TV
Donnons-nous arbitrairement la vitesse r, sa direction première et la position initiale d’un point p suppose mobile avec la
vitesse e. Si nous prenons à choque instant pour s la longueur décrite par le point u. depuis l’origine du mouvement, et pour vitesse angulaire de ta directrice du point u In quantité correspondante w, il est visible que la ligne S définie par l’équation (2) se trouve coinplétcmcnt déterminée, ce qui justifie l’énoncé précédent et fournit en outre le moyen de construire la courbe S.
95. Sans rien changer à ce qui précède, proposons-nous d’exprimer l'équation de la courbe S en coordonnées polaires et plaçons le pèle nu point ni.
Soit
l’équation de la ligne AB. En désignant par r le rayon vecteur mn, on a
x — s — r si n £, y = r eus C.
Il vient donc, d'abord.
(4) * = r sin S -t- (r cos £).
Observons que l'angle désigné par ffest l'angle que la normale en h à In ligne S fait avec le rayon vecteur mn, autrement dit l'angle que font entre elles la vitesse ds et sa composante rdo *. De là résulte
rd<t cos C
La deuxième composante de la vitesse ds étant dr, on a de même
On sait que, dans le système des coordonnées |>olaires , nous représentons par 0 l'angle du rayon vecteur avec l’axe. Il s'ensuit que la quantité d<i est la vitesse angulaire de ce rayon, cl n/6 la vitesse de circulation de son extrémité n.
La simultanéité des équations (4) (a) (fi) permet d’éliminer les variables s, ds, 6, d C, et d’obtenir ainsi, pour lu ligne S, une équation différentielle de la forme
dr
do’
Prenons, pour exemple, le cas où lu ligne AU est droite et supposons d’abord qu’elle soit parallèle à l’axe OX. L’équation ( I) du n° 94, page 238, se réduit, dans cette hypothèse, à
R == cons1'.
Cela donne un cercle, pour la courbe S, et le centre de ce cercle , pour point décrivant.
Supposons maintenant que la droite AB soit quelconque. L'angle 6 est l’angle que cette droite fait avec l’axe OX. De là résulte, conformément à l'équation (ü) du présent numéro,
dr
— — = !g C— cons*'.
rdo
Mais, d’un autre côté, ê est le complément de l’angle désigné par y au n" CI, page 109. 11 vient donc ici, comme au n°62, page 172,
(7) Ig y = tons" «= — •
IgC
Ce résultat, évident à priori *, caractérise, ainsi qu’on l’a vu au n"G2, la spirale logarithmique
La constante u est égale à la cotangentc de l’angle 6. La con-
Ce résultat exprime l’invariabilité de l’angle que font entre eux dans ta ligne S le rayon vecteur représenté par ont et la tangente eu n représentée par la droite OX.
stantc m peut être quelconque. Dans tous les cas le pôle est le point décrivant.
90. Nous venons d’établir que toute ligne plane peut être considérée comme étant une roulette du genre cycloïdal. Indiquons ^ deux des propriétés qui appartiennent à ce genre de courbes et qu’il peut être utile de connaître pour certaines applications. Désignons par S la courbe à laquelle est lié le point décrivant et qui roule sans glisser sur la droite LP.
Soient m, a, c, trois positions quelconques occupées simultanément, la première par le point décrivant, la seconde par le point de contact des lignes S et LP, la dernière par Je centre de courbure qui correspond au point a de la ligne S.
Tirons la droite me et prolongeons-la jusqu’à sa rencontre en eavec la perpendiculaire élevée en u sur am. Du |ioint e abaissons sur LP la perpendiculaire eh. Le point o où viennent se couper les prolongements des droites eh, ma, est le centre de courbure qui correspond au point m dans la roulette engendrée par ce point.
Soit i la projection du point c sur ma, et « celle du point i sur uc. On a d’abord cette première propriété :
Les points m, n, h , sont en ligne droite.
* En effet, puisque le point h est la projection du point e sur LP, et que les triangles ueh, icn sont semblables, on a d’abord
ah ae in ic
et, eu égard au parallélisme des droites ae, ic,
ah ma in mi
Cette dernière équation montre évidemment que la droite mn passe par le point h.
Considérons lu section tonique déterminée pur lu condition qu elle ait un foyer en m, qu’elle passe pur le point a et qu’elle «U en ce point même direction et même courbure que lu ligne S. Si 1 on se reporte ù la construction du n" 82, page 214, on reconnaît immédiatement que la droite mn est l uxe principal de celle section conique. Veut-on d’ailleurs fixer les valeurs des paramètres désignes par les lettres c et u dans les numéros 37 et 82, pages 1 35 et 212? En nommant R le rayon de courbure ac, rie rayon vecteur «m, cl 6 1 angle mue, il vient, d’après lu formule (3) du n* 82 page 214, v ’
W a . c — R ros! S,
et, d’après lu formule (1) du n” 38, page Ifil,
On a d ailleurs, ainsi qu’il est aisé de le voir sur la figure,
• • • mn — V r* R‘ Tos1 f~2rR~TOsT :
= V r* sin* C -r- (r — R eos Cf cos* C. ‘
De là résulte
(4). . . c = - V~? sin* S + (y -Tlt fn^f vo»rft
et, par suite, (o)- • • .a
Rr eos3 C
V r’ sin* C -r- (r — R eos Cf eos1 (
La valeur de mn Se déduit de la euusidéialiun du triangle mua, dans lequel on a évidemment
an — It cos* C, et
mn = rJ h- an - 2 r.an. cos ;
La condition c < I revient, d'après la valeur de c, à
((i) H cos C < 2r,
ou
ai < '2 . um.
Concluons que la section conique déterminée d'après les conditions qui précèdent est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que le rayon vecteur am-est supérieur, inférieur ou égal à la moitié de la projection du rayon de courbure ne.
On peut dire aussi plus simplement que celte section conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole , selon que le ray on vecteur uni est supérieur, inférieur ou égal à la distance mil, ou ce qui revient au même, selon que l'angle mua est supérieur, inférieur ou égal ii l'angle mun. Cela résulte de l'équation (2).
Par les points « et n menons les droites uni, np dirigées de manière à ce que les angles pain’, th’np ayent pour bissectrice la droite an, et respectivement limitées , la première à la droite mit , la seconde au rayon vecteur uni. Il est visible que la droite pin’ est parallèle à LP, que les segments ap, am’ sont égaux et que l'on a
uni mi ma
mm' mp ma •+• um'
Un déduit de là
mi mp mu — ap
mu mu am' ma ■+■ an i'
ou , remplaçant par r le segment mu, et par r' le segment um' et son égal ap,
mi r — r'
Soit p le rayon de courbure mu. On a généralement,
De là résulte en substituant
et, |uir suite,
L'équation (9) exprime, en ee qui conecrnc les roulettes, une seconde propriété générale qu’on peut énoncer comme il suit :
La somme des valeurs inverses de la normale et du rayon de courbure est égale « deux fois lu valeur inverse de la somme des rayons vecteurs r, r'.
97. Substituons à mi sa valeur r — H eos 6. L'équation (7) donne
(r -+- r ) eos b
Celle expression particulière du rayon de courbure îles sections coniques peut s'obtenir directement, soit par le calcul, soit, comme nous l'avons fait ailleurs, * par voie géométrique. On recunnaitque le point ni' est le second foyer placé sur l'axe principal nm, en remarquant que la droite ac , normale en a à la ligne S, divise en deux parties égales l’angle main’. Il s’ensuit que les segments r = ma, r' —m'a sont les rayons vecteurs partant des deux foyers pour aboutir au point a.
On observera que l’équation (9) implique la déduction suivante :
Lorsque la courbe roulante S est une section conique, la roulette engendrée par le foyer de celle courbe est telle que la somme des
* Théorie géométrique des rayons et centres de courbure.
valeurs inverses île. su normale et de son rayon de courbure est constante pour tous ses points *•
Prenons cette roulette (tour ligne méridienne d'une surface de révolution autour de l’axe LP, et admettons, comme nous le ver-
(*) Veut-on exprimer en fonction des quantités r, r' et 6 les paramètres a et cqui déterminent celle section conique? on peut partir de l'équation
mn ma r
mm' ma ■+■ am’ r -t- r'
On a d'ailleurs , ainsi qu'on le voit aisément sur la figure,
mm' = Vr* -t- r'* — ïr . r1 . cos 2G = V {r r')* — tir' cos* G.
De U résulte
mn mm' . / ^ 4-rr' cos* 6
et. par suite,
H cos* 6 ( r -t- r') R cos» 6
r r -t- r' )* — 4rr' cos* 6
On parvient au même résultat en faisant usage de la valeur
r «= - V r» sin’ G -t- (r — R cos G)* cos* G, r
et de l'équation
r — RcosG = r.
On reconnatt aisément que les valeurs des paramètres c et a sont constantes. En effet , puisqu'il s’agit d’une section conique, et que le produit R cos’ G n'est autre chose que la projection de la normale an sur le rayon vecteur ma, on a d'abord
R cos* G = cons1'.
Il vient ensuite . comme on l'a vu dans la note du n* 37, page I MO :
1" Pour Je eas de l'ellipse et de l'hyperbole
rr' cos* G = b'* = cons1';
2" Pour le cas de la paraliole
r cos* G = — =• cons1'.
rons plus loin, que, dans les surfaces de révolution, la courbure moyenne soit mesurée en chaque point par la somme des valeurs inverses de la normale et du rayon de courbure de la section méridienne. La déduction formulée ci-dessus comporte cet autre énoncé :
Lorsque la courbe roulante S est une section conique, la roulette engendrée par le foyer de cette courbe est la ligne méridienne d'une surface de révolution à courbure moyenne constante.
Un certain intérêt s’attachant à la détermination des surfaces dont la courbure moyenne est constante, nous allons compléter ce dernier énoncé, en démontrant la réciproque.
Le problème à résoudre se pose dans les termes suivants :
La roulette décrite par le point m est, par hypothèse, la section méridienne d’une surface de révolution ayant la droite LP pour axe et présentant en chacun de ses points une même courbure moyenne. On doit avoir, en conséquence,
— i — = cons".
ou ce qui revient au même, en vertu de l’équation (9) du n° 96, page 343,
r -4- »•' = cons1'.
Cela posé, il s’agit de déterminer ce que doit être la ligne roulante S pour donner la roulette cherchée.
Plusieurs cas sont possibles selon que l’angle mua est supérieur, inférieur ou égal à l’ongle nam’.
Considérons en premier lieu le cas où l’angle mna est plus grand que l’angle nom', et où, par conséquent, les deux points m, m' sont situés d’un même côté de la droite LP.
La vitesse du point m peut se déduire indifféremment de chacune des deux rotations simultanées établies respectivement, l’une autour du centre instantané o, l’autre autour du centre o de courbure. Si l’on représente par a la première de ces rotations et par v la seconde, on a , d'abord , et généralement ,
rv — p.iv,
A partir du point a portons sur uo ' une longueur ap égale à r' et tirons la droite p'm'. Il est visible que cette droite est perpendiculaire à l’axe LP et que les lieux des points »»', p' sont disposés symétriquement par rapport à cet axe, l’un au-dessus, l’autre au-dessous. La conséquence est que les vitesses simultanées des points m', p' ont mémo grandeur et qu’elles sont dirigées symétriquement par rapporta la droite I.P.
La distance mp', égale à la somme r -+- r', étant , par hypothèse, constante, on voit aisément que, dans la rotation tr établie autour du eentre o de courbure, le point p' doit être considéré comme fixe sur le rayon oui. Il s’ensuit que la vitesse de ce point est perpendiculaire à mo et qu’elle est représentée en grandeur par le produit
( p — [»• ■+• r']) tr = — —— j ru.
On a d’ailleurs, en vertu de l'équation (8) du n" Oti, page 24’i,
I)e là cl de ce qui précède, eu égard à l’égalité des angles Pop', Pfi»»', résulte la déduction suivante:
La vitesse du point m' est perpendiculaire nu rayon vecteur an»' et représentée en grandeur par le produit ru.
On voit ainsi que la vitesse du point m' s’emprunte tout entière à la rotation u établie autour du rentre instantané a, et que, par conséquent, ce point demeure fixe dans le plan de la ligne roulante.
Les points m, m' étant fixes dans le plan de la ligne S, et la somme de le»ivs distances aux différents points de cette ligne étant constante, il est risible gue cette ligne se résout en une ellipse dont les points m, m' sont les deux foyers.
’ Voir la Pieure 31, pape 3(2.
Reuauqi e. — Si lis points ni , ni’ se confondaient on un point unique, on aurait r = r\ et l’on déduirait do l’équation (9) du n° 9(i , page 24b,
L’ellipse S détiendrait un cercle, et la roulette engendrée par le point ni une droite parallèle à LP.
Si le point ni' se confondait avec le point u et restait ainsi sur la droite LP, on aurait »•' — n, et l’on déduirait de loqualion (ft) du n° 96, page 24b,
p = r — eons’'.
L’ellipse S se réduirait au segment rectiligne ma, et la roulette engendrée par le point ni à une circonférence de cercle ayant son centre en « sur la droite LP.
Considérons en second lieu le cas où l’angle mna est plus petit que l’angle nain', et où, par conséquent, les points m, ni' sont situés l’un au-dessus, l’autre au-dessous de la droite LP.
La disposition que prend la figure montre qu’il faut changer le Fig 12. signe des quantités r' et p, ec qui donne pour transformée de l’équation (8) du n° 96, page 24b,
p et, pour équation de condition, r" — r — cons1*.
En opérant’, comme on l’a fait tout à l’heure, on trouve pour vitesse du point p'
ra --r .«.
On voit d’ailleurs, de la même façon, que telle est aussi la vitesse du point m', celle-ci étant perpendiculaire an rayon vecteur am’ comine la première l est ù la droite ap'. ■
il suit de là que les points »«, m' sont fixes dans le plan de la ligne S et que la différence de leurs distances aux différents points de cette ligne est constante. La ligne S se résout donc nécessairement en une hyperbole dont les points m , ni' sont les deux foyers.
Considérons en troisième et dernier lieu le cas où les angles mna, nam' sont égaux, et où, par conséquent, le parallélisme des droites mn , am' supprime le point m' en le transportant à 1 infini. L’cqualion (9) du n" 9f>, page de\ ient, en ee eas,
et l’on en déduit
Il suit d’abord de là que les rotations te et a sont égales et de sçns contraire. La disposition que prend la figure, (le point m étant le milieu de oa) montre ensuite que les angles onm mon sont toujours égaux, et, par conséquent, que la rotation de la droite mn autour du point m n’est autre chose que la rotation a transportée en ce point. La conséquence évidente est que la droite mn est fixe dans le plan de la ligne S.
Par le point o menons une parallèle a la droite nh et prolon- Fig. 33. geons-la jusqu’à sa rencontre en q avec la perpendi-
e culaire abaissée du point m sur la droite LP. Par le
/- ] point q menons la droite qq' perpendiculaire aux deux parallèles aq, nh.
Les points m et q sont disposés symétriquement par rapport à la droite LP. Il en est donc de même de leurs lieux respectifs et, par conséquent aussi, de leurs vitesses simultanées. Or, la vitesse du point
fK
nX !
m est per|»endiculaire au rayon vecteur am. Il faut donc que celle du point q soit perpendiculaire à la droite aq, ee qui revient à dire qu’elle est dirigée suivant la droite qq'.
Concluons que le point q ne sort pas de la droite qq', supposée fixe dans le plan de la ligne S, et que l’on n constamment
um =- aq.
Il .siiil de In ({lie les diffémils points de In ligne S sont équidistants d’un point et d’une druite üxes, situés tous deux dans le plan de cette ligne et entraînés par clic dans son roulement sur la droite LP. l.u ligne S est donc une parabole ayant son foyer au point m *,
* La roulette décrite en ce cas par le point m est la courbe connue sous le non) de chaînette. Elle se caractérise ici par celte circonstance qu’en chacun de ses |H»ints il y a toujours égalité entre la normale ma et le rayon de courbure mo. On peut d'ailleurs , au moyen des données précédentes, en opérer très-simplement la rectification et la quadiature.
Soit b le milieu du segment mq, et bu, bu' deux per|*endiculnires abaissées de ce point sur les droites ma , mh. On a , d’une part ,
my’
mu = mu = — - ,
et, d’autre part,
(2) . 6u = bu' = ■
Or mq' n’est autre chose que le paramètre constant désigné par a aux numéros 57 et 82, pages 155 et 2)2. Il vient donc d’abord
mu ■= j-= cons1'.
La propriété exprimée par cette équation peut s’énoncer comme il suit :
La projection de t'ordonnée sur la normale est constante. Elle a pour râleur la moitié du paramétre a, ou ce qui rerient au même , l’ordonnée de la chainette à son sommet.
On voit aisément que la vitesse d’écart des points q , q' est égale à deux fois la vitesse du point q ou son égale la vitesse du point ni. Mais , d’un autre côté, en vertu de l’équation (î), la vitesse d’accroissement du segment bu est la moitié de celle du segment qq' : elle est donc precisemenl égale à celle du point m. Cela posé , voici la conséquence évidente :
L'arc de chaînette compris entre son sommet et le point m a pour longueur rectifiée le segment bu.
Soit y l’ordonnée mb, v la longueur do l’arc de chaînette compris entre le
Lu démonstration qu’il s’agissait de faire se trouve ainsi complétée, et l'on peut dire, en conséquence:
Les roulettes décrites pur le foyer de l'une ou l'autre des sections coniques sont les seules liynes qui , dans leur révolution autour d’une droite, puissent engendrer une surface à courbure moyenne constante.
sommet et le poiitt ni. Le iiianglc t nbu, rectangle en u, donne immédiatement
Passons à la quadrature. La vitesse d’accroissement de l’aire décrite par l'ordonnée ml) a pour mesure le produit de celleordonnée par la projection de la vitesse du point tu sur la droite LP, ou ce qui revient au même ( la vitesse du |ioiiit m étant per|>cndiculairc au rayon vecteur am ) le produit de celle vitesse par la longueur constante mu. De là résulte, en désignant par A l’aire dont il s’agit ,
a âs
v A = mu . at — — — — ,
* et, si l’on prend pour origine le sommet de la eliatneiie,
- a = — V ii ’ — mu . bu.
La propriété exprimée parcelle équation peut s’énoncer de la manière suivante :
t.'aice ilCcrite par l'ordonnée mb, « partir du sommet de ta chaînette jusguen m , a pour mesure la surface du quadrilatère Immu'.
Désignons par F' le rayon de courbure qui correspond au ftoint o dans la développée «le IsP chaînette, et par r la vitesse du point o sur celle dévelop|>ée. On a d’abord
tr
Or, en vertu de l’égalité qui sui>sisle entre le rayon p et la normale ma , il est
Transformation applicable au cas des coordonnées polaires.
98. Considérons, en particulier, le cas où la courbe, dont on cherche le centre et le rnyoh de courbure en un point quelconque déterminé, est rapportée à un système de coordonnées polaires. Soit p le pôle; m le point décrivant; v la \ilessc actuelle du Fig. 3i. point »t sur la courbe qu'il décrit; ml la direction de e. celte vitesse. On a généralement
visible que la vitesse e est celle du point a sur oa dans la rotation w établie autour du centre o. De là résulte, ainsi qu'on le voit aisément,
e = pto . Ig C = oc . ic,
et , par suite ,
T = oc. •
L'inspection du triangle coa donne, eu conséquence ,
Par ie point r menons une parallèle à LP et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en k avec le rayon vecteur ao. En désignant par R' le rayon de courbure qui correspond au point c dans la dévelop|>ée de la |>aralx>lc roulante, on démontre aisément l’égalité R' = 3 ck. (Voir la uulcqui suit le il" liti.) Les triangles semblables Koc, coa donnent d'ailleurs
ck eu
oc oa
De là tésultc, eu substituant, celte autre rclaliuu curieuse
r 3 It „
' Suit c' lu centre de courbure qui correspond au point o dans la développée de la chaiuctte. Le centre c' u’esl pus eu r , mais bien de l'autre cûlé du poiut o a la distance oc- =oc.
P étant le rayon de courbure cherché pour le point ni et «r la vitesse angulaire qui anime lu directrice de ce point au sortir du lieu qu’il occupe.
Tandis que le point ni , supposé fix^sur la droite pin, se meut suivant la courbe à décrire , la droite put tourne autour du point p et glisse eu même temps sur cllc-méine. Désignons par u la vitesse angulaire qui correspond pour la droite put aux vitesses actuelles t> et ip. Le centre instantané de rotation de cette droite est en a, à la rencontre des deux perpendiculaires élevées respectivement, l’une cnm surmf, l’autre en p sur pin. On a donc
v = uni . a.
De là résulte, en désignant par N, comme au n° (il, page 1 (il) . la normale am,
Al
L’équation (2) fournit l’énoncé suivant:
Le rayon de courbure est égal au produit de la normale par le rapport des vitesses angulaires qui uniment en même temps, l une le rayon vecteur, l’autre la directrice du point décrivant.
Si d'ailleurs on désigne par r le rayon vecteur pin cl par 6 l’angle que ce rayon fait avec la normale en in à la courbe décrite, on peut écrire aussi
te eos c
99. Montrons, par quelques applications, l’usage qu’on peut faire des formules précédentes.
Considérons, d’abord, les sections coniques et commençons par l'ellipse.
Si l’on prend l’un des foyers pour pôle cl qu'on désigne par r le rayon vecteur qui correspond à l’autre foyer, il est visible que
I égalité, qui subsiste entre les vitesses de glissement du point ni sur les deux rayons vecteurs r, r', implique eelle des vitesses de circulation qui se composent avec la première pour donner la vitesse e. Il suit de là qu’en désignant par *>, pour le rayon vecteur r', lu vitesse angulnife désignée par u, pour le rayon vecteur r, on a nécessairement
(») ra= r n'.
Soient f les foyers; nui la normale au point ni ; 0, * et «' les t'iij 35. angles que les droites mf, nui, mf font rcs- « pcclivemcnt, d’un même côté avec la droite //'.
Æ\ La normale mn étant dirigée suivant la bisscc-
L \.>. trier de l’angle fin/' — 26 , il vient
On en déduit
M-f= in.
De là résulte évidemment
* J =m gu; ,
et, eu égard à l’équation (I),
Concluons qu’on peut écrire, d’après l’équation (5) du n° t>8,
2rr'
(r -+- r ) eos S
Dans le cas de l’hyperbole, ou trouve, en opérant de même,
irr’
(»• — r') eus C
Dans lu cas du la parabole, si l'on prend le foyer pour pôle et qu’on trace l’axe principal, on voit immédiatement que l’angle de eet axe avec le rayon vecteur est double de l’angle du meme axe avec la normale. On a donc
cl, par conséquent, •
Il suit de là qu’on peut écrire, en général, pour les trois sections coniques ,
(»• -4- r') eos <
le ra\ ou r devenant négatif ou infini, selon que l’un passe du eas de l’ellipse à celui de l'hyperbole ou à celui de la parabole.
lin se reportant aux notations du n° 57, page 155, et observant que l’on a, eu général ,
rr eos4
la formule (5) de\ ient
u . c cos1 S
résultat identique a\ec la formule (5) du u" i>'2, page 214.
100. Spirale logarithmique. — Dans le cas de la spirale logarithmique, le pôle étant le centre autour duquel tourne le rayon vecteur, et l’angle de ec rayon avec la tangente demeurant invariable, ou a évidemment
u = IV.
De là résulte, conformément à la formule (2) du n“ 98, page ‘J 54,
On voit ainsi que le centre de. courbure cherche pour le point m est précisément en a : ce résultnt Ircs-simple est évident « priori, puisque In directrice et le rayon vecteur constituent un système de forme invariable* et n’ont, en conséquence, à chaque instant, qu'un seul et même centre instantané de rotation.
Si l’on observe que la droite am touche en a la développée et fait avec le rayon vecteur pa un angle map toujours égal à l'angle constant pmi, on peut en conclure immédiatement que la développée de la spirale logarithmique n’est autre chose que cette même spirale déplacée, d’un certain angle, par rotation autour du pôle p. De là se déduit celte autre conséquence:
Lu longueur de l'urc de la spirale logarithmique, com/iris entre le point m et le pôle asymptote, est égale à la tangente mt **.
Il est clair, en effet, que l’arc de la développée compris entre le point u et le pôlep est égal en longueur à la normale ma, ce qui revient identiquement à l'énoncé qui précède.
Fig. 36.
Spirale d’Archimède. — Dans le cas de la spirale d'Archimède, Fig. 37. si l’on désigne, par u = dr, la vitesse avec laquelle ^ le rayon vecteur pm glisse sur lui-inème , et, par y, l’angle qmt que ce rayon fait avec la tangente en m, on a d’abord
— * — cons", y = S.
* Ou oc perdra pas de vue qu’en procédant, ainsi qu'on l'a fait au rr 98, on doit considérer la directrice comme entraînée par le joint m dans son glissement sur la courbe.
" On entend ici [>ar tangente la j>arlie de celte droite, qui se trouve interceptée entre le jioint m et la jierjieudiculaire élevée en p sur le rayon vecteur p m.
Il vient ensuite
(il W
1 % Y — — = r - • qm h
De là résulte, pour la vitesse dy avec laquelle varie l'angle y,
dy — dr . — • eos* y = u sin* S.
Mais, d'un autre côté, on a évidemment
w — ai + dy = u(l ■+■ sin* £).
H vient donc, en dernier lieu ,
‘ 1 -+- sin* C (1 +- sin* 6) eos 6
