I.a combinaison des équations (I) et (2) donne, d'ailleurs
inn um a b ua'
L équation (4) montre que les choses se passent comme si la figure F était une circonférence de cercle ayant son centre en a', touchant en a la droite ttb , et roulant sans glisser sur cette meme droite. De la le nom de ren te de roulement donné à ce cercle , et celui de rentre instantané tin roulement donné à son centre a'.
La valeur fournie par l'équation (3) devient avec les notations du u° 8ü, page 221,
Désignons pur u la vitesse angulaire avec laquelle la droite rc tourne autour du centre r (lig. 22, page 219) considéré comme fixe. La vitesse du point c devant être la même , soit qu’elle s'emprunte à cette rotation, soit qu'on In fasse résulter de la rotation &> établie autour du centre instantané a, on a évidemment
(a) (H -v- R ) a = Rw.
Ou a de même, en ce qui concerne la vitesse ttb,
(G) «6 = RV.
La combinaison des équations (I), (o), (G) donne
ub ^
RR'
Il + R’ '
ua' . a.
II vient donc, comme au numéro 8G, page 221 ,
et, par conséquent,
au = li =
RR-
r — h eos C
L’inspection de la figure fournil encore la déduction suivante:
Le centre O de courbure eut placé par rapport au point ni du même coté que le point i.
89, Supposons e, connu pour le point m , il vient en général
Cette formule peut servir en certains cas à la détermination directe du centre instantané de roulement. Voici d’ailleurs plusieurs énoncés qui résument les résultats précédents:
1° Le centre instantané de roulement est situé sur la normale à la trajectoire décrite par le centre instantané de rotation de la figure mobile.
'2° La distance comprise entre ces deux centres étant exprimée par li , lavitesse du centre inslantanéde rotation par u’,la vitesse angulaire de la figure mobile par a, l'on a généralement
3” Le point i étant pris sur un rayon vecteur quelconque am = r
* C’est l'équation (l)du u* 88, page Î26. On entend, par vitesse du centre instantané de rotation, la vitesse d'un point mobile assujetti à coïncider constamment avec ce centre. .
et lu distance mi = étant portée, à partir il a jwiul ni, dumi U sens fixé par la position relative du centre de courbure, la perpendiculaire élevée en i sur am passe par le centre instantané de roulement.
90. Plaçons-nous dans l'hypothèse où la ligne S est une ligne quelconque entraînée par la ligure mobile, la ligne S' étant une autre ligne quelconque, supposée fixe et touchée constamment par In ligne S.
Désignons par e le |>oint de contact des lignes S, $', à l’instant que l’on considère; par c, c' les centres de courbure qui correspondent au point e pour chacune de ces courbes; par R , R' les rayons de courbure ce, c'e; par a le centre instantané de rotation.
Il est visible que les points e, c, c’, a sont situés sur une même Fig. 2.7. droite normale en e aux lignes S, S' et que la trajectoire décrite par le point c de la ligure mobile a son centre actuel de courbure en c' *.
- Soit » la projection du centre instantané de rou- ' lement sur la droite ca. On a, en général, et conformément ?» ce qui précède
ar
Cela posé, différents cas peuvent se présenter. Kn établissant,
' La droite ce étant perpendiculaire It la vitesse actuelle du point e, il s'ensuit qu’elle contient le centre instantané a.
On peut substituer aux lignes S, S' leurs cercles osculateurs. Cela posé, lorsque le cercle ce roule avec ou sans glissement sur le cercle c'e, le centre c reste équidistant du centre d et décrit, en conséquence, la circonférence de cercle ayant rc' pour rayou.
** Lorsque la ligne S roule , sans glisser, sur la ligneS', le point a se transporte en e et il vient
II
On en déduit comme au n° 8C, |>age 521,
an'
R ci — H
11* R If
Il H- II' ~ It H- It'
ainsi que l a fait M. Bresse, pour chnetin de eeseas, la règle particulière qui lui eorrespond , on facilite beaucoup certaines applications *.
Supposons, en premier lieu, que la ligne S' soit droite. Il vient, en ce cas,
cl voici la conséquence:
Le centre instantané île roulement est situé sur la droite menée pur le centre c parallèlement à la droite S'
H k Maroc k. — Lorsque la lii/ne S se réduit « un point parcourant une droite, celte droite passe par le centre instantané de roulement. *
Supposons en second lieu, que la ligne S' se réduise nu point e. Il vient, en ce cas,
ac
On sait , d’ailleurs, que le centre instantané de roulement se projette en i sur la droite ce.
Supposons, en troisième lieu, que la ligne S se réduise au pointe. Il vient, en ce cas,
ea
le point i étant par rapport au point e du même côté que le centre c'.
Supposons, en dernier lieu, que la ligne S soit droite. On a, généralement ,
. ne (R -h R')’ — ac I ca \
ri = R + R' = — — =ffl 1 + —
* Voir le Journal île décote pnli/lechniipie . trente-cinquième cahier.
Il vient donc ii la limite
ci = 2r7t.
Si la ligne S' sc réduit, en outre , nu point e, ee point sc confond avec le centre c' et la formule (;i) devient
((>) et — 2ea.
La solution consiste à joindre le centre c', ou, s’il y a lieu, le point e qui le rempluec, au centre instantané a, puis à prolonger le segment c'a, ou ea d’une longueur égnle à lui-iuéme. L'extrémité du dernier seyaient est la projection du centre instantané de roulement.
!)l. Montrons, par quelques applications, l’usage qu’on peut faire «les procédés établis dans les cinq numéros «pii précisent.
Cvci.oïdr. — Soit r le centre du cercle qui roule, sans glisser, Fia ifi su'' *a (l,'0'te fi xe LP, et dont le point m décrit la cyclable.
L’extrémité e du diamètre mee est le point de ren- L contre «!<• ce diamètre avec la perpendiculaire élevée en a sur le rayon vecteur am. Le centre de courxi bure cherché pour le point ni est en o, à la ren-
° contre «lu rayon vecteur uni avec la droite eo menée
par le point e parallèlement a eu \ Or de même que le point c est le milieu du diamètre me, de même aussi le point a est le milieu du segment mo. De lit résulte immédiatement
p = mo = 2 . am.
Il s’ensuit d’ailleurs, comme au n° 8;i, pages 218 et 2111, que la développée de la cycloïde se compose de deux demi-cycloïdes «‘gales à la première.
Cette construction résulte «le la solution groinéli'i«|ue obtenue pour le cas général des roulettes au n" 80, page 219. On peut d'ailleurs y parvenir directement sans la moindre difficulté; il suffit d’opérer, pour ce cas, comme on l’a fait pour celui des roulettes.
Limaçon dp. Pistai.. — Procédons d’almrd en suivant ln marche générale tracée pour la solution géométrique des questions de courbure.
Soient c le centre du cercle bhb'; h un point quelconque de la eir-
Fig. i7.
conférence; mit la tangente en ce point; ni le pied de la perpendiculaire abaissée du point 6 sur la tangente mit. On soit que le limaçon de Pascal est le lieu des points m.
Considérons cette courbe comme étant décrite d’un mouvement continu. Il suffit pour cela que le point h se déplace continûment sur la circonférence bhb'.
Lorsque le point m sort du lieu qu’inoccupé, les droites 6m, lim tournent simultanément l’une autour du point 6, l'autre autour du point h , et comme elles sont assujetties à rester perpendiculaires entre elles, il en résulte qu’elles ont toutes deux même vitesse angulaire. Prenons cette vitesse angulaire égale à l’unité.
Il est visible que la vitesse totale du point m a pour composantes rectangulaires, 1° une vitesse dirigée suivant mit et représentée en grandeur par bm; 2° une vitesse dirigée suivant le prolongement de bm et représentée en grandeur par mh. Imaginons que ces deux composantes tournent, en même temps, autour du point m, de manière à décrire chacune un angle droit et à venir s’appliquer l’une sur mh, l’autre sur m6. Après cette rotation, la résultante est représentée en grandeur ainsi qu’en direction par la diagonale mn du rectangle hmbn, et, comme elle a tourné d’un angle droit , il s’ensuit que la diagonale mn est, pour le point m de la courbe décrite, la normale à cette courbe.
Observons que les diagonales mn, Ith sont égales et que, par conséquent, l’une et l'autre représentent en grandeur la vitesse du point ni.
Joignons le point h aux points c, b'. Le rayon ch est parallèle à la droite bm, cl tourne par conséquent comme elle avec une
vitesse angulaire égale à l'unité. Il s'ensuit que In vitesse du point It, dirigée suivant la tangente tnh, est représentée en grandeur par le rayou ch. Décomposons cette vitesse en deux autres dirigées respectivement, l’une suivant hb\ l’autre suivant le prolongement de hh. Faisons tourner d'un angle droit la vitesse ainsi décomposée, de manière à l’appliquer sur lie , et du point c abaissons sur h' h la perpendiculaire cp. Il est aisé de voir que eette perpendiculaire représente en grandeur la vitesse de glissement du point h sur la corde hh’. On a d’ailleurs
lili — 2 . cp.
Concluons que la vitesse du point m sur sa trajectoire est double de la vitesse du point h sur la corde lib1, ce qui implique la déduction suivante à laquelle nous étions déjà parvenu n° 72, page I !)7 :
L’arc de limaçon compris entre le point b' et le point m est égal en longueur au double de la corde b'h.
Prolongeons le diamètre b'b d’une longueur 6e' égale au rayon cb. Par les points e', 6' menons les droites b'm', ch' parallèles à bm et par conséquent à ch. Prolongeons la corde6'/i jusqu'à sa rencontre en li' avec la droite c h’, et achevons le rectangle h'm'b'n.
L égalité des segments b'c, cb, lie' implique celle des segments interceptés par les parallèles b'm', ch, bm, c’Ii sur les droites b'h’, b'n, mli. Il en résulte que dans le rectangle h'm'b'n, la diagonale tnn’ passe par le point m, comme la diagonale b'h' passe par le point h et que l'on peut écrire immédiatement
hh’ = mm'.
On a, d’ailleurs,
hh’ = 267*.
Il vient donc aussi
mm' = 26'6.
Cela posé , puisque la corde b'h est la moitié de l’arc de limaçon compris entre les points 6' et m , il s’ensuit que la longueur mm' est le développement de ce même arc.
L'angle Idib' est droit par construction. L'angle nmn est évidemment égal à l'angle blih'. Il est donc droit, et, puisque In droite tun est la normale en »i, il s’ensuit que In tangente en ce point est la droite mm’.
Lu droite mm' touchant en m le limaçon construit sur la circonférence de cercle bhb' et ayant pour longueur l'arc compris entre ce point et le point b', il en résulte que le point m' appartient à lu développante qui prend son origine au point h'.
D’un autre côté, In droite c'Ii' est, par construction , triple de ch et perpendiculaire à t «'/»'. Il suit de là que la droite ra'li' touche en li' la circonférence de cercle ayant son centre en c' et c'b' = ô.cb pour rayon. Le point m est d’ailleurs le pied de la perpendiculaire nl*aissée du point b' sur la tangente ni h'. Il s'ensuit donc que le point m’ appartient an limaçon construit sur la circonférence de cercle b h', b' étant le point qu'on projette orthogonalemenl sur toutes les tangentes.
On voit, par ce qui précède, que le point in appartient à la fois nu second limaçon et à la développante du premier. De là résultent les conclusions suivantes :
La développante du limaçon est un autre limaçon construit sur une circonférence de cercle trois fois plus grande que la première.
Le centre de courbure de la développante est en m pour le point m'. Le rayon de courbure correspondant est les deux tiers de la diagonale m'n'.
Réciproquement.
La développée du limaçon est un autre limaçon construit sur une circonférence de cercle trois fois plus petite que la première.
Le rayon de courbure qui correspond au point m est égal aux deux tiers < le la normale mn.
Ces propriétés du limaçon complètent l’analogie déjà signalée
outre celte courbe cl In cvcloïdc, les développées étant de part et d autre de même nature que les développantes, semblables ou identiques, et ne différant d’ailleurs que par leur position relative.
92. Reprenons le cas du limaçon en opérant d'une autre manière. .
Soit bnrr la circonférence de cercle décrite avec rb pour diamètre; r étant le point où In droite b ni vient couper cette circonférence, il est aisé de voir «pie la distance rm est égale à rh et par conséquent à cb. De In résulte In définition suivante :
J. huit donné un point r assujetti ri décrire une circonférence de cercle bnrr, ni l'on /nirte sur In droite br une longueur rm égale au diamètre cb, le lieu des points ni est le limaçon de Pascal.
Partons de celte définition et considérons le point r comme fixe sur la droite mobile lir. Il s’ensuit : I" que le centre instantané de rotation de la droite br est en n, a In rencontre du diamètre rn avec la perpendiculaire élevée en b sur br ; 2“ que In droite mn est normale en ni au limaçon.
Nous pouvons appliquer ici la formule (ti) du n° 90, page 231 *. Prolongeons, en conséquence, bn jusqu’en i où l’on a ni = bn, et, par suite, bi — 2fc«. La droite b'i menée par le point * perpendiculairement a bi contient le centre instantané de roulement. Ce centre est donc en u à la rencontre de In droite b'i avec le prolongement du diamètre rn **.
Soit % In projection du centre a' sur la normale uni. Le rayon
Il suffit pour cela île considérer les lignes S, S' du n” 90 comme se réduisant , la première, à la droite brut, la seconde, au point b. L'équation ei= ira donne, en conséquence, bi = ibn.
" Le lieu des positions successives du centre instantané tt étant U circonférence de cercle ben, la perpendiculaire élevée en n sur la tangente n’est antre chose que le diamètre rn.
île courbure cherché pour h* poinl m est donné par la formule
Cela posé, le triangle mrn étant isocèle, et la droite rs perpendiculaire à la hase mn, on a d’abord
ms = su.
L’égalité des segments ni, hn implique celle des hypoténuses no', »r et, par conséquent aussi, la suivante
ni' =■ an.
De là résulte évidemment
et, par suite,
mn
mi = o . sh = 3 ,
p = — mn.
93. Ellipse. — Considérons l’ellipse engendrée par un point d’une droite, de longueur constante, qui se meut en s’appuyant par ses extrémités sur les deux côtés d’un angle.
Soient bn, bn' les côtés de l’angle sur lesquels s’appuye la Fig. iS. droite nn de longueur constante, et m le point de cette droite qui décrit l’ellipse considérée.
I.e centre instantané de rotation de la droite mn est en a, point de concours des droites nn, n'a respectivement perpendiculaires aux côtés bn, bn'. I.e centre instantané de roulement est en b puisqu’on vertu de la règle exprimée par la formule (2) du il0 90, page 230 (voir la remarque), il doit être en même temps sur chacune des deux droites bn, bn' '.
On peul considérer la ligne S du n*00 comme se réduisant ici à l’un ou l’autre des points a, m'.
Tirons ic rayon vecteur am ; du point b abaissons sur ce rayon vecteur In perpendiculaire bi, et désignons par p le rayon de courbure de l’ellipse au point m. On a
et le centre de courbure est situé au delà du point ni sur le prolongement de am.
Désignons par r la distance uni et par *, }' les segments de longueurs constantes mn, mu. La circonférence de cercle décrite sur ba comme diamètre passe par les points n, n, i. De là résulte
am . mi — i .
et, par suite,
C’est la formule à laquelle nous étions déjà parvenu en suivant nue nuire marche, dans notre théorie géométrique des rayons et centres de courbure.
Cosciioïdk. — Prenons pour dernier exemple la conclioïdc d’Archimède, c’est-à-dire la courbe engendrée par un point d’uuc droite qui tourne en passant par un point fixe et de manière à ce que l’un de scs points décrive une autre droite.
Soientni le point générateur; / le point fixe; m/ la droite mobile;
Fiy *9 e l)0‘nt ‘1e cette droite assujetti à décrire la droite fixe II'.
Les droites fa, ni étant respectivement perpendiculaires, l une, à la droite mobile fin , l’autre, à la droite fixe II', leur point de concours a est le centre instantané de rotation de la droite fm. Prolongeons af d’une longueur af égale à fa et par le point f élevons sur (f la perpendiculaire
En vcrlu des règles exprimées par les l'ennuies (2) et (6) du n° ÎH), pages 230 et 231, le centré instantané de roulement est en a' à la rencontre des droites f'a' , II'.
Joignons le point m au point u par la normale ma ; du point a' abaissons sur eette normale la perpendiculaire ai et désignons par o le rayon de courbure cherché par le point m. On a
mu
mi
04. Les applications qu’on peut faire en s'appuyant sur les considérations précédentes comportent une extension qu’il convient d'indiquer. Cette extension re|»ose sur le principe suivant :
Toute liijne plane peut être considérée généralement comme étant une roulette ilu genre cycloidal, c'est-à-dire une roulette engendrée par un point lié à une courbe gui roule sans glisser sur une droite fixe.
Démontrons d'abord ce théorème.
Soient AH une ligne plane; OX une droite tracée dans le même
Fig ’IO.
plan; m un point quelconque de lu ligne AH; mn lu normale au point m.
Supposons le point m lié à une courbe S et cherchons à déterminer cette courbe par la condition qu’en roulant sans glisser sur la droite OX elle fasse décrire au point tn la ligne AB.
La ligne S touche en n la droite OX et l’on a, conformément à la formule générale du n° 88, page 227,
COS C \ al
r étant la normale mn; C l'angle de cette normale avec la perpendiculaire élevée en n sur OX: p et K les rayons de courbure qui correspondent, l’un nu point m de la ligne AU, l'autre au point n de la courbe S.
Si l'on rapporte la ligue S aux axes rectangulaires OX , OY, et qu’on désigne par u l'abscisse du point », on a d'abord
et de là résulte, eu premier lieu ,
On u , ensuite,
et l’on en déduit
u — X 4- IJ.
Par hypothèse, >/ est une fonction conuur de In variable x, un peut doue exprimer >j eu fonction de x , puis x en fouelion de u et parvenir à l'équation déterminée
Désignons par s l’are de In courbe S qui s'esl développé sur la droite OX à partir de l'origine jusqu’en « : on a évidemment u — s cl, par suite',
Remplaçons R par le rapport des deux vitesses r ou ils, te ou ih. Il vient
OU
(la =■=
ds
