CHAPITRE V
1" THÉOltlE GÉOMK IltiytE DES ENVELOPPES.
Cas général d'une droite ou d’une courbe mobile dans un plan.
101. Considérons d'abord une droite D supposée mobile dans un plan P', cl de direction incessamment variable.
Soient a, u’ les positions qu'occupent, à un même instant quelconque, les centres instantanés de rotation eide circulation de la droite D *.
Le lieu des points a' prend le nom d’enveloppe pur rapport aux positions successives delà droite mobile.
Soient p, p deux points assujettis à coïncider constamment, le
* Ou sail que le centre a! est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre a sur la droite D.
premier avec le centre a, le second avec le centre a'. 11 est visible que la vitesse du point fi est dirigée tout entière suivant la droite D, le point glissant sur la droite cl la droite tournant autour du point, tous deux incessamment. De là résultent les déductions suivantes :
I" La tangente, en un point de l’enveloppe , n’est autre chose ffiie la droite mobile prise dans lu position qui correspond à ce point ;
2® Toute courbe peut être considérée comme l'enveloppe de ses tangentes ;
3" Lu développée d’une courbe est l’enveloppe des normales à celte courbe.
On observera que la vitesse du point u' résulte, en général, de deux composantes distinctes. L’une est la vitesse de circulation que le point a' emprunte à la rotation établie autour du centre instantané a; l’autre est la vitesse qui anime le point j* perpendiculairement à la droite au'. Dans le cas particulier où l’enveloppe que l’on considère est celle des normales à une courbe donnée, les centres «, «' se confondent et, des deux composantes; il ne reste que la dernière.
Sans rien changer à ce qui précède, considérons, en second lieu, une courbe quelconque s, située dans le plan P', liée à la droite D, et participant avec elle à la rotation établie autour du centre instantané «.
Soit a" le pied de la perpendiculaire abaissée du centre a sur la ligne s.
Le lieu des points a" prend le nom d’ksvblofpe pur rapport aux positions successives de la courbe mobile.
Soit fi” urr point mobile , assujetti à coïncider constamment avec le point a". La vitesse du point fi” est dirigée tout entière suivant la tangente en a” à la courbe £. De là l’énoncé suivant :
L’enveloppe de la ligne 2 est une ligne qui lu touche dons toutes ses positions successives.
On observera que la vitesse du point fi" résulte, en général, de deux composantes distinctes. Ces composa nies sont les vitesses de circulation communiquées au point a" dans les rotations établies, l’une autour du centre instantané a, l’autre autour du centre de courbure qui correspond au point a" de la courbé s. Ce qui détermine cette deuxième rotation , c’est la condition qu elle remplit de communiquer au point a la vitesse qui anime le point u perpendiculairement à la droite aa" *. On voit d’ailleurs, sans difficulté, que les composantes dont il s’agit proviennent de ce que la ligne s glisse et roule en même temps sur son enveloppe. La première composante exprime la vitesse de glissement; la seconde est celle qui résulte du roulement. Cette remarque est générale; elle s'applique au cas d’une droite mobile, comme à celui d’une courbe.
Cas général d’un plan mobile sur lui-méme.
tOi. Imaginons que la droite I) des numéros précédents soit liée à un plan P superposé au plan fixe P’, et qu'elle l'cntraine avec elle dans sa rotation autour du centre instantané a. il y a lieu, en ce cas, de considérer séparément les traces du point n sur le plan mobile P et sur le plan fixe P’. Soient S la première et S' la seconde. La rotation établie autour du contre instantané a ne peut altérer en rien la vitesse qui anime le point a dans le plan P'.
Tons les points de la ligure mobile participent eu même temps à la rotation établie autour du centre instantané a.
De là résulte, pour la vitesse totale du point ju", la première de ses deux composantes.
I.a droite fifi" est assujettie, en outre , à passer constamment par le («oint mobile /U et à rester normale à la comité 2. Il s'ensuit qu'elle tourne autour du centre de courbure qui corrcs|tond au |ioiut a" de la courbe 2, eu empruntant à la vitesse linéaire du point n la vitesse angulaire de cette rotation.
De là résulte, en conséquence, In deuxième des eonqiosaiitrs mentionnée dans le texte.
Cette vitesse est donc aussi celle du point p dans le plan P. De là résultent les déductions suivantes :
1" La ligne S' est l’enveloppe îles positions successives de lu ligne S;
2° Le mouvement du plan mobile P est le même que si la ligne S roulait sans glisser sur lu ligne S'.
Supposons que l’on ait tracé les deux lignes S, S', et qu’on réalise le mouvement du plan P en faisant rouler ln ligne S sur la ligne S'. Prenons égale à l’unité la vitesse angulaire de roulement , et désignons par u la vitesse correspondante avee lesquelles le points se meut sur les courbes S, S'.
Soient a ln position actuelle du point /x. ,
a' celle du point p' sur la droite D , o la vitesse du point p', ab une longueur prise égale à la vitesse u et portée sur la normale commune aux deux lignes S, S', du meme célé que la droite I) ou du célé opposé, selon que les deux composantes de la xilesse du point f*' sont de sens contraire ou de même sens.
La directrice du point p n’étant autre chose que la droite D , et celie-ei tournant, par hypothèse, avec une vitesse angulaire égale à l'unité, le rayon de courbure qui correspond au point a' de l’enveloppe décrite par le point u.' a, pour expression,
S’agit-il ensuite des composantes de la vitesse v? Elles sont représentées en grandeur, l’une par aa', l’autre par la projection sur an' de la longueur ab, c’est-à-dire par ae. La conséquence évidente est que le centre de courbure qui correspond au point a' de l’enveloppe se trouve en e sur la circonférence de cercle ayant oh pour diamètre. Ajoutons qu’en désignant par R, R' les rayons de courbure qui correspondent au point a pour les lignes S, S',
on a, comme nu n" 88, page 227 (la vitesse désignée pnr u dans ce numéro étant égale à l’unité),
ab — h
De là résulte le théorème suivant :
Lorsqu'un plan se meut sur lui-même, les enveloppes t les ilroiles situées dans ce plan ont toutes ri la fois leurs rentres de courbure sur une même circonférence de cercle.
Soit « la position du centre instantané de rotation à l'instant que l'on considère, u la vitesse de ce centre au sortir du lieu qu’il occupe, a la vitesse angulaire simultanée du plan mobile. On peut ajouter ce qui suit :
La circonférence dont il s’agit louche en a la droite suivant
laquelle est dirigée la vitesse u. Elle a pour diamètre le rap- . «
port - .
Supposons le mouvement du plan mobile déterminé par celui d’un cercle au rayon R situé dans ce plan et roulant sans glisser sur un cercle fixe au rayon R'. II vient alors
w RR' a R H- R' *
et l’on a cet autre théorème :
Les enveloppes des droites situées dans le plan mobile ont toutes pour développée une même épicycloïde , occupant une même jwsition ou des positions différentes, selon que les droites considérées sont ou non parallèles.
Cette épicycloïde est engendrée par un point de la circonférence qui a pour diamètre — [ -, et qui roule sans glisser sur un cercle fixe, concentrique un cercle R', et ayant lui-méme pour
r"»n" rStT”
Le second théorème peut se démontrer comme il suit :
Soient c, c' les centres des cercles aux rayons R, R'; a le point
Fig. 39.
où le contact subsiste à l’instant que l’on considère; ab le diamètre d$ la circonférence sur laquelle les enveloppes des droites situées dans le plan P ont leurs centres de courbure; D une quelconque de ces droites; «e la perpendiculaire abaissée du point a sur la droite D.
On a , d’après ce qui précède.
ub =
RR'
On sait, en outre, que le centre de courbure, situé sur la droite ne pour l’enveloppe des positions successives de la droite ï), ou de toute autre droite de môme direction, est en e à la rencontre de la circonférence décrite sur ab comme diamètre.
Soient t une deuxième position du point a; h la position correspondante du point b; ie', c'i celles des droites «e , c'a. L’angle ae'i a pour mesure : celui dont les droites D cl ae tournent simultanément, dans le passage de la première position à la seconde, est égale b la somme La différence de ces angles est : elle
exprime l’excès de l’angle e'ih sur l’angle euh. Il suit de là que l’a rc lie' est plus grand que l’arc be de la longueur
= cm' .
" SI le point a restait fixe sur le cercle mobile et qu’on le transportât en i, (le contact subsistant en i comme en a) le cercle mobile tournerait de l'angle ■ Mais il y a roulement , sans glissement. Il faut donc que le |ioinl a supl>osé lixe sur le cercle mobile recule, relativement au point i, d’un arc égal en longueur à l'arc ai. Dp là résulte une deuxième rotation exprimée angulaire-
ni
inenl par — .
Cela pose , décrivons la circonférence de cercle avant son centre en c, et cb pour rayon. On a
(2) . . r'h = R' — abe= R'
RR'
et, par suite ,
Les équations (I) et (3) montrent que le déplacement du point c s’effectue comme s’il était fixe sur la circonférence aeb, et que celle-ci roulât sans glisser sur la circonférence décrite du point c' comme centre avec cb pour rayon. De là résulte évidemment le théorème énoncé ci-dessus.
Rayon de courbure de l'enveloppe d’une courbe qui se meut dam son plan, sans changer de forme. Glissement de la courte mobile sur son enveloppe.
103. Étant donnée une courbe quelconques, supposée de forme invariable et mobile dans son plan, proposons-nous de déterminer le rayon de courbure de l’enveloppe et le mouvement relatif de la courbe mobile.
Soit PQ une position quelconque de la ligne s. Le mouvement de cette ligne peut être considéré comme résultant du roulement d’une courbe S, représentée par LM , sur une courbe S' représentée par UV, la ligne S étant liée à la courbe mobile S et la courbe S' étant lixe.
Soit a le centre instantané de rotation; ab la tangente commune aux courbes LM, L’V; aa la perpendiculaire élevée en a sur ab ; a’ le centre instantané de roulement; R. R' les rayons de courbure des courbes LM cl l’V pour le point a.
Fig. 40.
L’on a , généralement *,
( 2fi5 )
au
RR'
Abaissons du point a sur la courbe PQ une normale am , et prolongeons eette normale jusqu’en n , centre de courbure correspondant de la ligne PQ. L’enveloppe de la ligne 2 est le lieu des points mi.
Par le point a menons une parallèle à ma, et prolongeons-la jusqu’à sa rencontre en b avec la droite ah. En n élevons sur an une perpendiculaire et prolongeons-la jusqu’à sa rencontre en n' avec la droite aa'.
Dans la rotation établie autour du centre instantané a les vitesses simultanées des points «’ et n sont respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs aa', an. 11 s’ensuit que si l’on prend ab pour grandeur de la première , la seconde est représentée par n»'. En effet, les triangles aba, nn'a sont semblables et donnent, en conséquence,
ab aa' un' an
La vitesse nn' est la vitesse totale du point n de la normaleoMi**. D’un autre côté, nous avons vu (n° 87, page 223) que la \itesse a b du centre instantané de roulement coïncide en grandeur ainsi qu’en direction avec la vitesse du centre instantané a. Si donc on abaisse
Si la courbe l!V tournait sa concavité du côté de la ligne LM , on devrait changer le signe du rayon de courbure R' et écrire en conséquence
ah —
