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" Le point n se distingue des autres |ioints de la normale am en ce que sa vitesse s’emprunte tout entière à la rotation établie autour du centre instantané a. Pour les autres points, il faut tenir compte, en outre, de la rotation simultanée établie autour du rentre de courbure n.

du point « sur a'b la perpendiculaire ue, il est visible que cette perpendiculaire représente en direction, sens et grandeur la vitesse du point de la normale am qui se trouve actuellement en a.

Cela posé, il ne reste plus qu’à tirer la droite ne et qu'à prolonger celte droite ainsi que la normale ma jusqu’à leur rencontre en o.

Le point o ainsi déterminé est en même temps le centre de courbure de la trajectoire du point n et de l'enveloppe décrite par le point m.

Il est bien entendu qu’on comprend ici par trajectoire du point . n , la trajectoire que ce point décrirait s'il devenait fixe par rapport à In ligne 2 et qu’il fut entraîné par elle dans son déplacement continu.

Par le point m menons la droite mit' perpendiculaire à ma. La vitesse qui anime ce point sur l’enveloppe qu’il décrit est représentée par ml'. Celle (pii anime le point de la ligne PQ actuellement en m est représentée par mt. Telle est donc aussi la vitesse actuelle du glissement de la courbe 2 sur son cineloppe. Il s’ensuit que In quantité II' exprime la vitesse actuelle du point m sur la ligne PQ, ou, ce qui revient au même, la vitesse qui résulte pour le point m du roulement de In ligne PQ sur son enveloppe. Pour obtenir directement cette dernière vitesse, il suffît de tirer In droite ne. Le segment ms intercepté sur ml est précisément cette vitesse, ainsi que nous l’avons exposé au n” 101, page 2(50, et qu’on le voit d'ailleurs directement. On vérifie, sans difficulté, que l’on a, d'après la figure,

ms = lt'.

Soit i la projection du centre instantané de roulement sur le rayon vecteur am, et p le rayon de courbure de la trajectoire du point ». On a, d’après la formule (3) du n" 88-, page 227,

Dp lu résulte, en désignant par a le rayon de courbure cherché pour le point m de l’enveloppe,

a=m mn.

On a, d’ailleurs.

ms mn ai ai

ne an ml uni ’

d’où, multipliant membre à membre, et observant que les longueurs ne, a i sont égales,

ms ai . mn

ml an. uni

Les équations (1) et (2) résolvent la question proposée.

Extension générale au cas d’une ligne gui change en même temps de position et de forme.

104. Soit E une courbe mobile dans son plan et de forme incessamment variable. Prenons un point quelconque m, supposé fixe sur la ligne E, et désignons parmi une droite assujettie à rester tangente en m à la courbe mobile.

Quels que soient, à un même instant quelconque, l’état de mouvement du point m et celui de la tangente mt , ils déterminent un centre instantané de rotation qui leur correspond, et si l'on distingue dans la ligne E le changement de forme du changement de position, on peut considérer celui-ci comme résultant tout entier de la rotation élublie autour de ce centre. Imaginons que l'on procède ainsi. La ligne E subit deux modifications distinctes et simultanées. En vertu de la première, elle tourne autour du centre instantané, sans changer de forme et comme si elle était lice invariablement à la droite mt : en vertu de la seconde,

elle se déplace par rapport à la droite ml considérée comme fixe, et dans ce déplacement elle ne cesse pas de toucher cette droite au point m.

Cela posé, soit/* un point assujetti a se mouvoir siir la ligne E. Les données qui précèdent impliquent évidemment la déduction suivante :

Le point /< sortant (lu lieu m, « l'instant que l'on considère, sa vitesse est la même que si la ligne E persistait dans sa forme actuelle.

S’agit-il ensuite de la directrice du point p? Elle tourne, par rapport à la tangente mt, avec une certaine vitesse angulaire. Cette vitesse, lorsqu’il n’y a pas de changement de forme, résulte exclusivement de la vitesse du point /* sur la ligne E et de la courbure affectée en m par cette ligne. Elle ne dépend, en aucune façon, de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle lu courbure de la ligne E peut varier au delà du point m. Mais, d'un autre côté, s’il y a changement de forme, à partir de l'instant où le point/* sort du lieu m, ce changement n’a d'autre effet, par rapport aux parties de la courbe E situées au delà du point m, que de modifier la rapidité plus ou moins grande avec laquelle leur courbure varie à partir de ce point. Or, celte rapidité plus ou moins grande ne peut affecter en rien la vitesse qui anime la directrice du point p au sortir du lieu ni. De là donc résulte cette autre déduction :

Le point p sortant du lieu m, à l’instant que l’on considère , sa vitesse et la rotation de sa directrice sont les mêmes que si la ligne E persistait dans sa forme actuelle.

Lorsqu'une ligne E, mobile dans son plïin et déformé invariable, sort du lieu qu’elle occupe, il arrive, en général, pour un ou plusieurs de ses points, que leurs vitesses actuelles sont dirigées tangcnlicllcincut à ee lieu. Celte circonstance, qui nous est déjà connue, peut se présenter de la même manière lorsque la ligne E se déplace en changeant de forme. Haisonnons dans cette hypo-

tlicsc, et, s'il est plusieurs points qui satisfassent, en même temps, à la condition précédente, liornons-nous à considérer l'un d’entre eux en excluant les autres par la suppression des parties de la ligne E qui leur correspondent.

Plaçons-nous à un instant quelconque. En désignant par m le point de la ligne E que l’on considère et dont la vitesse actuelle est dirigée tangen licitement à cette ligne, on a la définition suivante :

Le lieu (les points m est l'enveloppe (les positions successives de la ligne E, cette ligne étant mobile dans son plan, et de forme constante ou incessamment variable.

Soit fi un point assujetti à coïncider constamment avec le point m. La vitesse du point fi résulte à chaque instant de deux composantes distinctes. La première de res composantes est la vitesse du point ni considéré comme fixe sur la ligne E : elle est dirigée tangentiellement au lieu occupé pur cette ligne à l’instant que I on considère. La seconde est la vitesse qui provient du déplacement du point m sur la ligne E : elle est la meme que si la ligne E persistait dans sa forme actuelle; elle a donc même direction que la tangente en m. L)c là se déduisent immédiatement les conséquences suivantes :

La vitesse du point p est dirigée tout entière suivant la tangente en m à la ligue E.

L’enveloppe de lu ligne E touche cette ligne dans toutes ses positions.

Cette propriété de l'enveloppe est caractéristique. Elle suffît , dans tous les cas, à la détermination de cette ligne.

Imaginons qu’on connaisse, à un instant quelconque, le lieu occupé par la ligne E, la position du point m, la vitesse de ce point considéré comme fixe sur la ligue E, la vitesse angulaire correspondante de la tangente en m. Soient u la première de ces vitesses,

et a la seconde. Le centre instantané qui leur correspond est situe sur la normale en m , à la distance

ma — - • u

On voit d'ailleurs aisément dans quel sens il faut porter cette longueur, le point a devant être tel qu’en le prenant pour centre, la rotation établie autour de ce point communique au point m sa vitesse actuelle w.

Cela posé, si l’on distingue dans la ligne E le changement de forme du changement de position et qu’on détermine celui-ci comme résultant tout entier de la rotation <o établie autour du centre instantané a, on peut faire abstraction de l’autre en ce qui concerne la courbure de l’enveloppe au point m, et appliquer les déductions du n° 103, page 200, de la même manière que si la ligne E conservait en réalité la forme qu’elle affecte à l’instant que l’on considère. Cette conséquence se déduit immédiatement du principe énoncé ci-dessus, dans les termes suivants :

Le point n sortant du lieu m, « l'instant que l'on considère , sa vitesse et ta rotation de sa directrice sont les memes que si la liyne E persistait dans sa forme actuelle.