Soit
l’équation d’une ligne plane E, rapportée à des axes coordonnés quelconques cl dépendante d'un paramètre a dont on dispose entre certaines limites.
A chaque valeur du paramètre a correspond une détermination particulière de la ligne 2, et , en outre, celle d’un point a" situé
( 2ÏI )
à la fois sur celle ligue et sur l'enveloppe de scs positions successives. Il suit de là que les coordonnées du point a" sont fonction du paramètre a. Réciproquement le paramètre a est fonction de ces coordonnées, ce qui implique la conséquence suivante : L'é (/nation (1) peut être considérée comme représentant l'enveloppe, pourvu qu’on y remplace « par une fonction convenable des coordonnées x et y.
Cela posé, suivant que le point a" est pris sur la ligne X ou sur l’enveloppe, lu tangente eu ee point est déterminée par l 'équation différentielle
ou par cette autre équation
Or, ou suit que la ligne X doit toucher en a" l'enveloppe de ses positions successives. Il faut donc que les équations (2) et (5) donnent une seule et même valeur pour le rapport ~ . Ue là résulte nécessairement
di
L’équation (4) détermine la relation qui fuit dépendre a des coordonnées a:, y. Jointe à l'équation (I), elle représente l’enveloppe des positions successives de la ligne X, ce qui revient à dire que, pour avoir l’équation de celle enveloppe, il suffit d éliminer a entre les équations (I) cl (4).
On parvient au meme résultat en procédant comme il suit : Concevons un point a” assujetti à décrire la ligne X et sortant du lieu a" a l'instant que l’on considère. Soient x, y les coordonnées dc*cc point. La direction de sa vitesse actuelle est donnée par l'équation (3), ou par l’équation (ô), selon que la ligne x con-
serve une seule et même détermination, ou qu’au contraire elle passe d'une détermination à une autre.
Mais Si le point a" appartient à l’enveloppe des positions successives de la ligne 2, la vitesse du point fi" doit avoir même direction dans chacune des deux hypothèses précédentes. Il faut donc que les équations (2) et (5) subsistent en même temps. Cette conséquence conduit, comme tout à l’heure, à la solution cherchée.
106. Veut-on procéder directement, sans s’appuyer sur la théorie géométrique développée dans les numéros qui précèdent? Voici comment on peut s’y prendre.
Étant donnée lcquation
Elle représente une courbe qui change en général de forme et de position, en meme temps qu’on fait varier le paramètre a. Soit 2 cette courbe; u un point assujetti à la décrire; x, y les coordonnées de ce point.
La direction suivie par le point à un instant quelconque , est détermine, par l’équation différentielle
ou pur cette autre équation
lia. = u,
selon que la ligne 2 persiste dans sa détermination actuelle, ou qu’au contraire elle passe de cette détermination à une autre. Posons
Les équations (I) et (4) subsistant ensemble, chaque valeur du
paramètre a fixe, cil général *, la position tl un |>oint détermine de la ligne 2. Soient a " ec point et ju" un point moliiic assujetti à coïncider constamment avec le point a", tandis que le paramètre * varie incessamment.
Le point a' se déplace , en général , sur la ligne 2 en même temps que celle ligne etiange de forme et de position. 11 s’ensuit que le point p" se meut sur cette ligne avec une certaine vitesse. D’après ce qui précède, la dircelion de cette > itesse est donnée par l cquation (3), ou ce qui revient au même, par l’équation (2), puisqu'on vertu de l’équation (4) les équations (2) et (3) fournissent une seule et même valeur pour le rapport -* . Mais d’un autre côté, l’équation (2) fixe (tour le point a" la direction qu'aflcclc actuellement en ce point la tangente à la ligne 2. On voit donc que le point p" se meut suivant la direction de cette tangente et qu’en conséquence il a pour trajectoire une ligue qui touche eu u' chacune des positions successives de la ligne 2.
La trajectoire du point p” est le lieu des points Considérée par rapport aux positions successives de la ligne 2, elle prend le nom d’enveloppe. Son équation résulte de l'élimination du paramètre 7. entre les équations (I) cl (4). Cela revient à dire que l'équation de l’enveloppe est
(•) Ff*! y, *)= O,
le paramètre * étant une fonction des variables jt, y, déterminée jmr l’équation de condition
On ne perdra pas de vue que l'existence de l'enveloppe est subordonnée à la condition que les équations (I) cl (4) fournissent, pour chacune des valeurs attribuées successivement ou paramètre a, une détermination correspondante du point désigné para”.
* tille condition pourrait n’êlrc pas remplie , comme ou le voit , par exemple , dans le cas d'une droite qui se meut sans changer de direction. Les déductions suivantes cesseraient alors d’être applicables.
IS
# Applications.
107. Soit d’abord à déterminer l’enveloppe des normales à une courbe plane. Nous savons déjà que cette enveloppe n'est autre chose que la courbe désignée sous le nom de développée. On a, d’ailleurs, pour équation générale de la normale,
(1) (t — x) dx -4- (u — y) dy = o.
De là résulte, en différenciant par rapport aux variables x, y, et considérant comme constantes les coordonnées courantes t et u,
(2) . . . (t — x) rf*x -4- (w — y) (Py = dx* -t- dt/.
Les équations (I) et (2) subsistant avec le même sens qu’au n° 78, page 206, il est clair qu’elles déterminent en même temps les centres de courbure de la courbe dont on considère les normales, et le lieu de ces ccutrcs, c’est-à-dire l’enveloppe des normales ou la développée.
Si l’on différencie l'équation (1) par rapport à toutes les variables qu’elle renferme, il vient , eu égard à l'équation (2),
(5) dtdx -t- du . dy — o.
Lu opérant de même sur l’équation
qui donne le rayon de courbure en fonction des coordonnées x, y, t, u , on a
(5) pda — (t — x) dt -+- (m — y) du.
Désignons par u l’are de la développée et posons, en conséquence,
(fi). . di 1/dÏÏ dtr=^ dt y I -4- (— )
La comparaison des équations (I) et (3) donne
du u — y
dt l — x
Cette valeur transportée dans les équations (5) et (0) conduit, d’une part, à
dp = — ^~ Xi' + — ^ — ‘<l1
d’autre part, à
do == dt On a donc
V7(t — ar)’ -t- (u — y )* pdt
dp = do,
et, par suite, ainsi que nous le savions déjà,
4p = àff.
