rotation un point quelconque in lié à la figure mobile cl entraîné par elle. On a, eu mente temps,

mn — a . am.

Projetons le point b en e sur la droite ae menée par le point a perpendiculairement à am. La vitesse ub aura pour composante perpendiculaire à am la vitesse ae.

On sait que le centre de courbure de la trajectoire du point m est en O, à la rencontre des droites ma, ne. De là résulte immédiatement

mn . am

G as ut O

m n — at

Soit i le pied de la perpendiculaire abaissée du point a' sur am. La comparaison des triangles semblables ube, oui donne

ae ub . — . = m . ai.

au'

De la résulte, en remplaçant mil, ue par leurs valeurs respectives u . am , a. ai,

mit uni

mit — ai mi .